doc2
.pdf260 X. Динамика материальной системы
Машина движется с постоянной скоростью v, поэтому изменение ее кинетической энергии равно нулю, т.е.
Т - Т 0 = 0.
Тогда |
|
1 4 + 1 4 = 0 . |
(1) |
Работа внешних сил при перемещении s |
|
ХЛ? =Лтр + А + Л + Ля.
Определим работу силы трения скольжения:
2
Ар = Fws=-~Mgfs;
работу момента трения качения:
1 s
A=-M7P<S> = 3-~MgfK г
Работа силы тяжести машины А и работа сил реакций Ак равны нулю.
Тогда |
|
|
|
|
М = |
Mgfs- ]-MgfK- |
|
= -Ш2 |
f + |
3 |
3 |
Г |
3 V |
R J |
Это значение подставим в уравнение (1) и получим
или
Работа внутренних сил осуществляется двигателем машины, поэтому мощность двигателя
dt |
3 I |
г ) |
О т в е т : N = |
+ — jv . |
262 |
X. Динамика материальной системы |
Следовательно,
=-Mgfry.
Работа внутренних сил равна нулю, т.е.
Подставим найденные значения в уравнение (1) и получим
—MR2 со2 = -Mgfrcp.
Отсюда коэффициент трения скольжения
F_R\О2 |
^ NN2R2 |
_ ЗД4-1802-0,252 _ Q Q ? |
2grq> |
302-4grN |
900-4-9,81 0,03-90 ~~ ' |
О т в е т : / = 0,07. |
|
|
Задача 38.14
Цилиндрический вал диаметра 10 см и массы 0,5 т, на которой насажано маховое колесо диаметра 2 м и массы 3 т, вращается в данный момент с угловой скоростью 60 об/мин, а затем он предоставлен самому себе. Сколько оборотов еще сделает вал до остановки, если коэффициент трения в подшипниках равен 0,05? Массу маховика считать равномерно распределенной по его ободу.
Р е ш е н и е
Рассмотрим вращение вала с насажанным на него маховым колесом под действием приложенных сил: силы тяжести mBg вала, силы тяжести /wKg махового колеса, реакций NA И NB опор, моментов сил трения МТРА и МТРВ в опорах (см. рисунок).
Найдем суммарный момент сил трения МТр в опорах вала А и В:
Л/Тр = МТРа + МТРВ = NJr + NBfr = (mB +mK)gfr =
= (500+ 3000)-9,81-0,05-0,05 = 85,8 (H • м).
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
263 |
Применим теорему об изменении кинетической энергии меха- |
|
нической системы: |
|
т-т0 = |
(О |
Так как данная система является абсолютно твердым телом, то £ |
= 0. |
В конце движения вал с маховым колесом остановится и его ки- |
|
нетическая энергия будет равна нулю, т.е. Т = 0. |
|
Тогда выражение (1) примет вид |
|
-Го = 2 А'- |
(2) |
Найдем кинетическую энергию вала и махового колеса в начале движения. Вал совершает вращательное движение и его кинетическая энергия
Тв = 1Х— = |
2 |
— = |
4 |
^-(й2. |
2 |
2 |
|
Маховое колесо совершает вращательное движение и его кинетическая энергия
T |
^ |
I ^ |
m |
2 |
^ |
^ |
со2. |
|
к |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
То = TR + П = ^ш2 |
+ |
^со2 |
|
|
= К |
+2m«R\2 |
~ |
|
в к |
4 |
|
2 |
|
|
I |
4" |
|
500-0,052 +2 -30001 |
i |
^ |
|
l = 59 169,4 (Н -м). |
||||
|
4 |
|
|
|||||
|
|
Д |
60 |
|
) |
|
|
|
Работа внешних сил
=л + Л + Л р
Работа сил тяжести вала Лв и махового колеса /1к равна нулю. Работа момента трения
|
Лтр = — |
= —85,8ф. |
Работа сил реакции |
в опорах Л и 5 равна нулю. |
