Белорусский национальный технический университет
Кафедра ЮНЕСКО “Энергосбережение и возобновляемые источники энергии”
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
Лекция 9. Нестационарная теплопроводность тел различной формы
Охлаждение (нагревание) бесконечно длинного цилиндра 
и шара
Цилиндр или шар радиусом r0, имеющие в начальный момент времени температуру t0 = f(r, 0) = f(r), мгновенно попадают в охлаждающую жидкость с постоянной температурой tж = const. Отсчёт температуры
ведётся от температуры жидкости:
t tж; 0 f r tж F r .
Рассмотрим простейший случай – однородную начальную температуру в
теле t0 const; 0 t0 tж const.
Теплофизические свойства тел (ср, λ, ) известны и постоянны. Внутренние источники теплоты в телах отсутствуют.
Отвод тепла от поверхности тел к жидкости осуществляется по закону
Ньютона-Рихмана (ГУ III рода) с постоянным по поверхности и во времени коэффициентом теплоотдачи . При таких условиях температура тела в процессе охлаждения изменяется только по радиусу и во времени.
Найти распределение (поле) температуры в теле и количество теплоты, отданное им, в любой момент времени.
Те |
Формулировка задачи |
Цилиндр |
Шар |
Дифференциальное уравнение Фурье в частных производных
|
|
2 |
|
1 |
|
|
2 |
|
|
2 |
||
|
а |
r2 |
|
|
|
а |
r |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
r |
|
|
|
r |
||||||
|
|
Начальные и граничные условия: |
||||||
при |
= 0, 0 r r0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 const; |
0 t0 tж; |
|||||
при |
> 0, r = 0 (на оси цилиндра; в центре шара) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0; |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
при |
> 0, r = r0 |
(на поверхности тела) |
|
|
|
r 0 |
||
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
r r . |
|
|
|
|
r |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
r r |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
ТП |
Лекция 9 |
Задача, аналогично предыдущей, решается с помощью разделения переменных (метод Фурье). Избыточная температура
представляется в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от времени, а вторая – только от радиуса
, r r .
Подстановка этого выражения в диф. уравнение Фурье приводит к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений, которые интегрируются при заданных граничных и начальных условиях. Решения, как и в случае с пластиной, имеют вид бесконечных сходящихся рядов.
При этом вводятся следующие безразмерные переменные:
|
|
|
t t |
ж |
|
|
r |
|
r |
|
|
a |
|
||
|
|
|
|
|
; |
R |
|
; |
Bi |
0 |
; |
Fo |
r0 2 |
. |
|
|
|
tж |
r0 |
||||||||||||
0 |
t0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
ТП |
|
|
|
|
|
|
Лекция 9 |
|
|
|||
|
|
Цилиндр |
|
|
|
|
|
|
Шар |
|
|
||
|
|
|
|
|
Решение в безразмерном виде |
|
|||||||
|
n |
|
n R exp n |
|
Fo |
|
n |
|
2 Fo |
||||
|
|
|
|
|
|||||||||
Dn J0 |
2 |
|
Dn sin n R exp n |
||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
Начальная тепловая амплитуда |
|
|||||||
D |
|
|
|
2J1 |
n |
|
|
|
|
|
|
2 sin n n cos n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n J0 |
|
|
|
n |
|
|
|
Dn |
|||||
n |
|
2 |
n |
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
J1 |
|
|
|
|
n sin n cos n |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
– функции Бесселя первого рода соответственно нулевого и первого порядка, n =1,2,3,..; n – корни характеристического уравнения:
J0 |
|
|
|
tg |
|
|
|
||||||
J1 |
Bi |
|
Bi 1 |
|||
|
|
|
||||
При Fo > 0.25 достаточно только 1-го члена ряда.
Определение корней характеристического уравнения для бесконечно длинного цилиндра
J0 |
|
|
J1 |
Bi |
y |
2 |
|
J0 |
; |
y |
|
|
|
|
||||||
|
|
J1 |
|
|
1 |
Bi |
|
|
|
|
|
|
|||
ТП |
Лекция 9 |
Цилиндр |
Шар |
Малые числа Био, Bi 0 (Bi < 0.1)
D 1, D |
0; |
2 |
2 Bi |
|
1 |
n 1 |
|
1 |
|
J0 
2 Bi R exp 2 Bi Fo
R 1 R 0 exp 2 Bi Fo
J0 x x 0 1
D 1, |
D |
0; |
2 |
3Bi |
||
1 |
|
n 1 |
|
1 |
|
|
sin |
|
|
|
R exp 3BiFo |
||
|
3Bi |
|||||
|
|
|
||||
|
3Bi R |
|
|
|||
R 1 R 0 exp 3BiFo |
||||||
|
|
|
|
sin x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
x 0 |
|
пл |
exp |
BiFo |
|
|
цил exp |
2 BiFo |
при (Bi Fo) = idem пл |
цил ш |
|
ш |
exp 3BiFo |
|
|
|
Влияние формы тела на процесс охлаждения/нагревания
При любых числах Био, одинаковых размере (l0 =х0 = r0) и свойствах скорость изменения температуры
(d /dFo)пластины < (d /dFo)цилиндра < (d /dFo)шара.
Скорость охлаждения (нагревания) произвольного тела пропорциональна
отношению его поверхности к объёму
(F/V)пл : (F/V)цил : (F/V)ш = 1 : 2 : 3
ТП Лекция 9
Отношение площади поверхности к объёму (F/V)пластины : (F/V)цилиндра : (F/V)шара = 1 : 2 : 3
d 2 2ro idem
пластина : |
2F |
|
|
|
|
2 |
|||||
d F |
|
d |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
цилиндр : |
|
|
dl |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
d |
|
|
l |
|
|
||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
шар : |
|
|
d |
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
|||||||
|
|
|
d |
|
|
|
|||||
|
|
|
6 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
4
d
6
d
ТП Лекция 9
Количество теплоты, отданной (воспринятой) в процессе
Цилиндр 
Шар
Полное количество теплоты, отданной за время от = 0 до = ∞
Qп r0 |
2l c t0 tж |
|
4 |
|
|
3 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
Qп 3 |
r0 |
|
c t0 |
tж |
|||||||||||
d0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
l |
|
c t0 tж |
|
|
d |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c t |
|
t |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
ж |
||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
за любой промежуток времени от = 0 до (или от Fo = 0 до Fo)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж |
Q 1 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Q |
Q Q |
Q |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
п |
|
1 |
п |
|
|
|
|
|
|
п |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t0 tж |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
Q/QП при Fo 0.25 (достаточно 1-го члена ряда) |
|
|
|||||||||||||||||||
1 |
|
4 Bi2 |
|
|
|
exp 1 |
2 |
Fo |
|
|
|
|
|
6 sin cos 2 |
1 exp 1 |
2 |
Fo |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 |
1 |
|
|
||||||||
2 |
2 |
Bi |
2 |
|
|
|
|
3 |
1 |
sin 1 cos 1 |
|
|||||||||||||
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
ТП |
Лекция 9 |
Диаграмма для определения количества теплоты, отданной шаром в процессе охлаждения