Л.В.Окатьева
Начертательная
геометрия
Учебное пособие
Киров 2007
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО
ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ВЯТСКИЙ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
Факультет строительства и архитектуры Кафедра начертательной геометрии и черчения
Л. В. Окатьева
Начертательная геометрия
Утверждено Ученым советом ВятГУ в качестве учебного пособия по дисциплине «Начертательная геометрия. Инженерная графика»
Киров 2007
УДК 514.18(07) О-497
О к а т ь е в а |
Л . В. Начертательная геометрия: учеб |
пособие. - |
|
Киров: ВятГУ, 2007. - 128с. |
|
|
|
Рис. 148, библиогр. 4 назв. |
|
|
|
Пособие предназначено |
для студентов технических |
специальностей |
|
заочного факультета, изучающих |
дисциплину «Начертательная |
геометрия. |
|
Инженерная графика». |
|
|
|
Р е ц е н з е н т ы : Хлебова И.Л. - к.т.н., доцент кафедры сопротивления материалов и деталей машин ВГСХА, г. Киров.
© Окатьева Л.В., 2007
3
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.................................................................................................................................. |
5 |
|
ОБОЗНАЧЕНИЯ И СИМВОЛИКА .......................................................................................... |
7 |
|
Раздел I. ПРОЕЦИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР............................................. |
8 |
|
Д1 Центральные проекции и их основные свойства ............................................................... |
9 |
|
Д2. Параллельные проекции и их основные свойства........................................................... |
11 |
|
Д3. Аксонометрия ................................................................................................................... |
12 |
|
Д4. Метод Монжа. Точка. Проекции точки ............................................................................ |
15 |
|
Д5. Координаты точки............................................................................................................. |
19 |
|
Д6. |
Прямая общего положения. Принадлежность точки прямой......................................... |
21 |
Д7. |
Прямые уровня. Принадлежность точки прямой ............................................................ |
23 |
Д8. |
Проецирующие прямые.................................................................................................... |
26 |
Д9. |
Прямые различного взаимного расположения ................................................................ |
29 |
Д10. Определение видимости геометрических фигур с помощью конкурирующих точек . 31
Д11. Плоскость. Образование, задание и изображение на чертеже. Виды плоскостей........ |
34 |
|
Д12. Плоскость общего положения. Принадлежность точки плоскости .............................. |
37 |
|
Д13. Проецирующие плоскости. Принадлежность точки плоскости ................................... |
39 |
|
Д14. |
Плоскости уровня. Принадлежность точки плоскости ................................................. |
41 |
Д15. |
Условия принадлежности прямой плоскости ................................................................ |
44 |
Д16. |
Главные линии плоскости............................................................................................... |
46 |
Д17. |
Поверхность. Образование, задание и изображение на чертеже. Принадлежность |
|
точки и линии поверхности .................................................................................................... |
48 |
|
Д18. Линейчатые развертывающиеся поверхности. Принадлежность точки поверхности. 54
Д19. Поверхности вращения. Принадлежность точки и линии поверхности....................... |
57 |
Д20. Частные виды поверхностей вращения ......................................................................... |
60 |
Раздел II. ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ................................................................................... |
63 |
Д21. Пересечение геометрических фигур. Обе геометрические фигуры проецирующие. |
|
Алгоритм решения .................................................................................................................. |
63 |
Д22. Пересечение геометрических фигур. Одна геометрическая фигура проецирующая, |
|
вторая – общего положения. Алгоритм решения ................................................................... |
65 |
Д23. Сечения кривых поверхностей....................................................................................... |
67 |
Д24. Цилиндрические сечения ............................................................................................... |
70 |
Д25. Конические сечения........................................................................................................ |
71 |
Д26. Сферические сечения ..................................................................................................... |
74 |
