doc2

392 X. Динамика материальной системы

Следовательно, вектор оЗ>, угловой скорости прецессии направлен по оси z вверх.

Определим главный момент внешних сил относительно точки О:

Откуда найдем угловую скорость регулярной прецессии волчка:

О т в е т : 2,18 рад/с.

Задача 40.3

Турбина, вал которой параллелен продольной оси судна, делает 1500 об/мин. Масса вращающихся частей 6 т, радиус инерции р = 0,7 м. Определить гироскопические давления на подшипники, если судно описывает циркуляцию вокруг вертикальной оси, поворачиваясь на 10° в секунду. Расстояние между подшипниками / = 2,7 м.

Р е ш е н и е

Циркуляция судна вокруг вертикальной оси — это вынужденная прецессия вокруг оси z (см. рисунок).

Так как турбина вращается вокруг собственной оси Z\, то в соответствии с правилом Жуковского возникает гироскопический момент, стремящийся повернуть ось гироскопа параллельно оси прецессии. Поэтому в подшипниках возникают вертикальные давления NA и NB, направления которых противоположны реакциям ЯА И RB. Так как NA = NB = N, то гироскопический момент

Тогда из формулы (1) найдем гироскопическое давление

71-10 -0,7 -50 = 30,4 (кН). 3-2,7

О т в е т : 30,4 кН.

Задача 40.4

Определить максимальные гироскопические давления на подшипники быстроходной турбины, установленной на корабле. Корабль подвержен килевой качке с амплитудой 9° и периодом 15 с вокруг оси, перпендикулярной оси ротора. Ротор турбины массы 3500 кг с радиусом инерции 0,6 м делает 3000 об/мин. Расстояние между подшипниками 2 м.

= 3500 0,б2 • З'^'ЗООО _ 30

= 395 640 (кг • м2)/с.

Предположим, что килевая качка происходит по закону

Гироскопический момент

Мт = Мр = RAl,

где RA = RB — реакции подшипников; Мг = /^ЮуЮ,,. Тогда

= RAL.

Силы давления равны реакциям подшипников и направлены противоположно им.

О т в е т : 13 кН.

Задача 40.5

Определить время Т полного оборота оси симметрии артиллерийского снаряда вокруг касательной к траектории центра масс снаряда. Это движение происходит в связи с действием силы сопротивления воздуха F= 6,72 кН, приближенно направленной параллельно касательной и приложенной к оси снаряда на расстоянии

А = 0,2 м от центра масс снаряда. Момент количества движения снаряда относительно его оси симметрии равен 1850 кг • м2/с.

Р е ш е н и е

Угловую скорость вращения оси симметрии снаряда вокруг касательной определим (см. рисунок), применив теорему Резаля:

где и = Ь0ц cousin а; Ме0 = Fh sin а.

Так как

cov = -2к

то с учетом выражения (1) время полного оборота оси симметрии снаряда

Ответ: 8,64 с.

Задача 40.6

Газотурбовоз приводится в движение турбиной, ось которой параллельна оси колес и вращается в ту же сторону, что и колеса, делая 1500 об/мин. Момент инерции вращающихся частей турбины относительно оси вращения / = 200 кг • м2. Как велика добавочная сила давления на рельсы, если газотурбовоз идет по закруглению радиуса 250 м со скоростью 15 м/с? Ширина колеи 1,5 м.

Р е ш е н и е

Определим кинетический момент турбины относительно оси вращения Z] (см. рисунок):

Гироскопический момент турбины

Мг = Mo = Ra АВ.

Откуда динамические реакции:

Динамические давления NA и Nв равны динамическим реакциям, но направлены в противоположные им стороны.

О т в е т : на один рельс 1256 Н вниз, на другой рельс 1256 Н вверх.

Задача 40.7

В дробилке с бегунами каждый бегун имеет массу М= 1200 кг, радиус инерции относительно его оси р = 0,4 м, радиус R = 0,5 м, мгновенная ось вращения бегуна проходит через середину линии касания бегуна с дном чаши. Определить силу давления бегуна на горизонтальное дно чаши, если переносная угловая скорость вращения бегуна вокруг вертикальной оси соответствует п = 60 об/мин.

Р е ш е н и е

Выберем оси координат* и z (оси х, и z\ — подвижные), начало координат в точке О. Введем обозначения: со; — угловая скорость вращения бегуна вокруг оси z (угловая скорость прецессии); Ш2 — угловая скорость вращения бегуна вокруг оси z\ (угловая скорость собственного вращения); со — абсолютная скорость вращения.

Мгновенная ось вращения бегуна направлена по линии OA, поэтому

(0=05, + ю2 = GV+<V Так как ЛОАС -AOED, то

(О)_ АС _ R ОС ~ Г

где ОС = /.

Найдем

со2 = со. —

R

или

®<Р = «V—•

А

Динамические реакции RA и R0 образуют пару сил с моментом Ме0 = RJ и равны гироскопическому моменту:

Mr = ICzi C0iC02, где / с , =тр2 . Тогда

Мг = mp2C0[2/

Л

Найдем динамические реакции:

Гироскопическое давление равно по модулю динамическим реакциям, т.е.

A A R

Следовательно, полное давление бегуна на дно

N = mg + NA =m 8 + М"R

пп -

где со. = — = 2тс. 30

Подставив численные значения в это выражение, получим

N = 1200 9,81 + 0,42-4гс2 \ -26 900 (Н) = 26,9 (кН). 0,5

О т в е т : N= 26,9 кН.

Задача 40.8

Колесный скат массы М - 1400 кг, радиуса а = 75 см и с радиусом инерции относительно своей оси р = л/0,55 а движется равномерно со скоростью v = 20 м/с по закруглению радиуса R = 200 м, лежащему в горизонтальной плоскости. Определить силу давления ската на рельсы, если расстояние между рельсами /= 1,5 м.

Р е ш е н и е

Выберем начало подвижной системы координат Oxxyxz\ в точке О. Внешними силами являются реакции RA и Rg рельсов и сила тяжести катков Mg/2 (см. рисунок).

Пусть скат вращается вокруг оси z против часовой стрелки. Тогда вектор сбу направлен вверх, а вектор с^ — влево. Найдем динамические реакции. Применим теорему Резаля:

и направлена вверх, а Д^ = Ra, но направлена вниз.