doc2
.pdf370 |
X. Динамика материальной системы |
Р е ш е н и е
Составим дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения цилиндра со скольжением (см. рисунок):
тхс = 2Fkx =Gsina-7vp, |
(1) |
|
myc = ZFky = ~N+G cosa, |
(2) |
|
/сФ = ХЛ/|с = V - |
(3) |
* |
Движение без скольжения возможно, если выполняется условие a < arctg 3/ (см. решение задачи 39.11).
Следовательно, при а > arctg 3 / цилиндр будет катиться со скольжением и сила Frp будет иметь предельное значение:
Fyp - fN = fGcosa = fmgcos a. Тогда уравнение (1) примет вид
тхс = mg sin a-fmgcosa.
Отсюда найдем ускорение оси цилиндра
хс = £(sin a - /cosa).
О т в е т : a>arctg3/, xc = g(sina-/cosa).
Задача 39.14
Однородное колесо радиуса г скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол а с горизонтом. При каком значении коэффициента трения качения /к центр масс колеса будет двигаться равномерно, а колесо при этом будет равномерно вращаться вокруг оси, проходящей через центр масс перпендикулярно его плоскости?
Р е ш е н и е
Рассмотрим качение колеса под действием приложенных к нему сил (см. рисунок). Запишем дифференциальные уравнения его плоского движения:
тхс - X^/t* =Gsina-/^ |
(1) |
39. Плоскопараллельное движение твердого тела |
371 |
|
тус = Црку = N~ ^ cos а, |
(2) |
|
|
|
(3) |
Так как по условию vc |
= const, то х с = 0, |
у |
ф = 0. Тогда из уравнения |
(1) |
|
G sin а = Fc,, |
|
|
и из уравнения (3) |
|
|
F - Мс |
|
|
1 СЦ |
|
|
Момент сопротивления качению |
* |
|
Мс = fN = / к (7 cosa. |
|
|
Следовательно,
(7 sina = Мс _ /к G cosa
Откуда
Л = rtga.
О т в е т : fK = rtga.
Задача 39.15
На барабан однородного катка массы т и радиуса г, лежащего на горизонтальном шероховатом полу, намотана нить, к которой приложена сила Т под углом а к горизонту. Радиус барабана а, радиус инерции катка р. Определить закон движения оси катка О. В начальный момент каток находится в покое, затем катится без скольжения.
Р е ш е н и е
Рассмотрим процесс качения катка под действием приложенных к нему сил (см. рисунок).
Дифференциальные уравнения его плоского движения имеют вид
mxc=^Fbc |
= -Fcu + T c o s a ' |
О) |
372 |
|
|
|
|
|
X. Динамика материальной системы |
||||
|
|
myc |
= JjF{y = -G + N + Tsina> |
(2) |
||||||
|
|
Ic$ |
= 2MekC = -Ta + Fcllr. |
(3) |
||||||
|
Поскольку скольжение отсутствует, то ф = — , / с - тр2. |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г |
|
|
Тогда запишем уравнения (1) и (3) в виде |
|
||||||||
|
|
|
mrxc |
= 7>cosa - Fcllr, |
(4) |
|||||
|
|
|
|
mp2~-Fcur-Ta. |
|
|
|
(5) |
||
|
|
|
|
|
г |
|
|
|
|
|
|
Сложим почленно |
уравнения (4) и (5), получим |
|
|||||||
|
|
|
( |
р2Л |
T(rcosa-a). |
|
||||
|
|
т х с |
|
= |
|
|||||
|
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
хс |
7>(rcosa-a) |
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
z—. |
|
|||
|
|
|
|
|
m(r2 + p2 ) |
|
|
|
||
|
Проинтефируем дважды это выражение: |
|
||||||||
|
|
хс |
_ 7>(/-cosa-fl) |
