doc2
.pdf40 |
|
|
|
|
|
|
|
X. Динамика материальной системы |
||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A = jjy2dS |
= |
12 |
|
|
4 + |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
-(хс-*в) hlз +, 3кмЩ-hg) + h d h c _ h ) 2 + |
\ |
|
h g ? _ |
||||||||
hc_Y {xc |
|
+ xB){xl |
+ x2B) |
|
_1_ |
|
\3 |
„4 |
| |
чЗ |
|
|
|
|
h\xB-\OL |
( 4 - 4 ) |
|||||||||
xc |
|
|
|
|
|
12 |
|
*c |
XB - |
*c |
||
|
|
|
|
•51.2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
- hB) + hB(hc - hB)2 + Uhc - hB)3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
oz.2 |
|
|
|
|
= rU^i*/» - hlxc) |
+ I(xc |
- |
xB) h3B+^-(hc-hB) |
|
+ hB{hc-hB)2 + |
|||||||
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
k h c ~ h B ) 3 = ^ - ( A i ^ - hlxc) + ^ - (x c |
- xB) x |
||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x [4//J +6hBhc |
-6hB +4(hBhl-lhch2B |
|
+ h3B) + hl -3h£hB |
+3hch2B-h3c\ = |
||||||||
= 7^(.hlxB - hcxc)+~(xc |
- xB){h3B + hBhc + hBhl + |
: |
||||||||||
|
12' |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ~1 xB(hB -h\- |
hBhc - hBhl - hi) + |
|
|
||||||
|
|
|
+ ^ xc(h3B + h2Bhc + hBhl + hi- h3c) = |
|
|
|||||||
|
= TT" xchB(h2B + hBhc |
+ hl)-~ |
xBhc(h\ + hBhc |
+ hi) = |
||||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
_ hj + hBhc |
+ hl •S, |
|
|
|
|
|||
где S = -(xchB |
|
- xBhc) |
— площадь АЛВСс вершинами A(0, 0), B(xB, hB), |
|||||||||
C(xc, hc)\ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
34. Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инерции |
41^ |
0 |
0 |
1 |
„ 1 xc |
hc |
1 |
xB |
hB |
1 |
Тогда |
|
Ix |
= рА = pS • Uh2B + hBhc + h2c) = \M(hB + hBhc + hi), |
где M = |
|
Ответ: Ix |
= —(hB + hBhc + he). |
Задача 34.23
По данным задачи 34.1 определить центробежные моменты инерции Ixv Iyz, /ху коленчатого вала.
Р е ш е н и е
Выпишем координаты точек А, В и D:
d V3•d\ -(а+Ь)
. 2 |
2 |
В — |
а О |
2 |
2 |
D[-d\ 0; (а+Ь)].
По определению центробежного момента инерции
hi = Y,mkxkzk |
= m\-(a+b)~+0 + (-d)(a+b)\ = |
||
к=i |
I |
2 |
J |
2 |
J |
|
|
Iyz = £mkykzk =m\ |
-Л d(a +b)+0+0>- |
V3 md(a+b), |
|
k=1 |
|
|
|
42 X. Динамика материальной системы
/ху = Ътк*кУк =Щ |
'•Л ,(d\ |
d-Sd |
+0U0. |
|
—d |
2-2 |
|||
к=1 |
|
|
|
|
3 |
|
V3 |
|
|
Ответ: Ixz = ~-md(a +b)\ Iyz |
= ——md(a +b); I^ = 0. |
|||
Задача 34.24
Однородный круглый диск массы М эксцентрично насажен на ось z, перпендикулярную его плоскости. Радиус диска равен R, эксцентриситет ОС = а, где С — центр масс диска.
Вычислить осевые Ix, Iy, Iz и центробежные Ixy, Iyz, Ixz моменты инерции диска. Оси координат показаны на рисунке.
Р е ш е н и е
Аналогично решению задачи 34.21 запишем (см. рисунок).
