Белорусский национальный технический университет
Кафедра ЮНЕСКО “Энергосбережение и возобновляемые источники энергии”
ТЕПЛОПЕРЕДАЧА
Лекция 7. Нестационарная теплопроводность
Общие положения нестационарной теплопроводности
Нестационарная теплопроводность – это процесс молекулярного
переноса теплоты, при котором температура тела (системы) изменяется не только от точки к точке (т.е. по пространству), но и с течением времени (т.е. во времени).
Такие процессы встречаются при охлаждении продуктов в холодильниках, нагревании обрабатываемых заготовок и изделий в технологических процессах, обжиге кирпича, вулканизации резины, пуске/останове энергетических и холодильных агрегатов и т.п.
Среди практических задач нестационарной теплопроводности особо следует выделить две группы процессов:
1.тело стремится к тепловому равновесию (нагрев/охлаждение тел, помещённых в среду с заданными свойствами);
2.процессы в периодически действующих
теплообменниках (например, в регенеративных, насадка которого попеременно нагревается горячим теплоносителем и охлаждается нагреваемой средой).
Далее рассматриваются в основном процессы 1-й группы.
Изменение температуры при нагревании (охлаждении)
С течением времени температура в каждой точке тела ассимптотически приближается к tж, т.е. ϑ → 0.
Нестационарная теплопередача
В условиях теплопередачи через стенку внезапное изменение
(например, повышение) температуры горячего теплоносителя приведёт к тому, что сначала не вся теплота будет передаваться к
холодному теплоносителю: часть её уйдёт на нагрев самой стенки (повышение её внутренней энергии и температуры), и только по достижении теплового равновесия (при выходе на стационарный режим) вся теплота опять будет передаваться через стенку.
Приведённый пример отражает тот факт, что нестационарные тепловые процессы всегда связаны с
изменением внутренней энергии объекта (т.н. аккумуляцией теплоты).
Охлаждение (нагревание) неограниченной пластины
Постановка задачи. Плоская неограниченная
пластина (толщина 2 << высоты и ширины), имеющая начальную температуру t0 = f(x), мгновенно
попадает в охлаждающую жидкость с постоянной температурой tж = const. Теплофизические свойства
пластины (ср, λ, ) известны и постоянны.
ГУ III рода: На обеих поверхностях пластины задан постоянный по поверхности и во времени
коэффициент теплоотдачи α = const. При таких условиях температура пластины в процессе охлаждения будет изменяться только по толщине и во времени t = f(x, τ) – 1-мерная нестационарная теплопроводность.
Найти распределение (поле) температуры в пластине и количество теплоты, отданное ею, в любой момент времени.
Математитическая формулировка задачи
Общее дифференциальное уравнение теплопроводности, имеющее при постоянных теплофизических свойствах вид
|
t |
2 |
|
q |
|
|
a |
t c |
|
, |
|
|
|
v |
|
|
|
||
в отсутствие внутренних источников теплоты (qv = 0) сводится к уравнению Фурье
|
t |
a 2tа, |
|
|
|
|
|
||
, |
cp |
|||
где оператор Лапласа от температуры для плоской одномерной задачи
2t |
2t |
|
2t |
|
|
2t |
|
2t |
|
||
x2 |
y |
2 |
|
z |
2 |
x2 |
|||||
|
|
|
|
|
|||||||
. |
|
|
|
|
|
t tж |
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Вводя вместо t избыточную температуру 2 |
|
|
, получаем |
||||||||
|
|
a |
x2 |
|
|
|
|
|
|
||
Начальные и граничные условия
Начальные условия: при 0 |
0 f x tж F x |
Граничные условия отражают. симметрию профиля температуры (максимум на оси) и равенство тепловых потоков конвективной теплоотдачей (з-н Ньютона-Рихмана) и теплопроводностью (з-н Фурье) на поверхности:
при х 0
при х
|
|
0; |
|
||
х |
|
|
|
х 0 |
|
|
|
|
|
|
|
х . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
х |
|
х |
|
t tж |
|
|
|
||
|
|
|
|
t tж |
|
||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
х |
|
х |
||
|
|
|
|
|
|
|
х |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Дифф. уравнение Фурье вместе с начальными и граничными условиями, а также заданными физическими и геометрическими характеристиками однозначно формулируют поставленную задачу.
ТП |
Лекция 7 |
|
a |
2 |
Решение диф. уравнения ищем в виде произведения |
|
x2 |
||
двух функций, одна из которых является функцией |
|
|
|
|
только х, а другая – только τ (метод разделения переменных или |
|||
метод Фурье) |
, х х |
||
|
|||
После подстановки этого выражения в диф.ур. получаем |
|||
|
х а |
2 х |
|
|
|
||
|
|
х2 |
|
или |
х а х |
||
В этом уравнении легко разделить переменные так, чтобы левая часть была функцией только времени, а правая – только координаты
|
а |
х |
|
х |
|||
|
|
Если зафиксировать х (причём правая часть |
|
а |
х |
||
|
|
|
х |
||
станет равна какой-то постоянной величине)
и менять только , то при любом его значении левая часть уравнения будет равна постоянной правой части
const.
