Белорусский национальный технический университет
Кафедра ЮНЕСКО “Энергосбережение и возобновляемые источники энергии”
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
Лекция 3. Теплопроводность при стационарном режиме
УСЛОВИЯ ОДНОЗНАЧНОСТИ
Дифференциальное уравнение теплопроводности (ДУТ) выведено из общих законов физики и, следовательно, описывает процессы теплопроводности в любых условиях, т.е. описывает бесчисленное множество явлений.
Для выделения из этого множества какого-то конкретного процесса к ДУТ необходимо присоединить математическое описание всех особенностей именно данного рассматриваемого
процесса.
Эти частные особенности называются условиями однозначности, которые включают в себя:
геометрические условия (форма и размеры тела, в котором
протекает процесс);физические условия (свойства тела и окружающей среды: с, λ,
, … ; закон распределения внутренних источников теплоты);
краевые условия
oначальные (временнЫе) условия (распределение
температуры в теле в начальный момент времени);
o граничные условия, характеризующие взаимодействие тела с
окружающей средой (условия на границах тело-среда).
ТП |
Лекция 3 |
НАЧАЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ (Initial conditions)
Необходимы при рассмотрении нестационарных процессов и состоят в описании закона распределения температуры (т.е. температурного поля) в теле в начальный момент времени (τ=0).
В общем случае
tτ=0 = f (x, y, z).
При равномерном начальном распределении температуры в теле НУ упрощаются
t = t0 = const.
Пример:
слиток металла, разогретый в кузнечном горне до определенной температуры to (на глаз – по цвету), мгновенно
погружается в холодную воду, после чего начинается процесс охлаждения (закалка).
ГРАНИЧНОЕ УСЛОВИЕ первого рода (ГУ I рода; задача Дирихлé)
Задаётся распределение температуры на поверхности тела для каждого момента времени:
tс = f (x, y, z, τ).
В частном случае, когда температура на поверхности тела является постоянной на протяжении всего процесса, условие упрощается
tс = const.
Примеры:
1)тело обогревается конденсирующимся паром или охлаждается кипящей жидкостью. Температура поверхности тела в любой
момент времени может быть принята равной температуре насыщения (ts = const при р = const) благодаря высокой интенсивности теплоотдачи.
Граничное условие второго рода (ГУ II рода; задача Неймана))
Задаётся величина плотности теплового потока для каждой точки поверхности тела в любой момент времени:
t |
|
|
qc f x, y, z, c |
|
. |
х c
В частном случае, когда плотность теплового потока на всей поверхности тела постоянна на протяжении всего процесса
|
|
|
|
Адиабатные условия |
(идеальная изоляция) |
||||
q |
|
t |
|
const |
|
|
|||
c |
c |
|
||
|
х c |
|
||
Примеры: 1) электрообогрев тела поверхностным нагревателем; 2) лучистый обогрев тела в высокотемпературной радиационной печи (температура поверхности тела << температуры излучателя).
Граничное условие третьего рода
(ГУ III рода; конвективное ГУ)
Задаются: 1) температура окружающей среды и 2) закон теплообмена между телом и средой (к-т теплоотдачи α)
|
|
t |
|
|
qcж с t |
t |
т |
|
|
|
||||
|
|
х с |
||
tх
|
|
|
tж tс |
|
|
|
|||
т |
||||
с |
|
|
Индексы: "с" – поверхность тела (х=0), "т" – тело, "ж" – жидкость.
Данное условие является частным выражением закона сохранения энергии для поверхности тела: количество теплоты,
которое подводится к поверхности тела от жидкости в процессе теплоотдачи, равняется количеству теплоты, отводимому теплопроводностью от поверхности внутрь тела.
Обычно принимают const на всей поверхности.
Граничное условие четвёртого рода
(ГУ IV рода; сопряжённая задача)
Применяется для расчёта теплового взаимодействия между телами или телом и средой в случаях, когда ГУ 1-3 рода сформулировать не удаётся.
При идеальном тепловом контакте должны соблюдаться условия равенства температур и плотностей тепловых потоков на границе раздела
|
|
|
|
|
t1,г |
t2,г |
|
|
|
|
||||
|
|
t |
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
q |
||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
1 |
n |
|
2 |
|
|
|
|
v |
|||||
|
|
|
г |
|
|
|
|
n |
г |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
t |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
1 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
(qv 0) |
|||
|
n |
г |
|
|
|
n |
|
г |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Индексы: "г" – граница раздела тел (n=0), "1" и "2" – номера тел.
Сопряжённая задача сводится к нахождению температурных полей по обе стороны от границы раздела.
Стационарная теплопроводность безграничной плоской
стенки (пластины) при ГУ I рода и qv = 0
Рассматривается однородная плоская стенка с постоянными
физическими свойствами (λ, с, = = const), толщиной , которая намного меньше (<<) ширины и высоты пластины, и площадью
наружной поверхности F (с каждой стороны).
На наружных поверхностях стенки поддерживаются постоянные температуры
tс1 – слева и tс2 –справа.
Определить температурное поле в
стенке, плотность теплового потока и q, Qτ количество теплоты, переносимой через стенку теплопроводностью.
ТП Лекция 3
Дифференциальное уравнение теплопроводности
t a 2t qv
c
Уравнение Фурье (qv = 0)
t a 2t
Уравнение Пуассона (стационарная задача)
a 2t qv 0 c
Уравнение Лапласа (стационарная задача, qv = 0, а = const)
2t |
|
2t |
|
2t |
0 |
|
a 2t 0 |
d 2t |
0 |
|
|
|
|
dx2 |
|||||
x2 |
y2 |
z2 |
2t 0 |
Математическая формулировка задачи
Стационарная теплопроводность безграничной плоской
пластины в отсутствие внутренних источников тепла описывается одномерным [t = f(x)] уравнением Лапласа
d 2t |
0. |
(1) |
|
dx2 |
|||
|
|
Граничные условия I рода (для обеих поверхностей пластины):
– при х = 0
t |
|
|
|
x 0 |
t(0) tc1 |
(2) |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|||
– при х = |
|
|
||||
t |
|
x |
t( ) tc2 |
(3) |
||
|
||||||
|
|
|||||