doc2
.pdf160 X. Динамика материальной системы
или |
fy+k (p = dt + hsmpt, |
(2) |
|
||
|
>2т- |
|
где к = J |
~~к РУг о в а я частота крутильных колебаний диска; |
|
MR2 MR2
Общее решение неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами ищем в виде суммы
* |
ф = ф , + ф 2 ) |
(3) |
где ф| — общее решение однородного дифференциального уравнения ф+&2ф = 0,
q>\=Acoskt + Bsinkt-, |
(4) |
А.
ф2 — частное решение, которое ищем в виде правой части дифференциального уравнения (2) при отсутствии резонанса, т.е. когда рфк,
ф2 = Dt + Esin pt. |
(5) |
Найдем постоянные интегрирования D и Е. Для этого дважды продифференцируем по времени выражение (5):
<р2 = |
Ер sin pt, |
ф2 =-Ер2 sinpt.
Подставим значения ф2 и ф2 в дифференциальное уравнение (2) и получим
-Ер2 sinpt + k2Dt + к2Е sinpt = dt + h sin pt.
Откуда
p. d |
2C(OQMR2 |
|
D - ~ r r = |
^ |
= ось, |
К |
MR |
2C |
(6)
k2 - p 2
Запишем выражение (3) с учетом формул (4)—(6):
Acoskt+Bsinkt + co0t + -^—jsinpt. |
(7) |
37. Теорема об изменении главного момента количеств движения |
161 |
|
Продифференцируем уравнение (7) по времени: |
|
|
q = -Akcoskt+Bksinkf |
J4. |
(8) |
+ G)Q+T~-jCospL |
||
|
к2— р |
|
Определим постоянные интегрирования А и В, подставив в уравнения (7) и (8) начальные условия: / = 0, ф0 =0, <р0 =0. Тогда А - 0 ,
в_ top hp
кк(к2-р2)'
Подставим значения А и В в уравнение (7) и запишем закон движения диска:
ф = |
(Оо • |
hp |
. . |
+ (D |
, |
, |
h |
? s i n |
, |
-Sin/tf |
—T -Sinf |
0?+ |
|
pt |
|||||
|
к |
k(kl-pl) |
|
|
|
|
kl-pl |
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф = coq t-—sin |
kt+—(sinpt-—sin&A |
|
|||||||
|
к |
|
kz-pz\ |
|
|
к |
|
J |
|
Частное решение при резонансе, т.е. при к - р , |
ищем в виде |
||||||||
|
|
ф2 = Dt +Et cos kt. |
|
|
|
|
(9) |
Найдем постоянные интегрирования D и Е. Для этого дважды продифференцируем по времени выражение (9):
Ф2 = V+Ecoskt—kEtsinkt,
ф2 = -Ек sin kt - Ек sin kt - Ек2t coskt.
Подставим значения ф2 и ф2 в дифференциальное уравнение (2) и получим
-Ek2t coskt - 2 Ек sin kt + Dtk2 + Ek2t coskt = dt + h sin pt.
