Лекция 4

1.4.Излучательные процессы в низкотемпературной плазме

1.4.1.Роль излучения в низкотемпературной плазме, классификация переходов

Излучательные процессы играют важную роль в низкотемпературной плазме и газовом разряде. Во многих случаях излучательный перенос существенным образом влияет на энергобаланс энергии в плазме, а пролетающие большие расстояния фотоны осуществляют возбуждение и ионизацию атомов даже в холодных областях газоплазменного объекта. В низкотемпературной плазме наиболее важную роль играют линейчатое, тормозное и рекомбинационное излучение. Циклотронное излучение, весьма существенное в высокотемпературной плазме, играет в нашем случае малую роль и рассматривается не будет. Поскольку излучательные процессы тесно связаны со столкновительными, мы рассмотрим в этой главе также и конкурирующие с излучательными столкновительные переходы между атомными состояниями.

В данном разделе мы будем отсчитывать энергию атомных уровней от границы с континуумом, то есть интерпретировать ее как энергию связи электрона в атоме. Для водородоподобных атомов она равна

где E1 ≡ I, энергии ионизации атома. В спектроскопии чаще используется иная система отсчета, когда энергия уровня отсчитывается от основного состояния и интерпретируется как энергия возбуждения электрона в атоме

Обычно из контекста ясно, что подразумевается под энергией в каждом конкретном случае, и мы будем далее пользоваться обоими определениями без специальных оговорок.

Рис. 21: Классификация атомных переходов.

56

Рассмотрим сначала чисто излучательные переходы (рис. 21). Их можно разделить на связанно-связанные, связанно-свободные, свободно-связанные и свободно-свободные. Примером последних являются тормозное излучение и тормозное поглощение при движении электрона вблизи атома. Связанно-свободные и свободносвязанные переходы происходят при захвате электрона и фотоионизации атома, соответственно. Связанносвязанные можно разделить на спонтанные и вынужденные. К последним относятся как поглощение фотона, так и его вынужденное излучение, индуцированное пролетающим рядом первичным фотоном. В последнем случае, как известно, излученный фотон имеет ту же фазу, что и первичный. В этом случае мы говорим о когерентном излучении.

1.4.2.Тормозное излучение и поглощение

Рассмотрим свободно-свободные переходы. Тормозное излучение "ответственно"за излучение плазмы в непрерывном спектре (континуум). Следуя [23] выполним качественный анализ спектра тормозного излучения. Последовательность действий будет следующей. (а) Сначала вычисляется высокочастотная асимптотика классического спектра рассеяния электронов, имеющих скорость v, на точечном кулоновском центре с зарядом Ze (формула Крамерса). (б) Вычисленный для всех ω спектр принимают за "эталонный".

(в) Затем вводят т.н. фактор Гаунта g(ω), который позволяет получить истинный спектр, учитывающий что электрон взаимодействует с "экранированным"ядром, и Zi << Zeff < Z.

Высоким частотам в спектре соответствуют, очевидно, близкие пролеты ρ << a, где a = Ze2/mv2

– характерная “кулоновская” длина. При этом излучаемая частота ωeff по порядку величины равна угловой скорости вращения электрона вблизи иона ωrot. Используя законы сохранения энегии и момента импульса

57

представляет собой характерную частоту спектра излучения, соответствующую ρ = a.

Теперь нетрудно оценить энергию, излучаемую в дипольном приближении электроном, имеющим ско-

рость v и пролетающим мимо иона с прицельным расстоянием ρ

имеющую размерность [эрг·см2]. Смысл ее ясен, если учесть, что умножив ее на поток электронов nev и

плотность инов ni, мы получим мощность тормозного излучения из единицы обьема dP (v, ρ) для электронов с прицельным расстоянием ρ и скоростью v.

58

Строгая классическая теория [25] дает для спектральной интенсивности ту же зависимость, но с допол-

Эта формула называется формулой Крамерса. Выражение (1.4.20) справедливо, как это следует из его вы-

Приближение Крамерса оказывается справедливым для преобладающей части спектра тормозного излучения. На практике, это выражение можно использовать для правильного описания всего спектра, если вве-

сти функциональный множитель, называемый гаунт-фактором. Подробности о вычислениях Гаунт-фактора

можно найти в [23]. В пределе малых частот (дальние, почти прямолинейные пролеты), когда ω <<ω= mv3/Ze2, гаунт-фактор, например, есть

g(ω) ln ωω . (1.4.22)

По порядку величины гаунт-фактор g(ω) для тормозного излучения лежит в интервале 1 ÷4 (см. рис. 22).

Рис. 22: Гаунт-факторы для свободно-свободных и свободно-связанных переходов [24].

