Решение задачи
Уравнение (1) и условия (2) и (3) дают полную математическую формулировку рассматриваемой задачи, решение которой – распределение (поле) температур в стенке – находится путём двойного интегрирования ур-я (1).
Первое интегрирование даёт
|
dt |
C |
(4) |
|
|
||
|
dx |
1, |
|
|
|
|
|
где С1 – постоянная интегрирования. |
|
||
Второе интегрирование даёт общее решение |
|
||
t =С1x + С2, |
|
(5) |
|
что соответствует линейному закону изменения температуры по толщине стенки (вдоль оси 0х).
Последовательно применяя к (5) граничные условия (2) и (3), находим
постоянные интегрирования |
|
|
|
|
||
|
|
tc1 C1 0 |
C2 |
|
|
C2 tc1, |
t |
c2 |
C t |
c1 |
|
C tc1 tc2 . |
|
|
1 |
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
Подстановка значений постоянных интегрирования в общее решение
(5) приводит к частному решению уравнения (1), удовлетворяющему граничным условиям (2) и (3)
t |
tc1 |
|
tc1 tc2 |
x |
|
tc1 t |
x |
. |
(6) |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Выражение (6) является уравнением стационарного температурного поля в плоской стенке при ГУ I рода.
Величину t = (tс1 – tс2 ) называют температурным напором
(движущей силой теплопроводности; разностью потенциалов переноса тепла).
Плотность теплового потока в стенке находится по закону
Фурье с учётом общего решения (4), связывающего производную температуры с константой С1
|
|
|
|
|
dt |
C |
tc1 tc2 |
, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
dx |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
q |
|
dt |
|
tc1 tc2 |
|
|
t. |
(7) |
|||
dx |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Из уравнения для плотности теплового потока (7) следует,
что |
tc1 |
tc2 |
|
|
q |
|
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Подставляя это выражение в ур–е температурного поля (6)
получаем
t tc1 q x,
что при прочих равных условиях температура падает по толщине стенки тем сильнее, чем выше плотность теплового потока q и/или ниже коэффициент
теплопроводности λ .
Полное количество теплоты, переданное через стенку с площадью поперечного сечения F за время τ , составит
Q qF tc1 tc2 F t F .
Уравнение температурного поля пластины в
|
|
безразмерном виде |
|
|||||
t |
tc1 |
tc1 tc2 |
x |
|
tc1 t |
x |
. |
(6) |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
В уравнении (6) t = (tс1 – tс2) – полный температурный напор
или максимальная избыточная температура относительно наименьшей температуры пластины tс2 .
Аналогичным образом можно определить локальный температурный напор (t – tс2) при текущей координате х, отношение
которого к t даёт безразмерную температуру
t tc2 . tc1 tc2
Входящее в (6) отношение текущей координаты х к толщине пластины представляет собой безразмерную координату Х ≡ х/ .
С учётом этого уравнение температурного поля легко привести к виду
1 X.
ТП Лекция 3
Графическое представление безразмерного температурного поля в пластине
1 X
t tc2 tc1 tc2
X x
Учет зависимости λ от температуры
Подставим линейную зависимость к-та теплопроводности от |
|
|
||||||||||||||||||
температуры |
t |
0 1 bt |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
в выражение закона Фурье для плоской стенки |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
q 0 1 bt |
dt |
, |
|
|
|
|
(a) |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
х в пределах от 0 до и по |
|||||||||
разделим переменные и проинтегрируем (а) по |
||||||||||||||||||||
температуре от tс1 до tс2 |
|
|
|
|
|
|
0 qdx |
ttcc12 |
|
0 1 bt dt |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
t |
2 |
t |
c2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
tc1 tc2 |
|
|
|
||
q 0 tc1 tc2 0b |
|
c1 |
|
|
0 |
1 |
b |
tc1 |
tc2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ср |
|
|
|
1 |
|
|
ttcc21 t dt |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
tc1 tc2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Т. обр., |
q |
ср |
tc1 |
tc2 |
ср |
t, |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
т.е. плотность теплового потока можно вычислять в предположении λ = const, принимая его равным среднеинтегральному значению в рассматриваемом интервале температур
|
|
|
|
|
t |
c1 |
t |
c2 |
|
|
|
|
ср.арифм |
|
1 |
b |
|
|
|
1 bt |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
ср |
0 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интегрируя выражение (а) в пределах от 0 до текущей координаты х
и от tс1 до текущей температуры |
t , можно получить выражение для |
|
||||||||||||||
температурного поля при λ(t) |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
2 |
2qx |
|
1 |
|
1 |
2 |
|
x |
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
ср |
|
|
|
|
|
|
|||
t |
|
tc1 |
|
|
|
|
|
tc1 |
|
|
|
t |
|
|
, |
|
0b |
b |
b 0 |
b |
|||||||||||||
|
b |
|
|
|
b |
|
|
|
|
|||||||
которое показывает, что температура в стенке изменяется не |
|
|
||||||||||||||
линейно, а по степенной кривой |
t(x) ~ (А – Вх)1/2 – С. |
|
|
|
||||||||||||
Распределение температур в пластине при постоянном и переменном λ
|
1 |
2 |
2 |
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ср |
|
|
|
|
|
||
t |
|
tc1 |
|
|
|
t |
|
, |
|
b 0 |
|
b |
|||||||
|
b |
|
|
|
|||||
t tc1 t x