79
вспомогательных плоскостей и способ сфер. Применение того или иного способа зависит как от вида заданных поверхностей, так и от их взаимного расположения.
|
Д30. Способ вспомогательных секущих плоскостей |
|
|
|
||||||
Этот способ целесообразно применять при решении задач на пересечение |
|
|||||||||
поверхностей в тех случаях, когда можно подобрать такие вспомогательные |
|
|||||||||
секущие плоскости, которые пересекали бы заданные поверхности по простым |
|
|||||||||
линиям |
(прямым |
или |
окружностям). Необходимо, |
чтобы |
эти |
линии |
|
|||
проецировались также в виде простых линий (прямых или окружностей). |
|
|
||||||||
В качестве плоскостей–посредников можно использовать плоскости как |
|
|||||||||
общего, так и частного положения. Чаще |
всего |
на |
практике используют |
|
||||||
плоскости частного положения: проецирующие или уровня. Нахождение общих |
|
|||||||||
точек |
пересекающихся |
поверхностей |
сферы |
и |
конуса |
с |
пом |
|||
вспомогательной плоскости горизонтального уровня a показано на рис. 103. |
|
|
||||||||
Плоскость α пересекает поверхности Ф1 и Ф2 |
по окружностям m и n, в |
|
||||||||
пересечении которых находятся точки 1 и 2, принадлежащие линии пересечения |
|
|||||||||
сферы и конуса. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример решения задачи на построение линии |
пересечения |
дву |
||||||||
поверхностей: конуса и сферы дан на рис. 104. |
|
|
|
|
|
|
||||
Решение любой задачи надо начинать с анализа заданных и искомых |
|
|||||||||
геометрических элементов. Анализируя условие задачи, можно установить, что |
|
|||||||||
ни одна из заданных поверхностей не занимает проецирующее положение, |
|
|||||||||
поэтому необходимо применять алгоритм нахождения точек линии пересечения |
|
|||||||||
двух поверхностей общего вида Д29. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
В |
качестве |
посредников |
в |
данной |
задаче |
можно |
использо |
|||
вспомогательные плоскости |
уровня |
или |
концентрические |
сферы. Однако |
|
|||||
80
целесообразнее применять секущие плоскости, так как при этом уменьшается
количество построений.
Ф |
|
Ф2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
(2) |
m |
1 |
n |
a |
|
|
||
|
|
|
Рис.103
|
81 |
|
|
|
S2 |
|
|
g2 |
A2 |
|
|
b2 |
r1 M2 (N2 ) |
r2 |
|
d2 |
|
|
12 =(22 ) |
x |
|
|
B2 |
C |
|
|
D |
2 |
|
|
2 |
|
N1 |
21 |
|
a1 |
A1 |
|
B |
|
|
|
1 |
|
M1 |
|
11 |
|
|
|
|
|
Рис.104 |
|
|
Последовательность построений следующая.
1. Определяем положение общей плоскости симметрии (a||П2) заданных поверхностей, относительно которой линия пересечения будет симметричной,
следовательно, горизонтальная проекция линии пересечения будет симметричной относительно α1.
2. Находим опорные точки:
А и В – высшая и низшая точки кривой. Они принадлежат плоскости симметрии a и могут быть найдены с помощью этой секущей плоскости по общему алгоритму:
82
-вводится вспомогательная секущая плоскость a параллельная П2.
-строятся линия пересечения конуса плоскостьюa – две очерковые образующие (SС и SD), а также линия пересечения сферы плоскостьюa –
окружность главного меридиана (фронтальный очерк сферы);
-находятся точки А и В пересечения очерковой образующей с окружностью главного меридиана.
На чертеже данный алгоритм реализуется следующим образом:
-вспомогательная плоскость a || П2 изображается прямой α1;
-окружность главного меридиана сферы и образующие конуса – линии сечения заданных поверхностей плоскостью α, проецируются в очерки поверхностей на плоскости П2, так как a || П2;
- сначала |
определяются фронтальные проекцииА2 |
и |
В2 |
точек А и |
В в |
||||||||
пересечении |
фронтальных |
очерков |
сферы |
и |
, |
конусазатем |
строятся |
||||||
горизонтальные проекции А1 и В1 на α1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
М и |
Ν - |
точки |
видимости на |
П1. |
Они |
принадлежат |
плоскостиβ, |
||||||
проходящей через экватор сферы и определяющей границу видимости сферы на |
|||||||||||||
П1 (вся поверхность конуса видима наП1 |
) и |
находятся |
с помощью |
этой |
|||||||||
плоскости по тому же алгоритму: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
- проводится вспомогательная секущая плоскость β || П1; |
|
|
|
|
|
||||||||
- строятся |
линия сечения конуса плоскостьюβ – окружность |
радиуса r1, а |
|||||||||||
также линия сечения сферы плоскостью β – окружность экватора радиуса r2; |
|||||||||||||
- точки М и Ν получаются в пересечении окружностей |
радиусовr1 и r2. Для |
||||||||||||
точек М и |
Ν сначала |
определяются |
горизонтальные |
проекцииМ1 |
и |
Ν1 в |
|||||||
пересечении горизонтальных проекций окружностей радиусов r1 и r2. |
|
||||||
3. |
Строятся |
промежуточные |
точки |
с |
помощью |
плоско |
|
горизонтального уровня, параллельных плоскости β, |
аналогично построению |
|
|||||
точек М и Ν. Каждая секущая плоскость(γ, δ и др.) пересекает поверхности |
|
||||||
конуса и сферы по окружностям, которые проецируются без искажения наП1. |
|
||||||
Радиусы |
этих |
окружностей |
определяются |
на |
фронтальной |
проекц |
|