doc2

коэффициент. Определить скорость груза Л в момент, когда он поднимается на высоту h. Массу барабана В считать равномерно распределенной по его ободу. Блок С — сплошной диск массы М3. Массой троса пренебречь. В начальный момент система находилась в покое.

Р е ш е н и е

Рассмотрим движение данной механической системы. На систему действуют внешние силы: силы тяжести M2g и M3g, вращающий момент твр, силы реакции связей N2

иN3. Покажем на рисунке начальное

иконечное положения тел системы.

Для конечного положения системы, когда груз А поднялся на высоту h, покажем действующие силы,

скорости тел, входящих в систему, а также их перемещения из начального в конечное положение.

Применим теорему об изменении кинетической энергии меха-

Так как трос можно считать нерастяжимым, то работа внутренних сил системы равна нулю, т.е. £ 4 =0.

Кинетическая энергия в начальном положении, когда система находилась в покое, была равна нулю, т.е. Т0 =0.

С учетом этого уравнение (1) примет вид

Определим кинетическую энергию системы в конечном положении:

Кинетическая энергия груза А, совершающего поступательное дви-

Работа вращающего момента тв р , приложенного к барабану В,

оi

Если выразить угол поворота барабана ф через длину наматываемого троса h

h

Ф = г-

то

и найдем скорость груза А в момент, когда он поднялся на высоту h\

Задача 38.25

Какую начальную скорость, параллельную линии наибольшего ската наклонной плоскости, надо сообщить оси колеса радиуса г для того, чтобы оно, катясь без скольжения, поднялось на высоту h по наклонной плоскости, образующей угол а с горизонтом? Коэффициент трения качения равен/к. Колесо считать однородным диском.

Р е ш е н и е

Рассмотрим качение колеса по наклонной плоскости под действием приложенных к нему сил: силы тяжести Mg, силы реакций плоскости N, момента трения качения

Покажем на рисунке начальное и конечное положения колеса, а также силы, действующие на колесо, скорость колеса и его перемещение.

Работа силы тяжести колеса

Ам = -Mgh.

Работа AN реакций плоскости N и AFrp равна нулю. Работа момента сил трения качения

284 X. Динамика материальной системы

и найдем начальную скорость

Задача 38.26

Два цилиндра одинаковой массы и радиуса скатываются без скольжения по наклонной плоскости. Первый цилиндр сплошной, массу второго цилиндра можно считать равномерно распределенной по его ободу. Найти зависимость между скоростями центров масс цилиндров при опускании их на одну и ту же высоту. В начальный момент цилиндры находились в покое.

Р е ш е н и е

Рассмотрим качение каждого цилиндра в отдельности по наклонной плоскости под действием только сил тяжести. Покажем на рисунке начальное и конечное положения цилиндра, а также скорость цилиндра v и высоту Л.

Применим теорему об изменении кинетической энергии материальной системы:

Так как цилиндры можно считать абсолютно твердыми телами, то работа внутренних сил равна нулю, т.е. - 0.

Кинетическая энергия обоих цилиндров в начальном положении равнялась нулю, т.е. Т0 =0, поэтому

Найдем кинетическую энергию первого (сплошного) цилиндра, когда он опускается на расстояние h:

Определим работу внешних сил при перемещении этого цилиндра из начального в конечное положение:

Подставим выражения (2) и (3) в уравнение (1) и найдем скорость первого цилиндра:

Яgh

Кинетическая энергия второго цилиндра, масса которого равномерно распределена по его ободу, когда он опускается на расстояние И:

Работа внешних сил при перемещении этого цилиндра из начального в конечное положение так же, как и в первом случае, равна

= Ам л-An = Mgh.

Подставим полученные значения в уравнение (1) и найдем скорость второго цилиндра:

v2 = Vi/r.

Тогда искомое отношение скоростей цилиндров v2/v| = л/3/2.

О т в е т : v2/v] = V3/2.

Задача 38.27

Эпициклический механизм, расположенный в горизонтальной плоскости, приводится в движение из состояния покоя посредством постоянного вращающего момента L, приложенного к кривошипу OA.

Определить угловую скорость кривошипа в зависимости от его угла поворота, если неподвижное колесо I имеет радиус г,, подвижное колесо II — радиус г2 и массу Мь а кривошип OA — массу М2. Колесо II считать однородным диском, а кривошип — однородным стержнем.

Р е ш е н и е

Рассмотрим движение механической системы, состоящей из неподвижного колеса I, кривошипа OA и подвижного колеса II. Покажем на рисунке начальное и конечное положения системы, вращающий момент L, скорости тел, входящих в систему, и их перемещения.

Применим теорему об изменении кинетической энергии материальной системы:

Так как система неизменяема, то £ 4 =0.

Система начинает движение из состояния покоя, поэтому Т0 = 0. С учетом этого выражение (1) примет вид

Найдем кинетическую энергию системы в конечном положении:

т = т0А+ти.

Кинетическая энергия кривошипа OA, совершающего вращательное движение относительно оси, проходящей через точку О,

М2(ОА)2(о2 М2(Ц + Г2)2

Кинетическая энергия колеса И, совершающего плоскопараллельное движение,

Выразим скорость центра А колеса II через угловую скорость кривошипа OA:

Определим работу внешних сил при перемещении системы из начального в конечное положение:

=Am+AI=A£,

так как механизм расположен в горизонтальной плоскости, то работа сил тяжести Ам всех его частей при перемещении ф равна нулю.

Работа вращающего момента L при перемещении ф

Al = Хф.

Следовательно,

Подставим выражения (3) и (4) в уравнение (2):

(9М, +2 М 2 ) < ^ со2 = 1ф

и найдем угловую скорость кривошипа:

са эксцентрика равна М, эксцентриситет е равен половине его радиуса; коэффициент упругости пружины равен с. При крайнем левом положении штанги пружина не напряжена. Какую угловую скорость надо сообщить эксцентрику для того, чтобы он переместил штангу D из крайнего левого положения в крайнее правое? Массой ролика, штанги и пружины пренебречь. Эксцентрик считать однородным круглым диском.

Р е ш е н и е

Рассмотрим движение кулачкового механизма в горизонтальной плоскости. Покажем на рисунке начальное и конечное положения механизма. При движении эксцентрик А повернется на угол ср = к, а ролик В со штангой D переместится на величину 2001 =2 е = г.

Применим теорему об изменении кинетической энергии механической системы:

Система неизменяема, поэтому работа внутренних сил равна нулю, т.е. £ 4 = 0 .

В конечном положении система остановилась и ее кинетическая энергия стала равна нулю, т.е. Т = 0.

Найдем кинетическую энергию системы в начальном положении. Так как учитывается только масса эксцентрика А, то

т0 = тА.

Эксцентрик А совершает вращательное движение вокруг оси, проходящей через точку О, поэтому

Механизм перемещается в горизонтальной плоскости, поэтому сила тяжести эксцентрика работы не совершает.

Работу будет совершать только сила упругости пружины Fynp. Это значит, что

и найдем угловую скорость

со = 24ЩМ).

О т в е т : & = 2-Jc/QM).

Задача 38.29

Какой путь проедет велосипедист, не вращая педалями, до остановки, если в начальный момент он двигался со скоростью 9 км/ч? Общая масса велосипеда и велосипедиста равна 80 кг. Масса каждого из колес равна 5 кг; массу каждого из колес считать равномерно распределенной по окружности радиуса 50 см. Коэффициент трения качения колес о землю равен 0,5 см.