, „ |
|
|||||
|
|
|
71 |
2 Г ~ ' + С ь |
|
|||||
|
|
|
|
|
т{гг + рО |
|
|
|
|
|
|
|
X c = |
|
^ c o s a - a ) ? 2 + C i / + C 2 |
|
|||||
|
|
|
|
2т ( п + р ) |
|
|
|
|
|
|
|
Зная начальные условия: t = О, х0 |
- 0, х0 =0, определим Сх |
и С2: |
|||||||
Q |
= 0, С2 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставим значения Q и С2 в формулу (6) и запишем закон дви- |
|||||||||
жения оси катка: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
_ |
Tr(rcosa-a) |
2\ |
2 |
• |
|
|
|
|
|
ХС - |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
2m(r + р 0 |
|
|
|
||
„ |
|
Tr(rcosa-a) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
О т в е т : А'с |
^—-— г , причем ось х направлена слева направо. |
|||||||||
|
|
2 т (г1 + р1) |
|
|
|
|
|
|
||
39. Плоскопараллельное движение твердого тела |
|
375 |
|||
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
m - |
Ус |
|
|
|
СО |
(1/2) • tg60° |
|
||
Ф 2 |
= * с - |
* с |
|
|
|
(отрицательное направление угла поворота принято по ходу часовой |
|||||
стрелки), тогда |
|
|
|
|
|
ф = ф, + (р2 = |
2хгь |
2 уг |
|
||
|
|
|
/tg60° |
/ |
|
Тогда |
|
|
|
|
|
^ |
|
= xctg 30°- у с |
|
||
и |
|
|
|
|
|
1 Щ |
= Мхс tg 30°-Мус . |
(4) |
|||
Из уравнения (3) получим, что |
|
|
|||
Ml2. |
|
I _ . |
, л о |
|
|
12 |
ф = — rsin60° |
|
|||
|
2 |
|
|
||
или |
|
|
|
|
|
A / - a = -37sin60°. |
|
||||
|
2 |
|
|
|
|
Подставим это выражение в уравнение (4) и с учетом формул |
(1) |
||||
и (2) получим |
|
|
|
|
|
-3rsin60°= Тс os 60°tg 30°-G + Т sin60°,
G = J(3 sin60°+ cos60°tg30°+ sin60°).
Отсюда
T = |
|
G |
|
3 sin60°+ cos 60°tg 30°+ sin60° |
|||
|
M g |
=0,266Mg. |
|
3 0,866+0,5 |
0,577+0,866 |
|
|
О т в е т : T = Q,266Mg.
39. Плоскопараллельное движение твердого тела |
379 |
Задача 39.20 |
|
Две гибкие нити обмотаны вокруг однородного круглого цилиндра массы М и радиуса г так, что завитки их расположены симметрично относительно средней плоскости, параллельно основаниям. Цилиндр помещен на наклонной плоскости АВ так, что его образующие перпендикулярны линии наибольшего ската, а концы С нитей закреплены симметрично от-
носительно вышеуказанной средней плоскости на расстоянии 2г от плоскости АВ. Цилиндр начинает двигаться без начальной скорости под действием силы тяжести, преодолевая трение о наклонную плоскость, причем коэффициент трения равен /
Определить путь s, пройденный центром масс цилиндра за время t, и натяжение Г нитей, предполагая, что в течение рассматриваемого промежутка времени ни одна из нитей не сматывается до конца.
Р е ш е н и е
На цилиндр при движении действуют сила тяжести mg, нормальная реакция N, сила трения Frp, натяжение Г' двух нитей (см. рисунок). Под действием этих сил он совершает плоскопараллельное движение.
Составим дифференциальные уравнения движения цилиндра:
Мхс = -T'-Fip +Mgsina, |
(1) |
Мус = -Mgcosa + N, |
(2) |
Icq>=T'r-FTpr. |
(3) |
Из уравнения (2) найдем:
N = Mg cosa.
Поэтому
FTP =fN -fMg cosa.