Белорусский национальный технический университет
Кафедра ЮНЕСКО “Энергосбережение и возобновляемые источники энергии”
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
Лекция 5. Стационарная теплопроводность цилиндрической стенки
Граничные условия I рода (qv = 0)
Рассматривается стационарный процесс |
z |
теплопроводности в цилиндрической стенке |
|
(трубе) с внутренним диаметром d1= 2r1 и |
|
наружным диаметром d2= 2r2 (толщина |
|
стенки = r2 – r1). Длина трубы l >> d2. |
|
На поверхностях стенки заданы |
|
постоянные во времени и по поверхности |
|
температуры tс1 (при r = r1) и tс2 (при r = r2). |
|
Физические свойства материала стенки |
|
известны и постоянны. Это означает, что |
|
температура стенки изменяется только в |
|
радиальном направлении: t = f (r). |
|
Определить распределение температуры в стенке и тепловой поток через неё.
Математическая формулировка задачи
Дифференциальное уравнение теплопроводности в цилиндрической системе координат
2t |
2t |
|
1 t |
|
1 2t |
|
2t |
0. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
r2 |
r r |
r2 2 |
z |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
Для одномерной задачи (t = f (r)) |
|||||||||||||
d 2t |
|
1 dt |
0. |
(1) |
||
|
|
|
||||
dr2 |
r dr |
|||||
|
|
|
||||
Граничные условия |
|
|||||
t(r1) tc1 |
|
(2) |
||||
t(r2 ) tc2 |
|
(3) |
||||
Решение задачи
Введём новую переменную
|
|
dt |
|
|
|
|
d 2t |
du |
1 dt |
u |
|||
u dr |
|
|
|
|
|
dr , |
|
r , |
|||||
|
|
|
dr2 |
|
r dr |
||||||||
тогда уравнение (1) принимает вид |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
du |
|
1 u 0. |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
dr |
|
r |
|
|
|
|
||
|
Разделяя переменные и интегрируя, получаем |
||||||||||||
|
du |
|
|
dr 0 |
|
ln u ln r ln C1 |
ln(ur) lnC. |
||||||
u |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Потенциируем (5) и переходим к исходным переменным |
||||||||||||
|
|
|
|
ur C |
|
|
dt |
C1 |
dr |
||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
r ; |
dt C1 r . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dr |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрирование (6) даёт |
|
|
|
|
||||||||
|
|
dt C1 drr |
|
|
t C1lnr C2. |
||||||||
(4)
(1 )
(5)
(6)
(7)
ТП |
Лекция 5 |
Общее решение (7) соответствует логарифмическому закону
изменения температуры по толщине стенки (вдоль оси 0r).
Последовательно применяя к (7) граничные условия (2) и (3), получаем систему из 2-х уравнений
tc1 C1 ln r1 C2 ; |
tc2 C1 ln r2 C2 , |
решение которой даёт постоянные интегрирования
C1 |
tc1 tc2 |
; |
C2 tc1 tc1 tc2 |
ln r1 |
|
. |
||
ln(r / r ) |
ln(r / r ) |
|||||||
|
|
|
|
|||||
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
|
|
Подстановка С1 и С2 в общее решение (7) даёт частное решение для распределения температур по толщине стенки трубы
|
|
ln |
r |
|
|
|
ln |
d |
|
|
||
t tc1 tc1 |
tc2 |
r1 |
|
|
t tc1 t |
d1 |
. |
(8) |
||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
r2 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
или |
ln |
|
|
|
ln d2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
d |
|
||
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
Распределение температуры по толщине цилиндрической стенки в безразмерном виде
Вводя безразмерную температуру
t tc2 tc1 tc2
и безразмерный радиус R = r/r1,
получим безразмерный профиль температуры в виде
1 ln R . ln R2
Далее введём обобщённую координату
X ln R , ln R2
что даёт обобщённое безразмерное распределение температуры, линейное относительно Х и аналогичное полученному ранее для плоской стенки
Плотность теплового потока, проходящего через стенку
трубы, можно найти по закону Фурье, подставляя в него градиент температуры из общего решения (6)
dt |
С1 |
1 tc1 tc2 |
|
|
2 |
|
t |
|
|
|
|
|
|
r1 |
1 ln( r1 ) 0 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
r2 |
|||||||||||
dr |
|
r r |
ln( |
r1 |
) |
d |
ln( |
d1 |
; |
|
|
|
(9) |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
d |
|
) |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q |
dt |
|
tc1 tc2 |
|
|
2Вт t |
, |
|
. |
(10) |
|
|
|||||||||
dr |
r |
|
|
r2 |
|
|
d |
|
|
|
d2 |
м2 |
|
|
|||||||
|
|
|
ln( |
) |
|
|
|
ln( |
) |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
Из (9) и (10) следует, что градиент температуры |
|
|
|||||||||||||||||||
и плотность теплового потока уменьшаются по |
|
|
|||||||||||||||||||
абс. величине обратно пропорционально |
|
|
q ~ 1/r |
||||||||||||||||||
текущему радиусу r. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Следствием этого является криволинейное распределение температуры по толщине
цилиндрической стенки.
Количество теплоты (Q, Вт), проходящее в единицу времени через текущую цилиндрическую поверхность F(r) = 2πrl = πdl, найдём из выражения для плотности теплового потока (10)
Q qF 2 rl |
tc1 tc2 |
|
2 l |
tc1 tc2 |
|
|
2 l t |
. |
(11) |
||||||
r ln( |
r2 |
) |
|
ln( |
r2 |
) |
|
ln( |
d2 |
) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
d |
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|||
Из (11) следует, что количество теплоты Q, проходящее в единицу времени через
цилиндрическую стенку, не зависит от Q=const
текущего радиуса и полностью определяется заданными условиями однозначности.
ТП Лекция 5
Плотность теплового потока, см. уравнения (10), (11),
относят к ед. площади либо внутренней поверхности (d = d1, F1 = πd1l)
q Q |
|
2 |
t |
|
|
q |
|
|
t |
|
|
|
,Вт/м 2; |
|
d |
|
d2 |
|
|
d1 |
|
d |
2 |
|
|||||
F |
|
ln( |
) |
|
1 |
|
ln( |
) |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
d |
|
|
|
2 |
d |
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
либо внешней поверхности (d = d2, F2 = πd2l)
q |
|
|
|
t |
|
|
|
,Вт/м 2. |
F |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
||
|
d |
|
|
d |
|
|
F2 |
||
2 |
|
2 |
ln( |
2 |
) |
|
|||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
d1 |
|
|
||||
Всегда |
q1 q2 . |
ТП |
Лекция 5 |
В практических расчётах удобно использовать линейную
плотность теплового потока, отнесённую к единице длины
трубы:
ql Q |
|
ql |
|
t |
,Вт/м |
|||
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
d2 |
|
||||
l |
|
|
|
ln( |
) |
|
||
|
|
|
2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
d |
ql = const |
||
|
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
ql , так же как и Q, не зависит от текущего радиуса
и полностью определяется условиями однозначности.
ql d1q1 d2q2.
Выражая t через ql , из (8) можно получить
|
|
|
ln d d1 |
|
|
|
|
q 1 |
|
d |
|
||
t t |
|
t |
|
|
|
t |
|
|
l |
|
ln |
|
. |
c1 |
ln d2 |
d1 |
|
c1 |
|
d1 |
|||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||||