Аналогично при фиксации и изменении х правая часть уравнения для любого х должна равняться постоянной левой части
х const.
х
Так как равенство должно соблюдаться при любых значениях и х, то обе его части должны быть равны одной и той же постоянной, причём отрицательной, величине. Обозначив её – k2 , получим
из физич. соображений для |
1 |
х |
const k |
2 |
. |
|
процессов, стремящихся к |
а |
|
|
|
||
х |
|
|||||
равновесию, т.е. к ϑ = 0 |
|
|
|
|
|
|
ТП |
1 |
х |
k |
2 |
|
|
а |
|
|
|
|
|
х |
|
|||
Отсюда получаем систему двух обыкновенных дифференциальных
уравнений, которые легко интегрируются
аk 2 0;
х k 2 х 0.
Этим уравнениям соответствуют общие решения
С1 exp ak 2 ;
х С2 sin kx С3 cos kx .
Отсюда
|
|
|
|
|
х |
|
|
2 |
sin |
|
kx |
|
3 |
cos |
|
kx |
1 |
|
ak 2 |
|
. |
|
|
|
|
С |
|
|
|
С |
|
С exp |
|
|
Данное общее решение удовлетворяет исходному ур-ю Фурье при любых значениях С1, С2, С3 и k. Однако для того, чтобы оно
было решением конкретной задачи, все постоянные необходимо найти из краевых условий.
|
2 |
sin |
|
kx |
|
С |
3 |
cos |
|
kx |
1 |
exp |
|
ak 2 |
|
|
0 |
С |
|
|
|
|
|
С |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
х |
х 0 |
Из условия симметрии профиля температур можно получить |
|
||||||||||||||||
С2 cos 0 С3 sin 0 ,
откуда С2 = 0 |
|
и |
|
|
|
|
|
|||||
|
{1 |
3 |
cos |
|
kx |
|
exp |
ak |
2 |
|
||
С С |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
exp |
ak 2 . |
|
||||
|
А |
cos |
kx |
|
||||||||
Из условия теплоотдачи (Ньютона-Рихмана) можно получить
kАsin k exp ak 2 Аcos
|
|
|
|
|
|
|
|||
х |
|
х |
|
х |
|
|
k exp ak 2 ,
откуда |
ctg k |
|
k |
|
|
|
|||
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ТП |
|
ctg k |
|
k |
|
|
|
|
|||
Здесь |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
Bi |
|
безразмерный критерий Био, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
однозначная характеристика системы, содержащая заданные граничными условиями свойства пластины и к-т теплоотдачи.
Обозначая k = , можно переписать полученное тригонометрическое уравнение
ctg Bi.
Для этого характеристического уравнения при каждом значении Bi существует бесчисленное множество решений, которые удобно получить графическим способом.
Обозначим левую часть у1, а правую у2. Пересечение
котангенсоиды у1 с прямой у2 даёт значения корней характеристического уравнения при данном числе Bi.
ТП |
Лекция 7 Из приведённого графика |
||
|
следует, что |
||
|
характеристическое |
||
|
уравнение |
||
|
ctg |
|
. |
|
|
||
|
|
Bi |
|
|
имеет для каждого Bi |
||
|
бесчисленное множество |
||
|
значений n , каждое |
||
|
последующее из которых |
||
|
больше предыдущего: |
||
|
1 < 2 < 3 <…< n < … |
||
Значения первых 4-6 корней хар. уравнения обычно затабулированны.
ТП |
у1 ctg |
|
у2 |
|
Bi |
||||
|
|
|
При Bi 0 прямая у2 совпадает с осью ординат (0у) и корни характ. уравнения стремятся к точкам разрыва функции котангенса
1 0; 2 ; 3 2 ;... |
; n n 1 ;... |
n 1,2,3,... |
Для 0 < Bi < величины n имеют промежуточные значения.
Каждому корню n температуры
соответствует своё частное распределение
|
|
|
x |
|
|
2 а |
|
||
1 |
А1 cos |
1 |
|
exp |
1 |
|
2 |
; |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
.....................................................
|
|
x |
|
|
2 а |
|
||
n Аn cos |
n |
|
exp |
n |
|
2 |
, |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
но ни одно из них не соответствует действительному начальному распределению ϑ=ϑо при = 0 . Только путём наложения
бесконечного числа частных распределений ϑ можно воспроизвести
истинное начальное распределение.