IZ=IZ' + M(0Q2 MR2 + М а 2 =
= 2 ^-(R2+2a2), |
|
Ix = Ix' + MQ = Ir> = |
|
2л Л |
2тг R |
= pjn(/) 2 +(f) 2 14' - o = Pj J(/)2«M<P = pj J г3 sin2(pcfr<&p =
5 |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
0 |
|
2,1 |
|
тсЯ4 |
Л — |
M |
MR2 |
|
|
|
|
— Л |
|
|
||
|
о |
|
~ P |
4 Р ~тгR2 |
|
||
I, = Iy- + M |
(OC)2 = pj Juxf |
+(z02 ]^| ,_0 + Ma7 |
|||||
о о |
* |
34. Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инерции |
43^ |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
ip=2jt |
|
|
= pj j V cos2 <p dr d<$+Ma2 = |
p ^ - ^ f - ( p + - s i n 2 ( p l |
+ Ma2 |
= |
|||||||
n n |
|
|
|
4 |
V2 |
4 |
J <p=0 |
|
||
= p |
Л4Л |
, , 2 MR2 |
|
л-Ma |
2 |
M ,n 2 |
. |
2 ч |
|
|
4 |
+ Ma |
|
|
-—(R |
+4a |
). |
|
|||
|
4 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
Определим центробежные моменты инерции диска: |
|
|||||||||
|
|
Ixz = |
jjxzdm\z=Q=0, |
|
|
|
||||
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lyz=ttyszdm\z=0=0> |
|
|
|
|
|
|
||
hy |
= hy |
+ МхсУс\yxcl\ |
= Ixy |
= } J X'y'dm |
= |
|
||||
|
|
R2K |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= pj Jrcosep r |
sincp r dtydr = |
|
|
|
|||||
|
|
о 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
<p=2jt |
|
|
= p f r 3 d r j |
—sin2cp*/<p= p — f — - c o s 2 c p |
|
= 0. |
|
||||||
о |
о ^ |
|
4 |
V |
|
4 |
(p=0 |
|
|
|
П р и м е ч а н и е . Решение значительно упрощается, если воспользоваться справочными данными и теоремой Гюйгенса — Штейнера:
MR2
I y = I C y . + M ( O Q 2 = ^ - + M a 2 = M ( ^ - + a2 |;
/ , = / С 7 . + М - ( 0 О 2 = А / | у + а2
Так как ось х является главной центральной осью инерции (ось материальной симметрии, проходящая через центр масс), то 1ху = 1 „ =0.
О т в е т: Ix = М ; Iy = +4а2); Iz = f R 2 +2а2);
!ху = ^xz = Iyz = 0.
44 |
X. Динамика материальной системы |
|
|
Задача 34.25 |
|
По данным задачи 34.24 вычислить |
|
|
момент инерции диска относительно |
|
|
оси Z}, лежащей в вертикальной плос- |
|
|
кости xz и образующей с осью z угол ф. |
|
|
Р е ш е н и е |
|
|
Воспользуемся формулой (34.15) для |
|
|
момента инерции относительно оси про- |
|
|
извольного направления, проходящей |
|
|
через начало координат: |
|
|
// = /х |
cos2 а+1у cos2 р + /г cos2 у - 2 cosa cosp |
- |
|
-21 yz cospcosy-2/^-, cosy cosа, |
(1) |
где cosa, cosp, cosy — координаты единичного вектора ё, |
определяю- |
|
щего направления оси / (т.е. оси Zi)- |
|
|
7С ТС
Поскольку у = ф, а = — - ф и р = —, то cosa = втф, cosp - О,
cosy = cosф, тогда согласно формуле (1)
//= 7xsin2 ф+Iz cos2 <p-2Ixz соэфвтф.
Вданном случае
|
|
|
|
1Х |
MR2 |
|
||
|
|
|
|
= |
|
|
||
|
|
|
/ |
= |
MR2 |
|
2 |
|
|
|
|
Iz |
|
|
+ Maz, |
||
(см. решение задачи 34.24). |
|
|
|
|
|
|||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ж |
MR2 sin |
ф+Д/^ R2- + а |
COS2 ф = 1ц . |
||||
„ |
.MR2 |
. 2 |
, / Л 2 |
+ а2 (cos2 ф. |
||||
Ответ: |
Iz = |
sin |
ф+Л/ |
|
||||
34. Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инерции |
45^ |
Задача 34.26
Однородный круглый диск массы М насажен на ось z, проходящую через его центр масс С. Ось симметрии диска Z\ лежит в вертикальной плоскости симметрии xz и образует с осью z угол а. Радиус диска равен R.
Вычислить центробежные моменты инерции диска Ixy, 1уг, 1хг (оси координат показаны на рисунке).