Размерность dκ(ω)/dω для дальнейшего удобно переписать в расчете на единичный спектральный интервал, выраженный в с−1, а именно [(эрг·см2)/(с−1)]. Проинтегрировав теперь это выражение по распределению электронов по скоростям, получим спектральную плотность мощности тормозного излучения

59

1.4.3.Линейчатое излучение. Вероятность перехода. Сила осциллятора

Вероятность перехода между дискретными уровнями k и m атомной системы (коэффициент Эйнштейна для спонтанного излучения) равна

4ω3

Akm [с−1] = 3 km (1.4.24)

c3

где gm – статвес конечного состояния, Dkm – матричный элемент дипольного момента атомной системы

N

D = ers ,

s=1

а rs - координата s-го электрона атома относительно ядра. Частота излучения, испускаемого или поглощаемого при переходе между этими уровнями, равна

Время жизни уровня k по отношению к радиационному распаду находится суммированием обратных вероятностей излучения на все нижележащие уровни

τ =

m

Введем Fω - форму спектральной линии, пронормировав ее так, что ∫ Fωdω = 1. В отсутствие внешних возмущений Ее ширина ∆ω, в соответствии с принципом неопределенности, пропорциональна τ−1 = Akm. Эта “естественная” ширина линии для разрешенных (дипольных-дипольных) переходов равна по порядку величины ∆ω 108 с−1, что много меньше частоты перехода ω0 1015 с−1. Линия имеет лоренцовский

контур

где γ – постоянная затухания. Переходя к сечению поглощения фотона, для классического случая вынужденных колебаний упруго связанного электрона в поле электромагнитной волны E = E0 sin ωt найдем

где γ = ∆ω – коэффициент затухания.

Для естественного уширения (1.4.27) γ = Akm, и сечение поглощения в центре линии равно

σmax 4πe2 10−9 см2,

ω0 mcγ

что много больше газокинетического сечения πa2. В классическом приближении площадь под спектральной линией осциллятора даже при наличии столкновений является константой, не зависящей от ширины линии

γ. В расчете на один осциллятор, в соответствии с общепринятой традиционной нотацией, она равна [2]

60

Действительно, при резонансном возбуждении осциллятора (ω = ω0) амплитуда колебаний растет пропорционально времени от последнего столкновения ra(t) t. Между столкновениями набирается энергия

W ra2 τc2, которая при следующем столкновении переходит в хаотическую. Тогда энергия отбираемая

Поскольку ∆ω τc−1, то ∫ σωdν σωmax · ∆ω (W/τc) · ∆ω =const.

Если атом взаимодействует с окружающей средой, то это приводит к дополнительному уширению спектральной линии. Механизмы уширения мы рассмотрим в следующем разделе, а сейчас получим полезные соотношения, описывающие вероятность переходов для линий с некоторым реальным сечением σω. Энергия, поглощаемая на данном переходе в 1 см3 за 1 с, вне зависимости от характера уширения линии равна

4πnm Iωσωdω ,

где Iω [эрг/с см2 с−1 ср] – “интенсивность” излучения, а S = Iω(Ω)dωdΩ – физически измеримая величина, называемая плотностью потока энергии. Если Iω const в пределах линии, то ее можно вынести из под интеграла и площадь линии служит мерой поглощательной способности вещества в линии.

Используя принцип детального равновесия, известные соотношения для термодинамически равновес-

Пронормировав выражение (1.4.30) на площадь классического осциллятора (1.4.28) мы получим величину, называемую силой осциллятора, которая, по соглашению, для поглощения считается положительной

Сила осцилляторя представляет собой число воображаемых классических осцилляторов, которое обеспечило бы точно такое же поглощение, как и реальная линия. Силы осцилляторов для поглощения и излучения связаны между собой соотношением

−gkfkm = gmfmk.

Величины fkm подчиняются правилу сумм

fkm = N ,

m

где N – полное число электронов в атомной системе, причем суммирование ведется по всем состояниям дискретного и непрерывного спектров. Силы осцилляторов практически всех линий протабулированы. Их можно найти, например, в [4, 26, 27, 28]. Для примера некоторые из них приведены в Таблице 6.

61

Таблица 6: Силы осцилляторов некоторых переходов.

Рис. 23: Вероятность излучательных переходов с уровня k = 15 водородоподобного атома на нижележащие уровни m.

Для водородоподобных атомов fkm описывается квазиклассической формулой Крамерса, погрешность которой составляет 30% при всех k и m,

Согласно табличным данным [16], A21 = 6.26 · 108 с−1 (g2/g1 = 6/2). Видно, что совпадение теории и эксперимента достаточно хорошее для оценок. Для переходов на нижние уровни (m << k)

Z4

Ak,m<<k 1.6 · 1010 k5m .

62

Вероятность максимальна при переходе в основное состояние (m = 1). Для перехода на соседнее нижнее состояние вероятность в два раза меньше

Зависимость вероятности перехода от номера нижнего уровня, вычисленная из (1.4.34), приведена на рисунке (23). Если зафиксировать нижнее состояние, то вероятности переходов с высоких уровней значительно меньше, чем с ближайших, что демонстрируется рисунком 24). Суммарную вероятность радиацион-

Рис. 24: Вероятность излучательных переходов на уровень m = 1 водородоподобного атома с

верхних уровней k.

ного распада уровня k можно оценить (см. [3]) как

Приведенные выше выражения для Akm и fkm можно использовать и для неводородоподобных атомов, если использовать в них эффективные квантовые числа

где Ek – реальная энергия связи данного уровня многоэлектронного атома.

63