Д27. Сечения многогранников................................................................................................ |
75 |
Д28. Пересечение поверхностей............................................................................................. |
76 |
Д29. Пересечение двух поверхностей общего вида. Алгоритм решения ............................. |
77 |
Д30. Способ вспомогательных секущих плоскостей............................................................. |
79 |
Д31. Пересечение соосных поверхностей вращения............................................................. |
83 |
Д32. Способ концентрических сфер....................................................................................... |
85 |
Д33. Теорема Монжа............................................................................................................... |
90 |
Д34. Пересечение двух плоскостей общего положения. Алгоритм решения ....................... |
92 |
35. Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения. Алгоритм |
|
решения ................................................................................................................................... |
97 |
Раздел III. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ................................................................................. |
101 |
Д36. Способ замены плоскостей проекций.......................................................................... |
101 |
Д37. Задача 1: Преобразовать прямую общего положения в прямую уровня..................... |
104 |
Д38. Задача 2: Преобразовать прямую общего положения в проецирующую.................... |
106 |
Д39. Задача 3: Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую ................ |
108 |
Д40. Задача 4: Преобразовать плоскость общего положения в плоскость уровня ............. |
110 |
ПРИЛОЖЕНИЕ I. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ. ........................................................... |
113 |
4
ПРИЛОЖЕНИЕ II. РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ............................................................. |
115 |
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ............................................................................................... |
125 |
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК .................................................................................. |
128 |
5
ВВЕДЕНИЕ
«Начертательная геометрия. Инженерная графика», как учебная дисциплина, составляющая основу графической подготовки инженеров,
основывается на положениях и теоремах начертательной геометрии, а также правилах и требованиях стандартов ЕСКД.
Основными целями изучения курса«Начертательная геометрия.
Инженерная графика» являются:
-развитие пространственного представления, необходимого в любой области инженерной деятельности;
-изучение стандартов ЕСКД;
-овладение правилами и приемами чтения и выполнения производственных чертежей.
Знания, умения и навыки, приобретенные в курсе«Начертательная
геометрия. Инженерная графика», необходимы при изучении общетехнических наук и специальных дисциплин, при выполнении курсовых и дипломных проектов, а также во всей последующей инженерной деятельности.
Основные задачи курса могут быть сформулированы следующим образом:
1)изучение методов построения изображений;
2)умение читать данные изображения;
3) изучение графических методов решения пространствен
геометрических задач на чертеже для применения в различных областях науки и техники;
4)развитие пространственного мышления и логики;
5)умение использовать справочную литературу и стандарты ЕСКД;
6)Выполнение чертежей с учетом основных положений конструирования и технологии, а также в соответствии со стандартами ЕСКД.
6
Данное учебное пособие предназначено для студентов технических специальностей для изучения первой части дисциплины«Начертательная геометрия. Инженерная графика» и включает в себя три раздела начертательной геометрии:
-проецирование геометрических фигур;
-позиционные задачи;
-метрические задачи.
7
ОБОЗНАЧЕНИЯ И СИМВОЛИКА
1. Точки – арабскими цифрами и прописными буквами латинского алфавита: 1, 2, 3, 4, 5, ... ;
A, B, C, D, E, F, K, L, M, N, S… .
2. Линии – строчными буквами латинского алфавита: a, b, c, d, e, f, k, l, m, n, s… .
3. Плоскости – строчными буквами греческого алфавита:
α, β, γ… .
4.Поверхности: Φ, Φ', Φ"… .
5.Углы – строчными буквами греческого алфавита: (φ1, φ2 …).
6.Плоскости проекций: Π1, Π2, Π3.
7.Центр проецирования: S.
8.Оси проекций: x, y, z.
9.Проекции геометрических элементов:
|
A1, a1, α1, Φ1 – горизонтальные проекции; |
||
|
A2, a2, α2, Φ2 – фронтальные проекции; |
||
|
A3, a3, α3, Φ3 – профильные проекции. |
||
10. |
Совпадение геометрических фигур |
º |
|
11. Параллельность |
|| |
||
12. |
Перпендикулярность |
^ |
|
13. |
Пересечение |
Ç |
|
14. |
Скрещивание |
· |
|
|
|
||
15. |
Объединение |
È |
|
16. |
Принадлежность |
Ì (Î) |
|
17. |
Следовательно |
Þ |
|
8
Раздел I.
ПРОЕЦИРОВАНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР
Начертательная геометрия является одним из разделов геометрии, в
котором отображение и |
исследование |
пространства |
производится путем |
|
изображения |
элементов |
пространства |
методами |
проецирования. Из |
изображений по определенным правилам создают чертежи пространственных форм, которые являются носителями геометрической информации, т.е. сведений о форме и размерах предмета, его положении в пространстве. Поэтому можно считать, что чертеж фигуры является ее графической моделью.
По чертежам воспроизводят пространственные фигуры в объемном виде,
на чертежах решают стереометрические задачи графическими способами.
Основные требования, предъявляемые к чертежам:
-наглядность – чертеж должен давать пространственное представление об изображаемом предмете;
-обратимость, т.е. единственным образом определять форму и положение изображаемого предмета;
-простота и точность графических построений.
Одним из основных понятий геометрии является геометрическая
фигура.
Геометрической фигурой называется любое множество точек, которое может состоять из нескольких точек или бесконечного числа точек.
В начертательной геометрии фигуры отображаются на плоскость способами центрального и параллельного проецирования.
9
Д1 Центральные проекции и их основные свойства
Для построения центральной проекции фигуры необходимо выбрать в
пространстве |
произвольную |
точкуS |
в качестве |
центра проецирования |
и |
|
плоскость П1, не проходящую |
через |
точкуS, в качестве плоскости проекций |
|
|||
(картинной |
плоскости). Точка |
S и |
плоскость П1 |
составляют |
аппарат |
|
центрального проецирования. |
|
|
|
|
|
|
Чтобы спроецировать точку А пространства на плоскость П1, через центр проецирования S проводят прямую SA до пересечения с плоскостью П1 (рис. 1).
Точка А1 называется центральной проекцией точки А, прямая SA –
проецирующей прямой.
Проекция фигуры на плоскость есть множество проекций всех ее точек
(ΔА1B1C1 – центральная проекция АВС).
Центральное проецирование положено в основу построения изображений в перспективе.
Основные свойства центральных проекций.
1.Геометрические фигуры отображаются следующим образом:
1)точка проецируется точкой;
2)прямая в общем случае проецируется прямой. Проецирующая прямая отображается одной точкой;
3)плоская фигура в общем случае отображается плоской фигурой. Плоская фигура, принадлежащая проецирующей плоскости, отображается прямой;
4)трехмерная фигура отображается двумерной.
2.Центральные проекции фигур сохраняют взаимную принадлежность фигур
(например, если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит
проекции прямой).
10
S
А
С В |
А1 |
В1
С1
П1
Рис. 1
s
|
S |
C D |
|
8 |
|
f |
B |
D |
1 |
||
|
B1 |
C1 |
|
n1 |
|
Рис. 2
11
Д2. Параллельные проекции и их основные свойства
Параллельное проецирование есть частный случай центрального, когда центр S удален в бесконечность, поэтому проецирующие прямые параллельны между собой. Аппарат параллельного проецирования составляют направление проецирования s и плоскость проекций П1 (рис. 2).
Если угол φ между направлением проецирования s и плоскостью П1 равен
90°, то проецирование называют прямоугольным (ортогональным), если угол φ отличен от прямого, – косоугольным.
Основные свойства параллельного проецирования
При параллельном проецировании сохраняются все |
свойствацент |
||
рального |
проецирования. Свойства, присущие |
только |
параллельному |
проецированию, следующие: |
|
|
|
1)проекции параллельных прямых параллельны;
2)проекции равных и параллельных отрезков равны и параллельны;
3)проекция точки делит проекцию отрезка в таком же соотношении, в каком точка делит этот отрезок.
При заданных центре проекций (S или S ¥) и плоскости П1 точке А будет соответствовать единственная проекцияА1, так как проецирующая прямая может пересечь плоскостьП1 только в одной точкеА1. Однако восстановить точку А только по одному ее проекционному отображению нельзя, т.е. такой чертеж необратим.
Для получения обратимого чертежа геометрической фигуры необходимо иметь две ее проекции.
Технические чертежи, выполненные с применением параллельного проецирования, могут быть построены по методу аксонометрического проецирования (в "аксонометрии") или по методу Монжа.