Допущения, принятые в модели:
o
тело (среда) однородно и изотропно (свойства не зависят от координат)
oфизические свойства тела постоянны
oдеформация dV из-за изменения температуры пренебрежимо мала
oвнутренние источники теплоты распределены в теле равномерно и имеют неизменную во времени удельную
мощность qv, Вт/м3.
Количество подведённой теплоты = |
dQ dQ1 dQ2 |
||||||
= изменению внутренней энергии вещества в эл. объёме |
|||||||
dQ dU cv |
|
t |
dVd |
v const |
|||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
или изменению энтальпии dQ dH cp |
|
t |
|
dVd |
p const |
||
|
|||||||
|
|
|
|
||||
Количество теплоты, подведённое теплопроводностью вдоль 0х
|
|
r |
r |
|
|
|
|
qx |
|
|
||||
dQ1x dQx dQx dx (qx |
qx dx )(dy dz)d |
|
|
dx |
(dy dz)d |
|||||||||
x |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Здесь использовано разложение функции qx+dx в ряд Тэйлора |
||||||||||||||
qx dx qx |
q |
x dx |
2q |
x |
x2 |
... qx |
q |
x dx |
|
|||||
|
|
|
2! |
|
|
|
||||||||
|
x |
x2 |
|
x |
|
|
||||||||
Суммарное количество теплоты, подведённое к dV извне |
|
|||||||||||||
dQ |
qx |
qy |
qz |
dx dy dz d |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
y |
|
z |
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
где |
r |
|
qx |
|
qy |
|
qz |
r |
– дивергенция |
|
|||||||||
|
q |
x |
y |
z |
div q |
div grad t |
|||
вектора плотности теплового потока (вектор∙ вектор = скаляр). |
|||||||||
Количество теплоты, выделившееся за счёт внутренних источников dQ2 qv dV d qv (dx dy dz) d
Дифференциальное уравнение теплопроводности
(v = const)
Подставляя выражения для dU, dQ1 и dQ2 и сокращая на
dx·dy·dz·dτ , получаем
u
|
|
|
|
|
q |
y |
|
|
|
|
qx |
|
|
|
qz |
q |
|
||
|
|
|
v |
||||||
|
|
|
|
|
y |
z |
|
||
|
x |
|
|
|
|
|
|||
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
q q |
v |
|
|
|
|
|
|||
|
r |
|
|
|
|
|
|
||
div q |
qv |
|
|
|
|
||||
или |
cv |
t |
div grad t qv div grad t qv |
|
|
||||
|
|
|
||
|
|
|
= 2t qv |
Дифференциальное уравнение теплопроводности 
(p = const)
|
|
h |
|
|
|
|
|
q |
y |
|
|
|
|
|
|
|
qx |
|
|
|
qz |
q |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
v |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
z |
|
|||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
r |
qv |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
div q |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q qv |
|
|
|
|
|
||||
или |
cp |
t |
div gradt qv |
|
|||||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В левой части – нестационарный член, описывающий изменение температуры (энергии) тела во времени; первый член справа – описывает изменение температуры тела по пространству вследствие теплопроводности; второй член справа – учитывает влияние внутренних источников на изменение температуры во времени и пространстве. Размерность всех членов – Вт/м3 (мощность, отнесённая к единице объёма).
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
(общий вид)
Опуская индекс при удельной теплоёмкости, указывающий на характер процесса, получаем дифференциальное уравнение теплопроводности в общем виде, связывающее временные и пространственные изменения температуры в любой точке тела, в котором осуществляется процесс теплопроводности
|
t |
|
|
|
|
t |
|
t |
|
||||
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
x |
|
y |
y |
z |
||||
|
|
|
x |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
tz
qv
где физические свойства вещества (с, λ, ) – функции координат и времени.
При постоянных физических свойствах вещества (с, λ, )
t |
|
|
|
|
2 |
t |
|
2 |
t |
2 |
t |
|
qv |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
z |
|
c |
||||||
|
c x |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
t |
|
a 2t |
qv |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Коэффициент температуропроводности (диффузии теплоты)
a |
|
, |
м2 |
|
cр |
с |
|||
|
|
физический параметр вещества. Важная характеристика скорости изменения температуры в нестационарных тепловых процессах.
Если коэффициент теплопроводности λ – характеристика
способности тела проводить теплоту, то а – мера тепловой инерции тела/вещества (скорость изменения температуры тем
выше, чем выше а, т.е. чем выше λ и ниже ср и ρ).
Скалярный оператор Лапласа в декартовой системе координат
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
x2 |
y2 |
z2 |
||||
|
|
|
|
|
Замечания к выводу диф.ур. теплопроводности
c t
|
|
|
t |
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
z |
z |
||||||
x |
|
|
y |
y |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
2 |
t |
|
2 |
t |
|
2 |
t |
|
qv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
y |
|
z |
|
c |
|||||
|
c x |
|
|
|
|
|
|
|||||||
qv
Выведено на основе общих законов физики – закона сохранения энергии – и закона Фурье.
В общем виде содержит переменные физические х-ки: с, λ,
= fi (x, y, z, τ);
В частных случаях (ур-я Фурье, Пуассона, Лапласа) свойства приняты постоянными.
В обозначениях dQ1, dQх … опущен индекс " " (количества
теплоты, введённые в объём dv извне и изнутри за время d ).
Частные случаи уравнения теплопроводности
t a 2t qv
c
Уравнение Фурье – отсутствуют внутренние источники теплоты, qv = 0
t a 2t
Уравнение Пуассона – стационарная задача
t |
|
|
|
|
|
0; |
a 2t |
qv |
0 |
||
|
c |
||||
|
|
|
Уравнение Лапласа – стационарная задача, внутренние источники отсутствуют, qv = 0
t |
qv 0; |
2t 0 |
|
|
|||
|
|
Жан Батист Жозеф Фурье (Jean Baptiste Joseph Fourier; 21 марта 1768 — 16 мая 1830), французский математик и физик.
Родился в семье портного. В 9 лет потерял обоих родителей. Сироту устроили в Военную школу при бенедиктинском монастыре.
В 1808 г. получает от Наполеона титул барона и награждается орденом Почётного легиона. В 1812 г. Фурье получает Большую премию Академии за аналитическую теорию теплопроводности, несмотря на нестрогие доказательства. Впрочем, полная строгость была достигнута только в эпоху Гильберта. Свои методы (ряды и интегралы Фурье) он использовал в теории распространения тепла. Но вскоре они стали исключительно мощным инструментом математического исследования самых разных задач — особенно там, где есть волны и колебания. А этот круг чрезвычайно широк — астрономия, акустика, теория приливов, радиотехника и др.
Симеоон Ден иоПуасс ноо(Siméon Denis Poisson, 21 июня 1781–25 апреля 1840) — знаменитый французский физик и математик.
Отец его, солдат ганноверских войск, дезертировавший вследствие притеснений офицера, занимал незначительную административную должность.
При Наполеоне он возведён в бароны, а при Луи-Филиппе был сделан пэром Франции.
Число учёных трудов Пуассона превосходит 300. Они относятся к разным областям чистой математики, математической физики, теоретической и небесной механики.
Уравнение Пуассона
a 2t qv 0 c