Таким образом, общее решение задачи можно представить суммой бесконечного ряда
n |
|
|
x |
|
|
2 |
а |
|||||
|
|
|
||||||||||
Аn cos n |
|
|
exp |
n |
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
||||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
или |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
||
n |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Аn cos |
n |
|
|
|
exp n |
|
Fo , |
||||
|
|
|
|
|||||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
где в показатель экспоненты входит безразмерное число (критерий) Фурье, представляющий собой безразмерное время
Fo а2
Оценка (по порядку величины) характерного времени охлаждения/нагревания пластины
Fo а |
|
|
Þ о : |
2 |
|
а |
|||
2 |
о |
|
||
Неизвестную постоянную Аn, входящую в общее решение, можно определить из начального условия :
при 0 |
0 |
f x tж F x |
|
|
|||
|
n |
|
|
x |
|
|
|
0 F x |
Аn cos n |
|
|
. |
т.к. |
exp(0) e0 1 |
|
|
|
||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
||
Последнее выражение есть разложение чётной функции в ряд Фурье, свойства которого позволяют определить все значения коэффициентов Аn
|
1 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||
Аn |
|
F x cos |
n |
|
|
dx. |
|
|
|
||||||
n sin n cos n |
|
|
|
|
|||
Отсюда следует, что Аn – функция только корня характеристического уравнения μn (т.е. числа Био), координаты х и начального распределения температуры F (x).
Для простейшего и часто встречающегося на практике случая, когда в начальный момент времени температура по толщине пластины постоянна, т.е.
при 0 |
f x t0 const , |
|
F x 0 t0 tж const . |
полученное общее решение упрощается:
|
|
|
2sin n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Аn 0 n sin n cos n , |
|
|
2 a |
||||||||
|
n |
|
2sin n |
|
|
|
x |
|
|
|||||
0 |
n sin n cos n |
cos n |
|
exp n |
|
|
2 |
, |
||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
n |
|
2sin n |
|
|
x |
|
|
2 a |
|
||||
0 |
|
n sin n cos n |
cos n |
|
exp n |
|
2 |
, |
|
|||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
Вводя безразмерные переменные: |
|
|
|
|
t tж |
|
||||||
– безразмерную температуру |
|
|
|
; |
|||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
t0 tж |
|||||
– безразмерную координату |
X |
x |
|
; |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и обозначая безразмерный коэффициент |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2sin n |
|
|
Аn |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
– "начальнаяnтепловая амплитуда", |
|
|
|
|
|||||||
|
n sin n cos n |
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
целиком зависящая от начальных условий и числа Био, |
|||||||||||
получаем безразмерное решение задачи – выражение для распределения температуры в пластине с постоянной начальной температурой
n |
2 Fo . |
Dn cos n X exp n |
|
n 1 |
|
С учётом того, что Bi ctg f Bi , |
|
F X , Bi,Fo .