|
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
265 |
|||||
Так как в конечном положении стержень остановится, то Т = 0. |
||||||
Тогда выражение (1) примет вид |
|
|
|
|
||
|
|
-Т0 = 2Аек. |
|
|
(2) |
|
Определим кинетическую энергию стержня в начальном поло- |
||||||
жении |
|
|
|
|
|
|
|
с |
2 |
= |
if MI2 |
MI2 \ 2 |
Mv2 |
1 |
соf- |
|
1 |
|
||
|
+ мIШ2 |
21 12 |
I2 |
|
||
Найдем работу внешних сил при перемещении, соответствующем отклонению стержня на угол 60°:
X Д? = Ат + Аупр,
где работа силы тяжести
Ат = -Mgh = -Mg[t - L cos 60°j =
работа силы упругости спиральной пружины
. |
J |
, |
Сф2 |
с я 2 |
Л п р |
= - J "«упрЛр = ~ |
= |
- ^ g - - |
|
Тогда
*4 18
Найденные значения подставим в равенство (2):
Mv\ |
Mgl |
ск2 |
6 |
4 |
18 |
Откуда скорость конца стержня
v = 9Mgl+2n1c
6М
О т в е т : v = |
9Mgl+2л с |
|
6М |
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
267 |
Найдем скорость груза К, которая равна скорости нити КА. Абсолютная скорость конца нити Е равна v, она состоит из пере-
носной vnep и относительной vOTH скоростей:
d(AE) _ v0TH = — — = v *-
at
Из параллелограмма скоростей (см. рисунок) найдем:
|
|
h |
Vora = VCOS(p= |
V-j^j^^. |
|
Тогда |
|
|
1 |
|
v2ft2 |
2 |
(А2 + Й2) |
|
Определим работу сил тяжести грузов:
Ля = Mxgh,
Ак - -Mghк - Mg(-Jh7 + а2 - а).
Тогда
X 4е = M\gh - Mg (4hT+a2 - а).
Подставим полученные значения в уравнение (2):
1^V2+1a/ |
f h \ |
- |
M\gh~ Mg (VF+a1 - я) |
|
и найдем искомую зависимость: |
|
|||
v2=lg(h2 |
+ a2) |
|
M{(h2 ,+ a2) + Mh2 |
|
2 Л „2 |
' |
-M(-Jh2 + а2 -а) |
||
О т в е т : v2 = 2g(A2 + а2 ) |
|
2 |
2ч |
|
Задача 38.17
Груз Р массы М с наложенным на него дополнительным грузом массы Л/, посредством шнура, перекинутого через блок, приводит в движение из состояния покоя тело А массы М2, находящееся на негладкой горизонтальной плоскости ВС. Опустившись на расстояние 51, груз М проходит через кольцо D, которое снимет дополнительный
38. Теорема об изменении кинетической энергии материальной системы |
269 |
Работа силы реакций N
А„ = 0.
Подставим эти значения в формулу (2) и найдем коэффициент трения:
M(sl+s2) + M]si |
_0,1(0,5+0,3)+0,10,5 _ Q |
2 |
||
M2(s{+s2) |
~ |
0,8(0,5+0,3) |
~ |
' ' |
M2(s\ +J2)
Задача 38.18
Однородная нить длины L, часть которой лежит на гладком горизонтальном столе, движется под влиянием силы тяжести другой части, которая свешивается со стола. Определить промежуток времени t, по истечении которого нить покинет стол, если известно, что в начальный момент длина свешивающейся части равна I, а начальная скорость равна нулю.
Р е ш е н и е
Рассмотрим движение части однородной нити под действием силы тяжести Р свешивающейся части нити (см. рисунок). Применим теорему об изменении кинетической энергии механической системы:
(1)
Так как нить нерастяжима, то сумма работ внутренних сил равна нулю, т.е.
0.
Вначале скорость нити равна нулю, значит Т0 =0. Поэтому уравнение (1) примет вид
(2)