doc2
.pdf380 |
|
|
|
X.Динамика материальной системы |
|
|
|
|
|
* |
|
Зная, что |
|
|
|
|
|
|
r |
|
Mr2 |
_ хг |
|
|
^Сг = |
Z > |
Ф = — , |
|
|
|
|
|
2 |
г |
|
запишем уравнение (3) в виде |
|
|
|||
|
|
— ^ = T'-Fjp. |
(4) |
||
Сложим уравнения (1) и (4) и получим |
|
||||
3 |
= -2Flp |
+ Afgsina = Afe(sina-2/cosa). |
|
||
-Мхс |
|
||||
Откуда |
|
|
|
|
|
|
х с = |
= ^ g(sin a—2/ cos a). |
(5) |
||
|
dt |
3 |
|
|
|
Разделим переменные и проинтегрируем выражение (5):
2
dxc - — g (sin a - 2 / c o s а) Л,
2
=— - = - g/(sina - 2/cosa)+Cj . dt 3
При t = 0 vCo = 0, тогда Q = 0.
Получим, что gt2
s = xc = - ^ - (sina - 2/ cosa).
Найдем натяжение нитей, подставив уравнение (5) в выражение (4):
Mg
- ^ . (sina - 2/cosa) = Т'~ fMg cosa.
Откуда
Т' = i A/g(sina+/cosa).
Так как Т'-2Т, то
Г = - A/g(sin a + / cosa).
6
39. Плоскопараллельное движение твердого тела |
381 |
||
О т в е т : |
1 |
, |
J |
s - - g ( s i n a - 2 / c o s a ) г ; Т --Mg{sina + /cosa). Цилиндр |
|||
|
3 |
|
6 |
остается в покое, если tga < 2 / .
Задача 39.21
Два цилиндрических вала массы М\ и Mi скатываются по двум наклонным плоскостям, образующим соответственно углы а и ^ с горизонтом. Валы соединены нерастяжимой нитью, кон-
цы которой намотаны на валы и к ним прикреплены. Определить натяжение нити и ее ускорение при движении по наклонным плоскостям. Валы считать однородными круглыми цилиндрами. Массой нити пренебречь.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение вала С, под действием силы тяжести M\g и натяжения нити Т (см. рисунок). Считаем, что нить движется в сторону скатывания вала и ускорение его центра масс равно сумме ускорений вала xt и нити х0, т.е.
xq = Х\ + х0.
Запишем дифференциальные уравнения плоского движения вала С\.
Л/|(Х] + х0) = A/igsina-T, |
(1) |
/с, = е, = Тц |
(2) |
39. Плоскопараллельное движение твердого тела |
385 |
|
Найдем период колебаний: |
|
|
7 - ^ |
= |
(7) |
к |
У |
2gl |
4R
Подставим в выражение (7) значение I - — и после преобразова-
Зл
нии получим:
T = 2g |
^2g(9n-16)R. |
О т в е т : Т = — J2g(9%-16)R. |
|
2 g |
|
40. Приближенная теория гироскопов
Методические указания к решению задач
Гироскопом называется симметричное твердое тело, совершающее движение вокруг неподвижной точки, расположенной на его оси симметрии. Таким телом является волчок или тяжелый однородный диск, который одновременно может вращаться вокруг двух или более пересекающихся в одной точке осей. Следовательно, движение гироскопа может рассматриваться как сферическое, т.е. как движение тела с одной закрепленной точкой, или как составное движение вокруг пересекающихся осей. Поэтому при постановке и решении задач по теории гироскопов целесообразно пользоваться терминологией сферического или составного движения тела.
Так, при сферическом движении положение тела в неподвижных осях определяется углами Эйлера: \|/ — угол прецессии, ф — угол собственного вращения, 6 — угол нутации. При этом неподвижную систему координат следует обозначить Oxyz, а подвижную — связанную с телом, — OxiyiZi, где Z\ — ось симметрии тела. Тогда согласно терминологии сферического движения вращение тела вокруг оси Z\ является собственным вращением, а по терминологии составного движения — относительным. При этом угловая скорость вращения — это угловая скорость собственного вращения или угловая скорость относительного движения, которую обозначают соответственно со,,, = ф или со,..
Вращение вокруг оси z по терминологии сферического движения называется прецессией, по терминологии составного движения — переносным движением. Угловая скорость обозначается о^ = у(угловая скорость прецессии) или сое (угловая скорость переносного движения).
Угол нутации 0 — это угол между осями г и Z\. Если 9 = const, то Юу = const и Ш(р = const и имеет место так называемая регулярная прецессия, играющая важную роль в технике и в частности в таких устройствах, которыми являются гироскопы.