Р е ш е н и е
Запишем формулы перехода от к о о р д и н а т у \ , Z\ к координатам
х, у, г.
jc = хх cosa—z\ sina, |
у-уи |
Z = |
s i n a + з cosa. |
|||
Тогда |
= jfxy dm = j j(xt cosa |
sina)yxdm = |
||||
/ху |
||||||
|
5 |
|
s |
|
|
|
= cosa J fxiyidm-sina |
J J y\Z\dm = 1Х{У{ |
cosa - Iyyli sina. |
||||
5 |
|
|
5 |
|
|
|
Вычислим |
|
|
R2n |
|
|
|
Х]У) |
=pJJx1y,</S = p J Jrcostpr sin (p |
</<p = |
||||
L |
s |
|
oo |
<p=0 |
=0, |
|
|
|
cos2(P |
|
|||
|
|
=ptH |
] |
|
|
|
|
|
|
|
<p=2rc |
|
|
V , = 1 1 ^ 4 , = o = 0 ' s
так как S — диск, лежащий на плоскости Z\ = 0.
Следовательно,
= 0 c o s a - 0 s i n a = 0.
Аналогично
-\\zydm = J J(*i sina + ^i cosd)y\dm = s s
= sina j j X] у\ dm+COSO. fjziyidm = IXjyj
s |
s |
46 X. Динамика материальной системы
Поскольку Ix у =0 и lZjУ| =0, то |
=0. |
|
Определим |
|
|
lxl = j j*z |
dm = JJ(xj c o s a - ^ i sina)(X| sin a + Z\ cosa)dm = |
|
s |
s |
|
= J J (x2 cosa sin a + x, z\ cos2 a - |
x, Zi sin2 a - z2 sin a cosa) dm - |
|
s |
|
|
= cosa sin a J J (x2 - Z\) dm+(cos2 a - sin2 a)J j x, Z\ dm. |
||
|
s |
s |
Так как S лежит в плоскости Z\ = 0, то
Ixl = cosasina J jx2dm = pcosasina J JxfdS =
1KZK
=-psin2a | fr2 cos2<pr dr d<p =
2oo
1 . . |
R4fl |
|
1 . . |
)2* |
= |
fl |
2nR4 . „ |
) |
||
= - p s i n 2 a — |
|
-(p+-sin2cp |
|
- p |
sin2a |
J |
||||
2 |
4 |
V2 |
4 |
" o |
|
[8H |
2 |
|||
|
_ 1 MnR4 |
- ~ |
_ 1 |
ЫР2 |
|
|
||||
|
|
8 TIR2 |
-sin2a = -A/7? |
sin2a . |
|
|||||
м
"KR2
Ответ: Ixz = - MR2 sin2a; Ixy = 1^-0.
Задача 34.27
Решить предыдущую задачу в предположении, что диск эксцентрично насажен на ось z, причем эксцентриситет
ОС = а.
Р е ш е н и е
Координаты точки С:
хс - -a cosa, ус - 0, Zc-~a sin a.
34. Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инерции |
47^ |
Поэтому координаты х, у, z и хх, ух, Z\ связаны следующими формулами:
х = Х| cosa-Zi s i n a - a c o s a = (x, - a) cos a-Z\ sina,
- У = У],
z = X| sina + ^i c o s a - a sina = (x, - a ) s i n a + 3 cosa.
Отсюда |
|
|
|
|
|
[xy = $jxydm = j j ^ x , cosa - ^sina - acosa)rfmj z = 0 = |
|||
|
s |
s |
|
1 |
|
= IX[ У1 cosa-acosa |
jjyldm--acosa-MyiC |
=0, |
|
|
|
|
s |
|
так как С совпадает с началом системы координат хх, ух, Z\ и ухс = О, |
||||
а |
=0 ( с м - задачу |
34.26). |
|
|
|
Аналогично |
|
|
|
|
Iyz = ]\yzdm\i=Q |
= \\yx(xx -a)smadm-Myxc |
о sina = 0, |
|
IXZ = ]\xzdm = s
= J J(X] c o s a - 3 s i n a - a cosa) (x, sina + Z\ cosa-asina)dm|^ _0 = s
= J J(x? + a2 -2ax1 )sinacosadm =
= a2sinacosa f f dm-asin2a |
f jxxdm+sinacosa |
J f x2dm = |
|
s |
s |
|
s |
= -i-A/a2 sin2a-asin2a- Mx,c + |
-M— = |
||
2 |
|
2 |
4 |
= -M\— + a2) sin2a
"4 J
(см. решение задачи 34.26).
