Белорусский национальный технический университет
Кафедра ЮНЕСКО “Энергосбережение и возобновляемые источники энергии”
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
Лекция 2. Дифференциальное уравнение теплопроводности
Г.И.Пальчёнок
ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЙ МЕТОД
В основу исследования процессов тепло- и массообмена положен феноменологический метод, в соответствии с которым вещество рассматривается как сплошная среда, а
его молекулярное строение игнорируется.
Данный метод позволяет теоретически установить общие связи (законы, закономерности) между параметрами, характеризующими данное явление в целом. Для этого используются общие физические законы (з-ны сохранения энергии, массы, количества движения)
Роль конкретной физической среды при этом учитывается эмпирическими законами Фурье, Ньютона, Фика, включающие коэффициенты, которые определяются
экспериментально (к-ты теплопроводности λ, диффузии D,
вязкости μ) для каждой среды. (Как достоинство, так и недостаток метода)
ТП |
Лекция 2 |
|
СТАТИСТИЧЕСКИЙ МЕТОД |
Наряду с феноменологическим методом для
исследования явлений природы вообще и тепломассообмена в частности используется статистический метод, в
котором общие законы выводятся на основании анализа
известных свойств микроскопической структуры среды без проведения дополнительных экспериментов.
Недостатки:
oсложность, возможность получения конечных расчётных соотношений лишь для упрощённых физических моделей вещества;
oсвойства микроструктуры среды – предмет исследований в специальных разделах физики, т.е. в любом случае не обойтись без дорогостоящих экспериментов.
Математическая модель сплошной среды
Теоретическое исследование процессов тепломассообмена производится на основе их
математического описания в рамках модели сплошной среды.
Согласно этой модели в бесконечно малом (элементарном) объёме среды V , размеры которого пренебрежимо малы по сравнению с характерным геометрическим масштабом рассматриваемой системы (например, с диаметром трубы), содержится очень большое
количество структурных микрочастиц.
Тогда допустимо предположение о локальном (в пределах V ) термодинамическом равновесии в любой точке среды в любой момент времени. При этом параметры состояния среды (Т, р, w, ρ, Сi) можно рассматривать как непрерывные функции координат и времени.
ТП |
Лекция 2 |
Состояние сплошной среды можно считать полностью определённым, если известны значения этих параметров (Т, р, w, ρ, Сi) в любой точке в
любой момент.
Значит целью теоретического исследования процесса тепломассообмена является нахождение из математического описания (модели) полей температуры, давления, скорости, плотности и концентраций.
При известных полях данных параметрах нетрудно рассчитать потоки теплоты, массы и гидравлические сопротивления в рассматриваемой системе, представляющие практический интерес.
ТП |
Лекция 2 |
|
ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ |
Процесс теплопроводности связан с изменением распределения температуры тела/системы тел во времени и пространстве.
Совокупность значений температуры во всех точках
исследуемой системы для каждого момента времени – температурное поле. Математически температурное поле в
общем виде описывается уравнением
t = f (x, y, z, τ).
Данное уравнение описывает общий случай – нестационарное трехмерное температурное поле,
изменяющееся во времени и по всем 3-м координатам в прямоугольной (декартовой) системе.
Цель исследования теплопроводности – нахождение температурного поля, и, следовательно, потоков теплоты (по закону Фурье).
ТП |
Лекция 2 |
|
СИСТЕМЫ КООРДИНАТ |
Декартова (а), цилиндрическая (б) и сферическая системы координат.
векторы)
Безградиентное нестационарное температурное поле
(температура одинакова по объёму тела, например, при λ ∞)
|
|
t |
|
t |
|
t |
|
|
|
|
t f ; |
|
|
|
0 |
|
t grad t 0. |
||||
x |
y |
z |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ir x rj y kr z
– векторный нáбла-оператор (оператор Гамильтона)
r t |
r t |
r t |
||
t i x |
j y |
k z grad t |
||
|
|
|
|
– градиент температуры в |
|
|
|
|
декартовых координатах (скалярное |
произведение вектора на скаляр = вектор) |
||||
Плотность теплового потока в декартовых координатах (вектор) |
|||||||||||||||
|
r |
t |
t |
r |
|
t |
r |
|
t |
r |
qx qy qz |
||||
|
q |
|
i |
|
j |
|
k |
||||||||
x |
y |
z |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ТП |
Лекция 2 |
Стационарное температурное поле соответствует установившемуся тепловому режиму теплопроводности, при котором в каждой точке пространства температура неизменна во времени
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
||
t f x, y, z ; |
|
|
|
|
0 |
– трёхмерное стационарное |
||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
поле (3D) |
|||
|
|
t |
|
|
|
t |
|
|
||
t f2 x, y ; |
|
|
|
|
0 |
– двумерное стационарное поле |
||||
|
|
|
z |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
(2D) |
|||
|
|
t |
|
t |
|
t |
|
|
t f1 x ; |
|
|
|
0 |
||||
|
y |
z |
||||||
|
|
|
|
|
– одномерное стационарное поле – простейший случай (1D)
Температурное поле аналитически находится путём решения
дифференциального уравнения теплопроводности – уравнения сохранения энергии в бесконечно малом (элементарном) объёме
dV, выделенном в рассматриваемом теле (среде), за бесконечно малое (элементарное) время d .
dV -куб с размерами dx, dy, dz dV dx dy dz,м . 3
dU dQ dQ1 dQ2
Изменение внутренней
энергии (или энтальпии) вещества, содержащегося в dV, за время d равно сумме количеств теплоты:
dQ1 – поступившего извне в dV теплопроводностью и
dQ2 – выделившегося в dV за счёт внутренних источников.