Задачи этого параграфа решают с использованием элементарной, или приближенной, теории гироскопов. Сущность этой теории в том, что для быстровращающегося гироскопа угловая скорость прецессии
40. Приближенная теория гироскопов |
387 |
мала по сравнению с угловой скоростью собственного вращения, а угол нутации остается практически постоянным, поэтому абсолютная угловая скорость гироскопа
со ~ о5ф. |
(40.1) |
Тогда кинетический момент быстровращающегося гироскопа относительно неподвижной точки О
L 0 = /0 ш = /0га(р |
(40.2) |
инаправлен он по оси собственного вращения. Согласно теореме Резаля
= = Ъ (40.3)
где й — скорость конца вектора L0. Геометрически й равна главному моменту внешних сил относительно точки О:
М6 = ЪМ0{?П, |
- |
т.е. |
|
и = Щ . |
(40.4) |
Поэтому, если Мо Ф 0, то конец вектора кинетического момента L0 движется со скоростью и, это значит, что ось собственного вращения гироскопа будет вращаться вокруг оси прецессии с некоторой угловой скоростью о5,г Тогда скорость б" может быть определена аналогично скорости любой точки тела при вращении вокруг неподвижной оси по формуле Эйлера:
v = w х г,
где ? — радиус-вектор, проведенный из некоторой точки на оси вращения в данную точку.
Поэтому
б" = &yXL0 = cOyX/offlkp. |
(40.5) |
Выражения (40.4) и (40.5) позволяют определить угловую скорость прецессии со^ при известных значениях угловой скорости собственного вращения гироскопа и главного момента внешних сил, так как
| MQ | = | Юу х / 0 сц,, j = /^ШуСОф sin 0. |
(40.6) |
388 |
X. |
|
Динамика материальной системы |
Отсюда |
|
|
|
|
°V = - r |
гЧ- |
(40.7) |
|
/oW^sinG |
|
|
Если же заданы угловая скорость прецессии и угловая скорость собственного вращения, то момент внешних сил можно определить по формуле (40.6).
Если гироскоп представляет диск, вращающийся вокруг пересекающихся осей (рис. 40.1), причем ось собственного вращения закреплена в некоторых опорах А и В, то момент внешних сил относительно точки пересечения осей О будет создаваться реакциями этих опор, расположенных в плоскости, к которой М$, а следовательно, и вектор й перпендикулярны. Если гироскоп расположен симметрично относительно опор, то величина их реакций
^ b J ^ |
t & j ^ . |
|
(40.8) |
|
АВ |
|
|
г |
Мт |
|
|
•v |
|
|
|
2 |
.. |
% |
L0 |
О |
Ж |
у |
/ 21 |
с
Рис. 40.1
В свою очередь в опорах будут возникать давления N, равные по величине реакциям, но направленные противоположно им, т.е.
Na=-Ra, Nb = -RB.
Если к вращающемуся гироскопу приложить главный момент сил инерции гироскопа относительно его неподвижной точки И$н, то в соответствии с принципом Даламбера получим уравновешенную систему сил:
MgH + MS =0 =» М£н = -Щ. |
(40.9) |
40. Приближенная теория гироскопов |
389 |
|
Так как |
|
|
MS = |
=/оСоЗ^х йф), |
(40.10) |
то |
|
|
Щ и = |
р) = /0(®ф X OV). |
(40.11) |
Выражение / 0 (соф х ш^) в теории гироскопов называют гироскопи- |
||
ческим моментом и обозначают Мг. Таким образом, |
|
|
Мг |
= Ж0ИИ = 1 0 ( % х Шу). |
(40.12) |
Гироскопический момент можно представить как момент гироскопической пары сил, которыми и являются силы давления в опорах, т.е.
МТ = M(NA,NB).
Значение этих сил определяют по формуле
= |
(40.13) |
АВ |
АВ |
которая аналогична выражению (40.8).
Действие гироскопической пары сил можно определить по правилу Жуковского:
если быстровращающемуся гироскопу сообщить прецессионное движение, то возникает гироскопическая пара сил, стремящаяся расположить ось гироскопа параллельно оси прецессии, причем так, чтобы после совпадения направления этих осей оба вращения имели одинаковое направление.
Последовательность решения задач этого параграфа:
1. Показать на рисунке внешние силы, действующие на гироскоп (реакции опор, силу тяжести, направление главного момента внешних сил и гироскопического момента).
2.Изобразить неподвижные Охуг и подвижные OxxyxZ\ оси координат. Начало координат выбрать в неподвижной точке, ось z\ направить по оси симметрии гироскопа, ось z — по оси прецессии.
3.Показать на рисунке направление кинетического момента и направление угловых скоростей собственного вращения и прецессии.