Откуда
n d"_
Д = 72 = Ю ° ' к 2
2 к
162 |
X. Динамика материальной системы |
|
Тогда частное решение (9) будет иметь вид |
|
|
<p2 |
= Wo'——coskt. |
(10) |
|
2к |
|
Подставим выражения (4) и (10) в уравнение (3) и получим |
|
|
<p = >4cosA:/+5sinA:/ + (OQ/- — tcoskt. |
(11) |
|
|
2/с |
|
Постоянные интегрирования А и В найдем с учетом начальных условий: / = 0, ф0 =0» фо =0, продифференцировав уравнение (11):
ф = -Ак sin kt+Вк coskt + ton + — t sin kt |
-—coskt. |
|
|
2k |
2k |
Откуда |
|
|
A - |
0, |
|
B = Ji |
®o |
|
2к2 |
к ' |
|
Подставим значения А и В в уравнение (11) и получим закон дви-
жения диска: |
|
|
|
|
|
Ф = -Д=- sin kt - — s i n kt + con t - — t coskt |
|
||||
|
2k |
к |
2k |
|
|
или |
|
|
|
|
|
Ф = (On / - — s i n kt+—f |
- sin kt - 1 coskt \ |
|
|||
|
к |
2k\k |
J |
|
|
О т в е т : 1) ф= (Oo?~—$inkt+ |
k-p'\ |
. fsin/>?- —sinfcH, где к = |
J - ^ - ; |
||
|
к |
к |
J |
\MRl |
|
MR2 |
^ |
к |
2k\k |
) |
|
Задача 37.21
Твердое тело, подвешенное к упругой проволоке, совершает крутильные колебания в жидкости. Момент инерции тела относительно оси проволоки г равен Iv Момент сил упругости проволоки niynpz = - сф,
37. Теорема об изменении главного момента количеств движения |
163 |
где с — коэффициент упругости, а <р — угол закручивания; момент сопротивления движению mcz = -(Зф, где ф — угловая скорость твердого тела, а р >0. В начальный момент твердое тело было закручено на угол фо и отпущено без начальной скорости. Найти уравнение
движения твердого тела, если _Р_
2L
Р е ш е н и е
Рассмотрим крутильные колебания тела в жидкости. На рисунке покажем силы, действующие на тело: силу тяжести Mg тела, реакцию N проволоки, моментгИуПрг сил упругости проволоки, момент тс. сопротивления движению.
Запишем дифференциальное уравнение вращательного движения тела относительно оси z:
/ г Ф = х м д а . |
(1) |
Найдем значение главного момента внешних сил относительно оси Z'-
^MZ(F<) = -mcz -/Иупр г |
= - сф - рф |
|
и подставим это значение в уравнение (1): |
|
|
/г ф = - сф - рф . |
|
|
После преобразований получим |
|
|
В |
с |
|
ф+-^-ф+—ф = 0 |
|
|
h |
к |
|
или |
|
|
•ф+2яф+Л:2ф = 0, |
(2) |
Уравнение (2) является дифференциальным уравнением затухающих колебаний, так как
Р Гс" |
, |
-i—< — или |
п<к. |
2 / , |
|
164 |
|
X. Динамика материальной системы |
|
Решение этого уравнения ищем в виде |
|
||
<р = е~"'{A cosJk2-n2t |
+Bs\n*Jk2-n2t). |
(3) |
|
Продифференцируем уравнение (3) по времени: |
|
||
ф = -пе~"\А |
cos~Jk2 - п2 t+Bsin-<Jk2 - п21) + |
|
|
+ ё~"\-А-4кг -п2 |
sinVA;2 - п 2 |
t+Bjk2 -п2/cosV/fc2 -п2 1). |
(4) |
Постоянные интегрирования А и В найдем с учетом начальных условий движения: / = 0, ф0 = 0, ф0 * 0, подставив их в уравнения (3) и (4). Тогда
А= щ,
р_ "Фо
Подставим эти значения А и В в уравнение (3) и получим уравнение движения тела:
ф = ф()е"я/(cos 1Jk2 -n2 |
t + - ^JL^siiWfc 2 -n2 |
t). |
I |
' |
J |
О т в е т : затухающие крутильные колебания по закону
Ф = ф о е " " ' |^cos 4кг-t?t |
+ -~==sm |
-Jk2-n2( ], |
||
,2 |
с |
р |
|
|
где Лг = —; п = |
— . |
|
|
|
|
h |
2IZ |
|
|
Задача 37.22
Однородный круглый диск массы М и радиуса R, подвешенный к упругой проволоке, может совершать крутильные колебания в жидкости. Момент сил упругости проволоки /ЯупРг; = - сф, где ось z проведена вдоль проволоки, с — коэффициент упругости, а ф — угол закручивания; момент сопротивления движению --(Зф, где ф — угловая скорость диска, а р > 0. В начальный момент диск был закручен на угол ф0 и отпущен без начальной скорости. Найти уравнение
р |
ГТГ |
.. р |
|
ГТГ |
движения диска, если: 1) —!—• = |
V MR |
2) — — > J |
|
|
MR2 |
MR2 |
У MR2 |
37. Теорема об изменении главного момента количеств движения |
165 |
Р е ш е н и е
Рассмотрим крутильные колебания тела в жидкости. Покажем на рисунке силы, действующие на тело: силу тяжести Летела, реакцию N проволоки, момент mynpz сил упругости проволоки, момент тС1 сопротивления движению.
