doc2

В учебной литературе можно также встретить следующую формулировку принципа Даламбера для механической системы:

геометрическая сумма главных векторов внешних и внутренних сил, сил инерции точек системы, а также геометрическая сумма главных моментов этих сил относительно некоторого центра равны нулю.

Такая формулировка вполне допустима, но следует дополнительно оговорить, что в число внешних сил наряду с активными входят силы реакций внешних связей, наложенных на механическую систему. Реакции внутренних связей как силы взаимодействия между телами механической системы по свойству внутренних сил взаимно уравновешиваются. Таким образом, при составлении уравнений (41.6) и (41.7) эти силы следует исключить. Тогда получим, что

При решении задач методом кинетостатики важным является определение главного вектора и главного момента сил инерции твердого тела при любом его движении. Их определение основывается на известном из статики методе Пуансо о приведении произвольной системы сил к заданному центру. Поэтому можно записать, что система сил при движении твердого тела эквивалентна главному вектору сил инерции Ф* и главному моменту Мс этих сил относительно центра масс:

то выражение (41.8') представляет собой теорему об изменении количества движения, а выражение (41.9') — теорему об изменении момента количества движения системы.

Сравнивая формулы (41.8) и (41.8'), (41.9) и (41.9'), получим формулы для вычисления главного вектора и главного момента сил инерции системы через количество движения и кинетический момент:

где Iz — момент инерции тела относительно оси; е — угловое ускорение вращения тела.

По формуле (41.19) вычисляют главный момент сил инерции тела при вращении вокруг оси, проходящей через любую точку тела.

Последовательность решения задач данного параграфа:

1. Изобразить на рисунке тело или механическую систему (систему тел), движение которой рассматривается в задаче.

2. Показать все внешние силы, действующие на тело или систему тел, включая силы реакций внешних связей, а также силы инерции всех тел.

3.Главный вектор и главный момент сил инерции тел определить

взависимости от вида их движения по формулам (41.12)—(41.15), выразив их через линейное или угловое ускорение одного из тел.

4.Выбрать систему координат.

5.Составить необходимые уравнения «равновесия» (уравнения статики) для одного тела или для каждого из тел, входящих в данную механическую систему, предварительно разбив систему на отдельные тела, и показать силы взаимодействия между ними.

6.Решить составленную систему уравнений и определить искомые величины.

Задачи и решения

Задача 41.1

Определить силу тяжести, действующую на круглый однородный диск радиуса 20 см, вращающийся вокруг оси по закону ср = З/2. Ось проходит через центр диска перпендикулярно его плоскости; главный момент сил инерции диска относительно оси вращения равен 4 Н • см.

МФ = -11Ё

или по модулю

(1)

Момент инерции дйска

mR2 OR2

ускорение

е = ф = б7.

Подставим выражения (3) в выражения (2) и получим

Ф„ =2Ma2lt2,

Фх = Mai.

Для определения линии действия равнодействующей вращательных сил инерции найдем главный момент сил инерции относительно оси вращения Оу:

Из равенства главного момента сил инерции и момента равнодействующей вращательных сил инерции относительно точки О определим расстояние от линии действия равнодействующей Фт до оси вращения:

О т в е т : равнодействующая вращательных сил инерции Фх = Mai

2, направлена перпендикулярно стержню на расстоянии - I

от оси вращения; равнодействующая центробежных сил инерции Ф„ =2Ma2lt2 направлена вдоль стержня от оси вращения.

Задача 41.3

Колесо массы М и радиуса г катится без скольжения по прямолинейному горизонтальному рельсу. Определить главный вектор и главный момент сил инерции относительно оси, проходящей через центр масс колеса перпендикулярно плоскости движения. Колесо считать сплошным однородным диском. Центр масс С движется по закону хс = at2/2, где а — постоянная положительная величина. Ось х направлена вдоль рельса.

Р е ш е н и е

Колесо совершает плоское движение (см. рисунок), следовательно, силы инерции его приводятся к главному вектору Ф* и главному моменту сил инерции относительно оси Cz, перпендикулярной плоскости движения, где точка С — центр масс колеса.

Значение главного вектора сил инерции по модулю

Ф* = Мас - Мхс = Ма,

вектор Ф* направлен противоположно вектору ас .

О т в е т : главный вектор сил инерции равен по модулю Ма и направлен параллельно оси в отрицательном направлении; главный момент сил инерции равен по абсолютной величине 1/2Маг.

Задача 41.4

Определить главный вектор и главный момент сил инерции подвижного колеса II планетарного механизма относительно оси, проходящей через его центр масс С перпендикулярно плоскости движения. Кривошип ОС вращается с постоянной угловой скоростью со. Масса колеса II равна М. Радиусы колее равны г.

Р е ш е н и е

Колесо И совершает плоское движение, поэтому его силы инерции приводятся к главному вектору Ф* приложенному в центре масс С (см. рисунок):

Ф* = Мас,

Ф* = Мас = МШ22Г = 2МО?Г

ик главному моменту сил инерции МФ.

Вэтом случае

Мф = 1се = О,

так как со = const, е = 0.

О т в е т : главный вектор сил инерции параллелен кривошипу ОС и равен 1М(а2г; главный момент сил инерции равен нулю.

вектор и главный момент сил инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс С стержня перпендикулярно плоскости движения, в зависимости от угла ф.

Р е ш е н и е Главный вектор сил инерции

Ф = -Мас-

Главный момент сил инерции

Мф = -/сё.

Стержень АВ совершает плоское движение, точка Р — МЦС (см. рисунок).

Угловая скорость стержня

418 X. Динамика материальной системы

Тогда

Скорость центра масс С определим по формуле сложения скоро-

Продифференцируем эти выражения по времени, приняв, что

dip

со = — , dt