Фролов ЭM.Динамика и прочность машин.Теория механизмов и машин

геометрические параметры укладки волокон р и /, радиус волокон /у и объемное содержание во­ локон V связаны соотношениями

p in' Ыр,

При гексагональной упаковке

Уравнения неразрывности деформаций и урав­ нения равновесия, учитывающие объемное на­ пряженное состояние компонентов, образуют систему уравнений, решение которой позволяет определить поперечный модуль упругости

/.1\B,BS~B2B,

0:Sml2

(5.1.20)

связующего и волокна, определяемые согласно (5.1.2).

Зависимости (5.1.18) - (5.1.20) содержат ряд интегралов, определять которые целесооб­ разно численными методами.

На рис. 5.1.3 сопоставлены расчетные л эк­ спериментальные значения поперечного модуля упругости стекло-, угле- и боропластиков в зави­ симости от объемного содержания ьолокон. Ис­ ходные данные для расчета взяты из работ [19, 20].

Более простая зависимость для определе­

1Де

l

Зависимость (5.1.21) получена из решения плоской задачи вместо объемной, вследствие чего дает несколько заниженные значения моду­ ля поперечной упругости.

Рис. 5.1.3. Зависимость модуля упругости Е2 от объемного содержания волокон стекло- (7) и боропластика (2), высокомодульного (J) и высокопрочного (4) углепластика:

сплошные линии - квадратичная укладка, штриховые - гексагональная, точки - эксперимент

При известных значениях Ei, Е2 и Vi2 ко­ эффициент Пуассона V2i однонаправленно ар­ мированного пластика

Ео

Коэффициент Пуассона V2i можно опреде­ лять и по зависимости, соответствующей прави­ лу смеси:

Зависимость для определения коэффициен­ та Пуассона в плоскости изотропии V23 получена в результате решения двухосной задачи [19]

^7 C ( P I - P 2 ) ^ / P F ^

X arctg

| p i - i

При вьшоде формулы (5.1.24) не учитыва­ лись эффекгы, возникающие в армированном пластике вследствие взаимодействия компонен­ тов в направлении армирования. Влияние этих эффектов существенно проявляется в случае анизотропных высокомодульных волокон, каки­ ми являются угле- и органоволокна. Коэффици­ ент Пуассона V23 ддя пластиков, армированных изотропными волокнами, при реальных объем­ ных содержаниях волокон существенно ниже коэффихщентов Пуассона компонентов.

Модуль сдвига в плоскости изотропии од­ нонаправленно армированного пластика может быть найден по зависимости

схемы, представленной на рис. 5.1.2, определяет­ ся по формуле

п-1

где к ••

:,)

При определении упругих характеристик гибридного монослоя, содержащего менее жест­ кие волокна типа В и более жесткие волокна типа С, следует учитывать тип микроструктуры (рис. 5.1.4).

Рис. 5.1.4. Структура гибридных пластиков: а - слоистая; б - дисперсная

Для любого типа микроструктуры

^1 = (1 - v ) ^ ^ + (1 - \ X C Y E S ^ + Ц с ^ % .

где ц^ ^В VI уг ~ относи­

тельные объемные содержания волокон типа В и С; V - суммарное объемное содержание волокон.

Коэффициент Пуассона V2i определяется зависимостями [20]:

вслучае дисперсной гибридной структуры

вслучае слоистой гибридной структуры

^21

^C^Cr-^i^-^CpBr

где E^f. и Есг - поперечные модули упругости волокон, а vgf^ ^ ^Crz ' коэффициенты Пуассона волокон.

Для определения поперечного модуля уп­ ругости гибридного монослоя Е2 в работе [20] предложены следующие формулы:

в случае дисперсной структуры

где Eff2 и Ес2 - модули упругости пластика, армированного только волокнами типа В или типа С ((5.1.18) или (5.1.21)).

Аналогичные зависимости получены для модуля сдвига Gi2 [20]:

вслучае дисперсной структуры

%= _^Ш2^С12

^ВП^С +^С12(1 - |^с )

в случае слоистой структуры

^12 = ^512(1-^^с)+^С12ИС'

где G^j9i2 и G^ci2 определяют по формуле (5.1.26).

При учете влияния температуры на упругие характеристики монослоя с достаточной для практики точностью можно принять, что от тем­ пературы не зависят упругие характеристики волокон и коэффициент Пуассона полимерного связующего V;„. В таком случае V2i и V23 при любой температуре определяются формулами (5.1.23) и (5.1.19) или (5.1.24),

E,{T) = E^{T){l-y)-,E^y.yEj,,

где Efn(T) - температурная зависимость модуля упругости связующего, которая может быть ап­ проксимирована полиномом третьей степени;

Е^{Т)=ал-ЬТ+сТ^ +dT\ (5.1.27)

В последней формуле коэффициенты а, Ь, end устанавливают экспериментально, а темпе­ ратуру Т измеряют в градусах Кельвина.

Температурна* зависимость модуля сдвига связующего

2(1+v„)

Для определения температурной зависимо­ сти Е2(Т) и G\2{T) следует в выражениях (5.1.18), (5.1.21) и (5.1.26) вместо Е^п и Gm ввести^^(7)иС7^(7) .

Зависимость от температуры коэффициента Пуассона \\2 может быть получена введением в

выражение (5.1.20) упругих характеристик, зави­ сящих от темпе15атуры, или по формуле

Таким образом, для учета влияния темпе­ ратуры на упругие характеристики монослоя достаточно экспериментально установить темпе­ ратурную зависимость модуля упругости связу­ ющего в виде полинома (5.1.27).

