Белорусский национальный технический университет
Кафедра ЮНЕСКО “Энергосбережение и возобновляемые источники энергии”
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
Лекция 6. Теплопроводность шаровой стенки. Методы интенсификации теплообмена
Стационарная теплопроводность шаровой
(сферической) стенки
Стационарная теплопроводность через однородную шаровую стенку в отсутствие внутренних источников тепла описывается одномерным (t = f(r)) дифференцильным уравнением Лапласа
2t d 2t 2 dt 0 dr2 r dr
интегрирование которого при ГУ I рода даёт гиперболическое распределение температуры
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
t tc1 tc1 tc2 |
|
|
r1 |
r |
|
||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
1 |
|
||
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
r |
r |
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
Подстановка полученного распределения температуры в закон Фурье
Q drdt F drdt 4 r2 drdt d 2
даёт значение теплового потока
Q 4 |
tc1 tc 2 |
2 |
|
|
t |
|
|
|
d d |
t,Вт |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
||||
1 |
1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|
d |
d |
2 |
|
|
|
|
|||
|
1 |
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||
При ГУ III рода (заданы температуры жидкостей, а так же коэффициенты теплоотдачи внутри и снаружи стенки, постоянные по
поверхности) тепловой поток Q в стационарном режиме постоянен вдоль r
2 |
tж1 |
|
2 |
tсi |
tс i 1 |
|
2 |
tc(n 1) |
tж2 |
|||
Q 1 d1 |
tc1 |
|
|
|
|
|
2 d2 |
|
||||
|
1 |
|
1 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
di |
di 1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
ТП |
Лекция 6 |
Отсюда следует уравнение теплопередачи через многослойную
шаровую стенку |
|
tж1 |
t |
ж2 |
|
|
|
|
|
|||||||
Q |
|
|
|
|
|
|
|
kш t,Вт |
||||||||
1 |
n |
1 1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2d |
2 |
|
|
|
|||||
|
1d1 |
i 1 |
2 i di |
|
|
di 1 |
|
n 1 |
||||||||
Коэффициент теплопередачи шаровой стенки
kш |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
,Вт/К |
1 |
|
n |
1 |
|
1 |
1 |
|
1 |
|||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2d |
2 |
|
|
1d1 |
|
i 1 |
2 i di |
di 1 |
|
n 1 |
||||
Полное термическое сопротивление теплопередачи шаровой стенки
R 1 |
1 |
|
n |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
,К/Вт |
||
|
|
|
||||||||||||
ш |
kш |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2d |
2 |
|
|
|
1d1 |
|
i 1 |
2 i di |
|
di 1 |
|
n 1 |
|
|||||
Обобщённый метод решения задач стационарной
теплопроводности
Рассматриваем одномерную задачу при ГУ I рода для трёх основных 1D-геометрических форм (безграничная пластина, бесконечная цилиндрическая и шаровая стенки при постоянном коэффициенте теплопроводности стенки λ = const.
Зависимость температуры от пространственной координаты обозначим t = f (n), где n – координата, нормальная к
изотермическим поверхностям и равная соответственно n = х; n = r; n = r.
Тепловой поток через стенку можно представить в соответствии с законом Фурье
Qdndt F n ,Вт
Встационарном тепловом режиме Q = const вдоль координаты n (т.е. для любой изотермической поверхности), что позволяет разделить переменные и проинтегрировать уравнение в пределах
от n1 до n2 и соответственно от tc1 до tc2
ТП |
|
|
|
Лекция 6 |
|
|||
|
|
Q |
tc1 tc2 |
|||||
|
|
n |
dn |
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
|
||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
F n |
|
|
||
|
n2 |
dn |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Величину |
n |
|
называют приведённой толщиной |
|||||
F n |
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
стенки; она зависит только от геометрии стенки.
– Плоская стенка (пластина):
n = х, n1 = 0, n2 = , F(n) = F = const,
n |
dn |
|
1 |
|
|
2 |
|
dx |
|||
n |
F n |
|
F |
0 |
F |
1 |
|
|
|
|
|
ТП |
Лекция 6 |
– Цилиндрическая стенка: |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
n = r, n1 = r1, n2 |
= r2, F(n) = F(r) = 2π·r·l, |
|
||||||
|
|
|
n2 |
dn |
|
r2 |
dr |
1 |
r |
|
|
|
|
n |
F n |
r |
2 rl |
2 l ln r1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
– Шаровая стенка: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
n = r, n1 = r1, n2 |
= r2, F(n) = F(r) = 4π·r2, |
|
||||||
n2 |
dn |
r2 |
dr 2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
1 |
|
|
|
||||||
n1 |
F n |
r1 |
4 r |
4 |
r1 |
r2 |
(знаки в скобках поменялись т.к. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xa 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xa dr a 1, |
a 1) |
Интегрирование исходного уравнения
Qdndt F n ,Вт
впределах от n1 до текущей координаты n и соответственно от tc1 до t
позволяет получить уравнение для температурного поля в стенке
|
|
|
|
|
|
|
Q n |
dn |
|
|
|
||||||||
|
|
|
t tc1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
F n |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
tc1 tc2 |
|
|
||||||||||||
Подставляя |
|
|
|
n2 |
|
dn, получаем |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F |
n |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
dn |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
t t |
c2 |
|
1 |
|
|
F n |
1 |
X |
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
tc1 tc2 |
n |
|
|
|
dn |
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
F n |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подстановка уже вычисленых интегралов даёт:
|
|
Пластина |
|
|
Цилиндр |
|
|
Шар |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
Тепловой поток через стенку Q, Вт |
|
tc1 tc 2 |
|
|
||||||||||||||
Q |
tc1 |
tc 2 |
F |
Q |
|
l tc1 tc2 |
Q |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
||||||||||||||
|
1 |
|
r2 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
r |
r |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
r |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обобщённое критериальное уравнение температурного поля
1 X
|
|
|
t tc2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
tc1 tc2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
Обобщённая безразмерная координата |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x |
|
|
|
ln |
r |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
||||
|
|
|
r |
|
|
|
|||||||||||
X |
X |
|
X |
|
|
r |
r |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
r2 |
1 |
|
|
1 |
|
|||||||||
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r1 |
r2 |
|
||||
|
|
|
|
r |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Упрощённый расчёт теплового потока через плоскую, цилиндрическую и шаровую стенки (ГУ 1 рода)
Q tc1 tc2 Fx
Эффективная расчётная поверхность Fх рассчитывается в зависимости от соотношения внешней и внутренней поверхностей: а) для всех 3-х геометрических форм при F2 / F1 < 2 (плоская
стенка, например, с накаткой или насечкой на внешней стороне)
F |
F1 F2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
б) для цилиндрической стенки при F2 / F1 > 2 |
Fx |
|
|
F2 F1 |
|||
ln F2 / F1 |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
в) для шаровой стенки при F2 / F1 > 2 |
F |
|
F F |
||||
|
|
|
x |
|
2 1 |
||