Запишем дифференциальное уравнение вращательного движения тела относительно оси Z'-
М > = Х В Д е ) . |
(1) |
Найдем главный момент внешних сил относительно оси г\
^M z (F e ) = - т с г -fflynp, = -сф-рф. |
(2) |
Тогда дифференциальное уравнение (1) примет вид /г ф= -рф-сф.
После преобразований получим
/ г ф + Р ф + с ф = 0
или
|
|
ф + 2 я ф + £ 2 ф = 0, |
( 3) |
где Iz |
MR2 |
момент инерции однородного диска относительно |
|
= —ц- |
|||
|
2 |
|
|
оси z\ п =11, |
=MR , — коэффициент сопротивления среды; |
|
|
Рг |
|
круговая частота колебаний. |
|
\ MR |
|
Уравнение (3) является дифференциальным уравнением затухающих колебаний, решение которого зависит от значения корней харак-
теристического уравнения: |
|
|
z2+2nz |
+ k2=0. |
(4) |
Корни уравнения (4): |
|
|
Zl,2 = |
-n±Vn2-к2. |
|
166 X. Динамика материальной системы
1) Если — ~ |
= J - ^ - r, т.е. п = к, то корни уравнения (4) вещест- |
|
MR |
V Л//? |
|
венные, равные и отрицательные: |
|
|
Общее решение в этом случае имеет вид |
|
|
|
ф = e~n'(At + B). |
(5) |
Продифференцируем уравнение (5) по времени: |
|
|
|
§ = -ne-"'(At+B) + Ae-M. |
(6) |
Постоянные интегрирования найдем с учетом начальных условий движения: t = 0, ф0 =0, ф0 подставив их в уравнения (5) и (6): £ = ф 0 , Л = Иф0.
Значения А и В подставим в уравнение (5) и получим уравнение движения диска для этого случая:
В |
|
/ "2с |
х-, т.е. п>к, |
то корни уравнения (4) вещест- |
|
2) Если —^Ц- >,/ |
|
||||
MR |
V MR |
|
|
||
венные, отрицательные и различные: |
|
||||
|
|
|
ZU2=-n±Jnl-k2. |
|
|
Общее решение в этом случае имеет вид |
|
||||
|
Ф = e-^iAe^*-^' |
|
(7) |
||
Продифференцируем уравнение (7) по времени: |
|
||||
|
ф = -пе^ЧАе4 *1 -^' + В е * ^ " 7 ' ) + |
|
|||
.+ е~"'(А^к2 |
- п2 е4*^' |
-B-IF^n2 е'47^'). |
(8) |
Постоянные интегрирования найдем с учетом начальных условий движения: / = 0, ф0 = 0, ф0 * 0, подставив их в уравнения (7) и (8). Тогда
Фо(Л/Я2-£2+/з)
В = ф0 {^п2 -кг - п)
37. Теорема об изменении главного момента количеств движения |
167 |
Значения А и В подставим в уравнение (7) и получим уравнение движения диска для этого случая:
ф: |
Фо |
|
|
|
|
|
|
|
|
2-Jn2 -k2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
О т в е т : апериодическое движение по закону: |
|||||||||
|
|
р |
_ |
2j |
21с |
|
1 |
' |
|
|
MRIMR |
|
|
||||||
|
mr |
IMR^ |
1 |
|
|
|
|||
|
2) |
P . |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
( А / Л 2 - / : 2 + п)e^2-kh |
|
+ {-Jn2 -к2 -п)е-Jn2-k2t |
||||||
|
|
,2 |
|
2с |
п= |
|
|
р |
|
|
где к1 = |
|
|
|
|
г |
|||
|
|
|
MR2 |
MRi2' |
Задача 37.23
Твердое тело, подвешенное на упругой проволоке, совершает крутильные колебания под действием внешнего момента mBZ - щ cos pt, где т 0 и р — положительные постоянные, a z — ось, направленная вдоль проволоки. Момент сил упругости проволоки туПрг = - с ф , где с — коэффициент упругости, а ф — угол закручивания. Момент инерции твердого тела относительно оси z равен Jz. Силами сопротивления движению пренебречь. Определить уравнение движения твердого тела в случаях: 1) -Jc/Iz * р, 2) -Jc/Iz = р, если в начальный момент при ненапряженной проволоке твердому телу была сообщена угло-
в а я СКОРОСТЬ (OQ.