О т в е т : I „ |
=-M |
tR2 |
•a |
^ |
sin2a; /ху |
= |
=0. |
|
1 |
||||||
xz |
2 |
|
|
|
|
|
48 |
X. Динамика материальной системы |
Задача 34.28
Однородный круглый диск радиуса R насажен на ось вращения z, проходящую через точку О и составляющую с осью симметрии диска Cz\ угол а. Масса диска равна М. Определить момент инерции Iz диска относительно оси вращения z и центробежные моменты инерции и 1К, если OL — проекция оси z на плоскость диска, ОЕ = а,
ОК = Ь.
Р е ш е н и е |
|
|
|
|
Найдем зависимость между координатами точки |
yh Zi в систе- |
|||
мах Oxyz и |
Cx'y'z': |
|
|
|
|
х,- = X/ cosa-г,'sin а, |
|
||
|
У/ = У,; |
|
|
|
|
Zi = Xj sin а + г,- cosa, |
|
||
|
Xi = xc + x;c, |
• |
(1) |
|
|
У/= Ус + Ую, |
|
|
|
|
xc |
= OE = a, |
ус =OK = b, zc= O.J |
|
Формулы (1) получены параллель- |
|
|||
ным переносом координат Сх' у'z' в точ- |
|
|||
ку О с последующим поворотом ее на |
|
|||
угол а. |
|
|
|
|
Вычислим центробежный |
момент |
|
||
инерции: |
|
|
у> |
|
Iyz = И т ' У Л |
= |
s i n а + ?/ cosa) = |
|
|
|
/ |
|
|
|
= sina XЩУМ + cosa |
- |
|
||
i |
|
i |
|
|
= sin а 5>АУю + }>ic)(xc + x',c) + cosa ^m, (yc + ylc)(zc |
+ Z/c): |
|||
|
|
|
/ |
|
= sin a Усхс - MabsincL
34. Геометрия масс: центр масс материальной системы, моменты инерции |
49^ |
||
При выводе этой формулы было учтено, что ось £ является глав- |
|||
ной центральной осью инерции диска, а поэтому |
|
||
ix.z, = i / z , = 0, |
2>,х; = Мгс=о, |
= |
(2) |
Ixz = £rriiXjZi - |
cosa—^ sina) (x; sina+г, cosa) = |
|
|
= sin2a ^niiXjZc + cos2a £/я,х,гс + cosasina £ w , ( x 2 - 5 2 ) = |
|
||
i |
i |
|
|
= (cos2 a - sin2 a)5>,(x c + |
+ + |
|
|
+ cosasinaXffi/ [(xc + x,02 - Uc + Zc)2] = |
|
||
= (cos2 a - sin2 a) |
+ Лт >х & + Hm i^x c + |
|
|
Vi
+sina cosafjT/iij + x} +2хсх,—г,)) =
|
= sin a cosa (Mxq + |
= |
||
= \ Ma2 +-MR2 |
J |
sinacosa = M |
a2 + — sinacosa. |
|
I |
4 |
I |
4 J |
|
Так как xf, yf, zi координаты точки на диске, уравнение которого имеет вид z'= 0 (в системе координат Cx'y'z'), поэтому z,' = 0для всех /.
Также вычислим /г:
7 г = 2>i(*<2 + |
= 2 > / К*' c o s |
s i n а >2 + У' \ = |
-Й2 cos2 a - 2 x,^ cos a sin a + г2 sin2 a + y,2] =
= cos2 a 2>/(x£ +2х^х/ + x2) + sin2 a Q^mjZc) -
- 2 c o s a s i n a Y<mix'iCxc |
+ %,тАУс |
+2УСУ1 + У/2) = |
|
= cos2 a (A/xc + 2 xcY.m> |
xi + |
xc) |
+ sin2 a • Mzc - |
- 2xc cosasinaXm,x;c + (£m,x'2 + 2 Х ^ У с + 2>,y,'2) =
= cos2 a^A/a2 + i i?2 Mzc sin2 a + Мус + ^ т Ц у ' 2 =