1.7.6.Влияние неупругих столкновений
Процессы возбуждения и ионизации ведут к скачкообоазному изменению энергии электрона, переводя его из интервала ε + E в интервал ε и обратно, то есть
Q (n(ε)) = |
− |
n(ε)ν (ε) + n(ε )ν (ε + E ) . |
(1.7.60) |
|
E |
|
Первый член справа описывает уход электронов за счет данного (одного из многих) неупругого процесса в интервал ε + E (сверхупругое столкновение), а второй – приход в данный энергетический интервал электрона, потерявшего энергию в неупругом столкновении с атомом. Такие выражения описывают, например, процессы возбуждения и тушения электронных термов атомов или колебательных уровней молекул.
В случае ионизации и рекомбинации спектр E (в определенных пределах) непрерывен. Поэтому слагаемое связанное с ионизацией выглядит чуть сложнее (рождаются два электрона)
|
∞ |
|
Qi = −n(ε)νi(ε) + 2 |
ε+I n(ε )νi(ε )Ψ(ε , ε)dε . |
(1.7.61) |
Здесь Ψ(ε , ε) - вероятность того, что один из двух электронов будет иметь энергию ε, ε + dε, если ε - энергия налетающего электрона.
1.7.7.Стационарные ФРЭ в низкотемпературной плазме
Выведенные выше уравнения (1.7.22) и (1.7.28) для ФРЭ не допускают общего решения. Рассмотрим упрощенные ситуации, наиболее близкие к реально возникающим на практике. Прежде всего, будем считать плазму стационарной ∂f/∂t = 0, и найдем ФРЭ для случая стационарного газовый разряд в разреженном, слабоионизованном, атомарном газе. Температуру газа будем считать достаточно низкой, чтобы неупругие процессы оказывали малое влияние на формирование ФРЭ, тогда членом Q(f0) в уравнении (1.7.58) можно пренебречь. Проинтегрируем это выражение. Очевидно, что поток в квадратных скобках равен в этом случае константе, которая, к тому же, равна нулю, вследствие требования равенства потока нулю при ε −→ ∞. Отсюда получаем дифференциальное уравнение для f0(v), которое легко интегрируется второй раз
|
A |
|
df0 |
|
|
m |
|
|
|
(1.7.62) |
||||
|
|
v2 |
|
|
|
= |
− |
|
νmv3f0 , |
|||||
|
m |
dv |
M |
|||||||||||
|
|
|
df0 |
m2νm |
|
(1.7.63) |
||||||||
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
vdv , |
||||
|
|
|
f0 |
AM |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
σm3 |
v |
v(ω2 + νm2 )dv . |
|
|||||
f0 = C exp |
− |
|
0 |
|
|
(1.7.64) |
||||||||
Me2E2 |
|
|
||||||||||||
νm(v).
103
Рис. 46: Стационарные функции распределения по энергиям Максвелла и Дрюйвестейна при оди-
наковой средней энергии ε¯ (в произвольных единицах).
Дальнейшее решение возможно только после конкретизации зависимости ν(v). Если считать, что ча-
стота не зависит от v, то в результате интегрирования получаем максвелловскую ФР |
|
|||||||||||||
|
|
2(ω2 + ν2 ) mv2 |
|
|
|
ε |
|
|
||||||
f0 = C exp − |
3m m |
|
|
= C exp |
− |
|
, |
(1.7.65) |
||||||
Me2E2 |
2 |
Te |
||||||||||||
где обозначено |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε¯ = |
3 |
Te = |
M |
|
eE2 |
|
|
|
(1.7.66) |
|||||
2 |
2m |
|
m(ω2 + νm2 ) |
|
|
|
|
|||||||
В физике газового разряда, однако, чаще встречается другой случай, когда константой можно приближенно считать длину свободного пробега Q = (v/νm) =const(v), т.е. νm v √ε. Интегрирование тогда дает
|
v(νm2 + ω2)dv = |
|
v3 |
|
|
v4 |
v2ω2 |
(1.7.67) |
|||
|
|
dv + |
vω2dv = |
|
+ |
|
, |
||||
|
e2 |
4e2 |
2 |
||||||||
|
f0 = C exp − |
|
3m2 |
|
(v4 + 2v2ω2Q2) . |
|
(1.7.68) |
||||
|
4Me2E2Q2 |
|
|||||||||
Такую ФРЭ называют распределением Маргенау, которое в постоянном поле (ω −→ 0) переходит в
распределение Дрюйвестейна: |
|
|
|||
f0 = C exp − |
3m ε2 |
, ε0 = eEQ . |
(1.7.69) |
||
M |
|
ε02 |
|||
Вид функций распределения Максвелла и Дрюйвестейна при одной и той же средней энергии представлен на рис. 46. Функция распределения Дрювестейна гораздо быстрее спадает на “хвосте”. Это значит, что при равной средней энергии процессы с большим порогом протекают быстрее при максвелловской ФР, чем при дрюйвестейновской.
В общем случае νm(v) является сложной функцией от скорости, поэтому решение уравнения нужно искать численно, используя экспериментально найденную зависимость νm(v). В оригинальной литературе имеется много примеров подобных расчетов.
104