Белорусский национальный технический университет
Кафедра ЮНЕСКО “Энергосбережение и возобновляемые источники энергии”
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
Лекция 4. Теплопроводность многослойной стенки; теплопередача
Стационарная теплопроводность безграничной многослойной плоской стенки при ГУ I рода (qv = 0)
Составляющие стенку однородные слои |
|
|
|
с известной толщиной i |
и постоянными |
|
|
физическими свойствами |
|
tc1 |
tc2 |
(λi = const) находятся в идеальном контакте. |
|
||
|
|
||
Заданы температуры на внешних |
tc3 |
|
поверхностях tс1 и tс4 , постоянные во |
||
|
||
времени и по поверхности. Это делает |
|
|
задачу одномерной (температура меняется |
tc4 |
|
только по нормали к поверхности – вдоль |
||
|
||
оси 0х). |
|
|
Определить температурное поле в |
|
|
стенке и плотность теплового потока. |
|
ТП |
|
Лекция 4 |
|
|
|||
При стационарном режиме через все слои |
tc1 |
tc2 |
|||||
проходит один и тот же постоянный поток теплоты |
|
||||||
|
|
||||||
|
|
|
|
dq |
|
|
tc3 |
q1 q2 q3 |
q const |
; |
0. |
|
|||
dx |
|
||||||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
tc4 |
|
С учётом этого можно составить систему n |
|
||||||
уравнений (здесь n=3) |
|
|
|
|
|||
q |
|
tc1 |
tc2 ; |
|
1 |
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
tc2 |
tc3 ; |
|
|
2 |
|
|||
|
2 |
|
|
|
.......................... |
|
|||
|
n |
tcn |
|
|
q |
|
|
||
n |
tc n 1 . |
|||
|
|
|
|
|
|
tc1 |
tc2 |
q |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
tc2 |
tc3 |
q |
|
2 |
|
; |
|
|
|
|
Выразим из каждого |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
уравнения локальный |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
температурный напор |
||||||||
|
.......................... |
|
и сложим все уравнения, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
что даёт |
|
||
|
|
|
t |
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
tcn |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
c |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
t t |
c1 |
t |
c(n 1) |
q |
1 |
|
2 |
... n |
, |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
n |
||||
Отсюда получаем выражение для плотности теплового потока, переносимого теплопроводностью через многослойную стенку
q |
tc1 tc(n 1) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
n |
||
1 |
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
2 |
|
|
n |
|
t |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i 1 i |
|
|
t |
|
t |
, |
|
n |
|
Вт/м2 |
|||
|
|
R |
|||
|
Ri |
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
R i |
– термическое сопротивление теплопроводности i-того |
|
i |
i |
|
|
слоя, (м2К)/Вт; величина, обратная термической |
|
|
|
проводимости i / i , Вт/(м2К). |
|
n |
|
– суммарное термическое сопротивление |
|
R |
|
i |
|
|
i |
2 |
К)/Вт. |
||
|
i 1 |
теплопроводности многослойной стенки, (м |
Температура на границах слоёв находится как для однослойной стенки из выражений для температурных напоров
tc2 |
tc1 |
q |
|
1 |
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tc1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tc2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– слева направо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или справа налево: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
t |
c3 |
t |
c1 |
q |
1 |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tc3 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tcс3 |
t 4 |
q |
|
|
|
tc4 |
||||||||||||
tc(i 1) tci q |
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
q |
n |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
n |
n 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
t |
|
|
t |
|
q |
1 |
|
... |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
c(n 1) |
|
|
c1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Внутри каждого слоя температура изменяется по линейному закону, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
найденному для однослойной стенки |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
t |
|
x |
, |
... , |
t |
|
|
t |
|
t |
|
xi |
, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
c1 |
|
1 1 |
|
|
|
i |
|
|
ci |
|
|
|
|
|
i i |
|
|||||||||
а для многослойной стенки в целом температурное поле описывается ломаной линией.
Эквивалентный коэффициент теплопроводности
многослойной стенки
равен коэффициенту теплопроводности однородной плоской стенки, имеющей такие же толщину и термическое сопротивление, что и
данная многослойная стенка:
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
tc1 |
|
tc2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
экв |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Rэкв |
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
tc3 |
||||
экв |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
tc4 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|||
i |
|
n |
|
i |
|
|
i 1 |
|
|
, |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
i 1 |
|
|
|
Вт/(м·К). |
|
|
|
|
|||||||||
n |
|
|
n |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
экв |
|
i |
|
|
|
||||||||
экв |
|
i 1 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
экв i |
|||||||||
|
|
|
|
i |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
|||||||
i 1
Стационарная теплопроводность плоской стенки (qv = 0) 
при ГУ III рода (теплопередача)
Процесс переноса теплоты от одной среды (жидкости или газа) к другой
через разделяющую их твёрдую стенку (одно- или многослойную) называется теплопередачей. Теплопередача включает в себя
теплоотдачу от более горячей среды к стенке, перенос теплопроводностью через стенку и теплоотдачу от стенки к более холодной среде.
ТП |
Лекция 4 |
Рассматривается многослойная плоская стенка, состоящая из n однородных слоёв толщиной i с заданными постоянными
коэффициентами теплопроводности λi.
Заданы также температуры горячей tж1 и холодной tж2 жидкостей и коэффициенты теплоотдачи 1 и 2, постоянные во времени и по
соответствующей наружной поверхности. Это делает задачу одномерной (температура меняется только вдоль оси 0х).
Определить:
•тепловой поток от горячей жидкости к холодной;
•распределение температуры (температурное поле) в стенке.
При стационарном режиме тепловые потоки теплоотдачей на обеих сторонах пластины и теплопроводностью через все слои одинаковы
q 1 tж1 tс1 |
i |
tc,i tс,i 1 2 tс,n 1 tж2 , |
Вт |
i |
м2 |
С учётом этого можно составить систему из n+2 уравнений
|
|
tж1 tc1 ; |
q 1 |
||
|
1 |
tc1 tc 2 ; |
q |
||
|
1 |
|
......................... |
||
|
|
|
|
n |
tcn tc(n 1) ; |
q |
||
|
n |
tc n 1 tж 2 . |
|
|
|
q 2 |
||
|
|
|
q |
|
|
|
tж1 |
t |
ж 2 |
|
|
|
k t. |
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||
|
|
n |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
i 1 |
i |
|
2 |
|
||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
tж1 tc1 q |
|
|
|
; |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
tc 2 q |
; |
|
|
|
|
|||||||
|
tc1 |
1 |
|
|
|
|
||||||||||
|
......................... |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
q |
|
n |
|
|
|||||
|
t |
|
|
c(n 1) |
|
; |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
cn |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
||||||
|
t |
|
|
|
t |
|
|
q |
1 |
. |
||||||
|
|
|
|
ж |
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
c |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
i |
1 |
|
|||||
t tж1 tж 2 q |
, |
||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
i 1 |
|
|
2 |
|
||
|
|
i |
|
|
|||||
ТП |
Лекция 4 |
1 |
|
|
– термическое сопротивление теплоотдачи, (м2·К)/Вт. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
R |
|
|
i |
|
|
|
– полное термическое |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
k |
|
1 |
i 1 |
i |
|
|
сопротивление теплопередачи, |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(м2·К)/Вт. |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Коэффициент теплопередачи |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|||||||||||
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
, |
Вт/(м2·К). |
|||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
i 1 |
|
i |
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
i |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
численно равен количеству теплоты, которое передаётся через единицу поверхности стенки в единицу времени при разности температур между жидкостями в один градус