Р е ш е н и е
Рассмотрим крутильное колебание тела под действием приложенных сил. Покажем на рисунке действующие на тело силы: силу тяжести Mg тела, момент/ИуПрг сил упругости проволоки, внешний момент тъг, реакцию N проволоки.
Запишем дифференциальные уравнение вращательного движения тела относительно оси z'-
h<i> = 2Mz(Fn. |
(1) |
168 |
X. Динамика материальной системы |
Найдем главный момент внешних сил относительно этой оси:
£ Mz(Fke) = |
- ШуПр2 = щ cospt - Сф |
(2) |
и подставим его значение в уравнение (1):
/г ф = щ cospt — Сф.
После преобразований получим
сЩ
ф+ — ф = — cos pt h h
или
к2 (p = h cos pt, |
(3) |
Общее решение ф неоднородного дифференциального уравнения ищем в виде суммы общего решения ф) однородного дифференциального уравнения
ф+£2 ф = 0
и частного решения ф2 в виде правой части уравнения (3), т.е.
ф=ф,+ф2 , |
(4) |
|
где |
|
|
Ф1 = Asinkt+Bcoskt, |
(5) |
|
ф2 для первого случая, когда рФк, |
|
|
Ф2 = |
JDCOSpt. |
(6) |
Продифференцируем выражение (6) по времени: |
|
|
ф2 = |
-pDsmpt, |
|
ф2 = |
-p2Ds\npt. |
|
Найдем постоянную интегрирования D, подставив значения ф2 и ф2 в уравнение (3):
- Dp 2 cospt + Dk2 cospt = h cos pt.
37. Теорема об изменении главного момента количеств движения |
169 |
Откуда
к2-р2'
Подставим выражения (5) и (6) с учетом значения постоянной интегрирования D в уравнение (4) и получим
(р-Asinkt + Bcoskt + —=h |
T cospt. |
(7) |
kL—pL |
|
|
|
Р* |
|
Продифференцируем уравнение (7) по времени:
hp
ф= Ak coskt—Bk sin k t — . sin pt.
V-2
к ~ р 1
Найдем постоянные интегрирования А и В с учетом начальных условий движения: t = 0, ф0 =0, ф0 = (ОоТогда
Л = В = ~ h
кк1 -р1
Подставим значения постоянных интегрирования в уравнение (7) и получим уравнение движения тела для первого случая:
ф = — sin kt — J ^ — г - cos kt + —J^-—r- cos pt |
|||
к |
k2-p2 |
к |
-p2 |
или |
|
|
|
Ф = — s i n kt+ J1 |
. (cos pt - |
cos kt). |
|
к |
kl~pz |
|
|
Для второго случая, когда р = к, частное решение ф2 ищем в виде |
|||
|
ф2 = Et sin pt. |
(8) |
Дважды продифференцируем уравнение (8) по времени:
ф2 = Е sin pt + Etp cos pt,
ф2 = Ер cospt + Ер cospt - Ер21 sin pt.
Найдем постоянную интегрирования E. Подставим выражения ф2 и ф2 в уравнение (3) и получим
2Ер cospt— Ep2t sin pt + Ek2t sin kt -h cos pt.