Охлаждение (нагревание) тел конечных размеров
Однородный и изотропный параллелепипед с размерами 2 x × 2 y × 2 z образован пересечением 3-х безграничных пластин с
соответствующими толщинами. Он охлаждается в среде с постоянной температурой tж при постоянном к-те теплоотдачи на
всей поверхности. В начальный момент времени все точки тела имеют температуру t0.
Найти распределение температуры в теле и количество отданной теплоты в любой момент времени.
Дифференциальное уравнение Фурье
Граничные условия
ТП |
Лекция 9 |
Решением задачи является произведение безразмерных температур для неограниченных пластин, образующих данное тело.
ТП |
Лекция 9 |
Средняя безразмерная температура параллелепипеда
Охлаждение (нагревание) цилиндра конечной длины
Однородный и изотропный цилиндр диаметром 2r0 и длиной 2L
образован пересечением 2-х тел: бесконечно длинного цилиндра и безграничной пластины с соответствующими характерными размерами.
Цилиндр охлаждается в среде с постоянной температурой tж при
постоянном к-те теплоотдачи на всей поверхности. В начальный момент времени все точки тела имеют температуру t0.
r, x, r, x,
ТП |
Лекция 9 |
Решением задачи является произведение безразмерных температур для бесконечно длинного цилиндра и неограниченной пластины, образующих данный конечный цилиндр.
Рассмотренный метод основан на теореме о перемножении решений и иногда называется методом суперпозиции
(наложения) температурных полей.
Регулярный тепловой режим охлаждения/нагревания тел
Полученные решения для тел различной геометрии имеют одинаковую структуру: они представляют собой сумму бесконечного ряда, члены которого быстро убывают по экспоненциальным функциям.
Пластина
n |
|
|
|
x |
|
|
2 |
а |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||||
Аn cos |
n |
|
|
exp |
n |
|
2 |
, |
|||||
|
|||||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Цилиндр |
|
|
|
r |
|
|
|
а |
|||||
n |
|
|
|
2 |
|||||||||
|
А J |
|
|
n |
|
|
exp |
|
n |
|
|
, |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
n |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||
|
n 1 |
|
|
|
r0 |
|
|
|
r0 |
|
|||
Шар
n |
|
|
|
|
r |
|
|
|
2 а |
|||
|
|
А sin |
|
n |
|
exp |
|
n |
|
, |
||
|
|
|
||||||||||
|
n |
|
|
|
|
|
|
r0 |
2 |
|||
|
n 1 |
|
|
|
|
r0 |
|
|
|
|
||
А 2sin n . n 0 n sin n cos n
Аn 0 J 2 2J1 nJ 2 .
n 0 n 1 n
Аn 0 2 sin n n cos n .n sin n cos n
ТП |
Лекция 9 |
В общем виде |
|
|
А U exp |
n |
2 |
а |
|
|
А U exp m |
|
||
|
|
n |
|
|
|
|
|
n |
n |
|
||
|
|
|
n n |
|
х |
2 |
|
|
|
n n |
||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
где Аn – постоянный коэффициент, который не зависит ни от координат, ни от времени, а является функцией только начальных (ϑo) и граничных условий (Bi).
Множитель Un – функция только координаты (Х или R) и числа
Био.
Экспонента описывает зависимость температуры от времени и быстро убывает с ростом , причём комплекс
m |
2a / х2 |
, где |
х или r |
n |
n |
|
0 |
представляет собой вещественное положительное число, которое возрастает с увеличением индекса n = 1,2,3, …
ТП Лекция 9
Весь процесс охлаждения (нагревания) тела можно разделить на 2 стадии.
I– начальная неупорядоченная стадия. При малых временах 0<< 1 распределение температуры внутри тела и скорость её
изменения в разных точках различны и зависят от начального распределения температуры.
Расчёт температуры на I стадии требует учёта нескольких членов ряда.