Температурные зависимости коэффициен­ тов матрицы жесткости монослоя Q^j {Т\ опре­ деляют по формулам (5.1.3) с учетом

в заключение приведем выражения для ко­ эффициентов термического расширения компо­ зита вдоль и поперек волокон:

^l{T)=^^{T)-[a^{T)~aj,]—^',

где а;„ и а^ - коэффициенты термического рас­ ширения матрицы и волокон.

5.1.3. МИКРОМЕХАНИКА УПРУГИХ СВОЙСТВ ПЛАСТИКА, АРМИРОВАННОГО ТКАНЬЮ

Расчетная модель тканевого пластика. Плас­ тики, армированные тканями, представляют собой очень сложный класс композитных мате­ риалов. Это объясняется тем, что вследствие переплетения нитей жесткость и напряженное состояние тканевых пластиков в пределах повто­ ряющегося элемента структуры непрерывно ме­ няются от сечения к сечению. Кроме того, в пределах любого сечения распределение напря­ жений имеет весьма сложный неоднородный характер. Ниже изложена методика приближен­ ного определения напряжений в структурных элеме1ггах тканевого пластика с учетом перепле­ тения нитей и ступенчатого характера разруше­ ния материала. Для исследования напряженнодеформированного состояния тканевого пласти­ ка используется расчетная модель его структуры (рис. 5.1.5). Направления основы и утка обозна­ чены через "о" и "у". В основе предложенной расчетной модели тканевого пластика лежат сле­ дующие допущения:

1. Структура материала регулярна и все его компоненты деформируются линейно.

2.Искривления нитей смежных слоев сов­ падают по фазе.

3.Изменение искривления нитей в процес­ се нагружения материала пренебрежимо мало.

4.Искривленная ось волокон заменяется ломаной, характерные параметры которой (TQ, Ту, Со, Суу Ро и Ру) показаны на рис. 5.1.5. Все вьпыеприведенные параметры определяются по микрофотографиям структуры материала.

5.Отдельный слой представляется как со­ стоящий из двух условных монослоев основы и утка, которые обозначаются через "о" и "у"- Искривление нитей учитывается чередованием в условных монослоях наклонно и продольно ар­ мированных полос, которые на рис. 5.1.5 для монослоя основы обозначены через "ор" и "о1",

адля монослоя утка через "ур" и "yl". Относи­ тельные ширины наклонно армированных полос определяются по зависимостям

^о = 2 С о / 7 ; ; /1у = С у / 7 ; .

6. Элементарные волокна размещены рав­ номерно по объему условных монослоев, кото­ рые, следовательно, имеют во всех точках одина­ ковое относительное объемное содержание воло­ кон, равное среднему для всего материала V, и относрггельные толщины /Wo и /Иу, определяемые по следующим формулам:

10. Между средними напряжениями в ус­ ловных монослоях, в наклонно и продольно армированных полосах существуют следующие соотношения:

П. Учитывая, что влияние несимметрии пакета из несимметричных относительно сре­ динной поверхности слоев очень быстро ослабе­ вает с увеличением числа этих слоев, а также с учетом того, что отдельный слой тканевого плас­ тика работает в составе пакета, принимается, что напряженно-деформированное состояние услов­ ных монослоев основы и утка по толщине одно­ родное, т.е. при продольном нагружении короб­ ление материала отсутствует.

12. Напряженно-деформированное состоя­ ние условных наклонно армированных полос зависит от взаимодействия переплетенных нитей в местах их перекрещивания (рис. 5.1.6). Взаи­ модействие нитей учитывается с помощью сле­ дующих условий цдя наклонно армированных полос:

условие неразрывности деформаций

условие равновесия

где ^о и ^у - ширины полосок условных моно­ слоев основы и утка, армированных волокнами только одной нити (е^ = 1//?^ ; е =1/р ) .

Рис. 5.1.6. Схема взаимодействия переплетенных нитей

13.Нормальными напряжениями в направ­ лении оси Z пренебрегаем.

14.Все одинаковые элементы структуры тканевого пластика разрушаются одновременно.

Все вьппепринятые допущения применимы как в случае тканей с полотняным (см. рис. 5.1.5

и5.1.6), так и саржевым и сатиновым перепле­ тением.

Упругие характеристики тканевого пластика.

Показанный на рис. 5.1.5 слоистый тканепластик является ортотропным материалом, для которого закон деформирования при нагружении в осях упругой симметрии имеет вид

где т означает "тканевый пластик". Согласно принятой расчетной модели закон деформиро­ вания (5.1.33) относится и к отдельному слою, работающему в составе пакета.

Из допущений (5.1.29) и (5.1.30) следует, что составляющие приведенной матрицы упруго­ сти бу в законе деформирования (5.1.33) опре­ деляются по закону смеси

Q^l и QJI В зависимости (5.1.34) через техничес­ кие упругие характеристики монослоев, армиро­ ванных в одном направлении прямыми волок­ нами, поизучаем [21]

т„

Ql,=.l!^^mEl, Ql^=mX2*-^l

где

аЛ

0 ) = 1 - - о^у ,

ао ау

4.р, l - « . .

'и Gm^e^

^ f 2 = - ^ c o s ^ P , - ^ s i n ' ' p , ;

в п. 5.1.2. Индекс в зависимостях (5.1.35) ис­ пользован для учета случая, когда в направлени­ ях основы и утка применены волокна разного типа. К представленному виду формулы (5.1.35) приведены после некоторых упрощений, незна­ чительно влияющих на конечный результат.

Технические упругие характеристики тка­ невого пластика до потери сплошности материа­ ла определяются зависимостями:

(5.1.36)

Растрескиванием и взаимодействием пере­