Многослойная цилиндрическая стенка
Составляющие стенку слои находятся в идеальном контакте, однородны и имеют известные внутренние и внешние радиусы ri и
постоянные физические свойства (λi = const).
Одномерная задача, описываемая
уравнением Лапласа при ГУ I рода: заданы температуры на внешних поверхностях tс1 и tс3.
Определить температурное поле в стенке и плотность теплового потока.
При стационарном режиме через все слои |
|
||||||||||||
проходит одна и та же линейная плотность |
|
||||||||||||
теплового потока |
|
|
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
||
q Q |
|
|
, 1 |
t const, |
Вт . |
||||||||
|
|
|
|
c,iс i |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
l |
l |
|
|
|
|
1 |
ln |
di 1 |
|
Ri |
м |
||
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
2 i |
|
di |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Линейная плотность теплового потока, Вт/м
|
|
|
q |
|
tc1 tc |
n 1 |
|
t , |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
l |
|
|
n |
1 |
|
di 1 |
|
|
Rc,l |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Rи R1 |
ln |
di 1 |
|
|
|
|
|
n |
1 |
ln |
di 1 |
||||||
где |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
i,l |
2 |
|
d |
|
|
|
|
– |
|
|
2 |
|
|
d |
|
||
|
i |
|
|
i |
|
c,l |
|
i 1 |
i |
|
|
|
i |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
суммарное линейные сопротивления теплопроводности, (м·К) /Вт.
Температура на границах слоёв
|
q |
i |
1 |
|
d |
|
tc i 1 tc1 |
l |
|
ln |
|
i 1 . |
|
2 i |
|
|||||
|
|
i 1 |
|
di |
||
Теплопередача через цилиндрическую стенку (qv = 0)
|
Q |
1 d1 tж1 tс1 |
|
|
t |
|
t |
, |
1 |
|
2 d2 tс,n 1 tж2 , |
Вт |
|||
ql |
|
|
|
c,iс i |
|
||||||||||
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
1 |
ln |
di 1 |
|
|
м |
|||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
d |
i |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
||
Выражая из каждого уравнения локальный температурный напор, складывая полученные уравнения и вынося за скобки
постоянную ql, получаем уравнение теплопередачи через цилиндрическую стенку
ql |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
tж1 |
tж 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kl tж1 |
tж 2 ,Вт/м |
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
ln di 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
d |
|
|
2 |
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
i 1 |
|
i |
|
d |
i |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Q |
|
|
|
|
|
|
l tж1 tж 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
kl l tж1 tж 2 ,Вт |
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
ln di 1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
d |
2 |
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i 1 |
i |
|
d |
i |
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
kl |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1Вт |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
м К |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
i |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d |
2 |
|
|
|
|
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1 |
i |
|
|
|
|
d |
i |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
Температурное поле в цилиндрической стенке
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
t |
|
|
t |
, 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вт |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
c,iс i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
ql |
l |
1 d1 tж1 |
tс1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 d2 tс,n 1 tж2 , |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
ln |
di 1 |
|
|
м |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
di |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
↓ |
|
|
|
↓ |
|
|
|
|
↓ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
t |
с1 |
t |
ж1 |
ql |
1 |
|
; |
t |
с,i 1 |
t |
c,i |
|
|
ql |
|
ln |
di 1 |
; t |
с,n 1 |
t |
ж 2 |
|
ql |
|
|
|
1 |
. |
|||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
d |
i |
|
|
|
2 |
d |
n 1 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Профиль температуры в i-том слое
t t |
|
q |
1 |
ln |
d |
. |
|
|
|
||||
|
ci |
l 2 |
|
d |
||
|
|
|
|
|
1 |
|
Упрощённый расчёт теплопередачи через тонкую
цилиндрическую стенку (ГУ 3 рода)
При d2/d1 < 2, т.е. для тонкостенной трубы, расчёт теплопроводности через цилиндрическую стенку приближённо проводится как через плоскую стенку
q k d t |
t |
|
|
d |
|
|
t |
|
t |
|
|
|
|
k |
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
xж 1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
xж |
|
2 |
|
|
|
ж |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
l |
1 ж |
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
||
|
|
Q k dxжl t |
|
1ж t |
2 |
xkFж t |
1ж t |
2 ,Вт |
|
|
|
|
|
|||||||||
Обычно в качестве расчётного значения dx принимается среднеарифметический диаметр стенки, что обеспечивает погрешность ≤ 4%. Для снижения погрешности
следует принимать: d |
x |
0.5 |
|
d |
dпри |
|
|
|
|
1 |
|
2 |
, |
||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
d |
x |
dпри |
|
2 |
, |
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
d |
x |
dпри |
|
1 |
|
2 |
, |
|
|
|
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
т.е. в качестве определяющего диаметра dx принимается тот, со стороны которого меньше коэффициент теплоотдачи.
Тепловые потери. Критический диаметр цилиндр. стенки
Проанализируем, как изменится термическое сопротивление теплопередачи при увеличении наружного диаметра цил. стенки при неизменном внутр. диаметре
Rlсум |
1 |
|
1 |
ln d2 |
|
1 |
Rl 1 Rlc Rl 2 ; |
d1, , 1, 2 const |
||||||||||||
1d1 |
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
d1 |
|
2d2 |
|
dRlсум |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dd2 |
2 d2 |
|
|
2d22 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
R Rпри |
d |
d |
2 |
|
2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
l lкр,min |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d2 dкр : |
Rl ] , |
ql Z |
d2 dкр : |
Rl Z , |
ql [ |
Минимальное термическое сопротивление соответствует максимальным тепловым потерям (= тепловому потоку от трубы в
окружающую среду) t
Rl ,m in
–доминирует снижение Rl2
–доминирует рост Rlс
Критический диаметр тепловой изоляции
Изменяем только наружный диаметр изоляции d3
R |
|
1 |
|
1 |
ln d2 |
|
1 |
ln |
d3 |
|
1 |
|
d1, d2 , 1, из , 1, 2 |
const |
|||||||||
d |
2 |
2 |
|
|
d |
|
|||||||||||||||||
l сум |
|
|
d |
|
|
d |
2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 1 |
|
1 |
1 |
|
из |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При d3 |
|
dкр |
|
2 из |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Rl Rl,min ; |
ql |
ql,max |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qприlкрZ |
|
d |
d |
3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qприlкр] |
|
d |
d 3 |
||||
|
|
|
|
|
|
Только при d3 d3 эф |
ql изолир |
ql без изоляции |
|||||||||||||||
При dкр > d2 термоизоляция из данного материала приведёт только к
росту тепловых потерь. Изоляция эффективна при dкр ≤ d2 .
Расчёт тепловой изоляции
При выборе материала тепловой изоляции для трубы с наружным диаметром d2 и коэффициентом теплоотдачи на
наружной поверхности α2 (предполагается, что он не зависит от
наружного диаметра) должно соблюдаться условие |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
dкр |
|
2 из |
|
d2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
откуда |
|
|
|
|
|
2d2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
из |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Толщина слоя изоляции выбирается по допустимой величине |
|||||||||||||||||||||||
тепловых потерь |
|
|
|
и (или) наружной температуры изоляции t3 , |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ql ,max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
связанным между собой соотношением (tc1 ≈ tc2 = tст) |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
q |
lс |
|
d |
3 |
t |
3 |
t |
2 |
|
l (tс 2 tс 3 ) |
d |
1 |
|
t |
1 |
t |
1 |
||||||
|
|
2ж |
|
|
|
1 |
|
|
с |
ж |
1 с |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln( |
d 3 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 из |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||