doc2
.pdf130 X. Динамика материальной системы
Задача 37.4
Натяжение ведущей и ведомой ветвей ремня, приводящего во вращение шкив радиуса г = 20 см, массой М= Ъ,П кг, соответственно равны: Тх = 100 Н, Т2 = 50 Н.
Чему должен быть равен момент сил сопротивления для того, чтобы шкив вращался с угловым ускорением е = 1,5 рад/с2? Шкив считать однородным диском.
Р е ш е н и е
Покажем на рисунке активные силы, действующие на шкив: силу тяжести Mg, силы натяжения ремня Тх и Т2, силы сопротивления с моментом Мс, реакции Y0 и Х0 связей.
Запишем дифференциальное уравнение вращения тела вокруг неподвижной оси z'
|
IzV = lMz(Fk% |
(1) |
где Iz = |
ф = е; £ M t ( F f ) = |
Т,г-Т2г-Мс. |
Тогда уравнение (1) примет вид
mr2
(2)
Щ-г=Т1г-Т2г-Мс.
Из уравнения (2) найдем момент сил сопротивления:
Мс = ( 7 ] - Г 2 ) г - ^ - е = (100-50)0,2-3 '2 1 2 °'2 2 1,5г,9,8 (Н • м). О т в е т : 9,8 Н • м.
Задача 37.5
Для определения момента трения в цапфах на вал насажен маховик массой m = 500 кг; радиус инерции маховика р = 1,5 м. Маховику сообщена угловая скорость, соответствующая п = 240 об/мин; предоставленный самому себе, он остановился через 10 мин. Определить момент трения, считая его постоянным.
37. Теорема об изменении главного момента количеств движения |
131 |
Р е ш е н и е
Покажем на рисунке активные силы, действующие на вал и маховик: силу тяжести trig, моменты сил трения в цапфах МА и Мв (суммарный момент трения в обеих цапфах Мтр - МА + Мв), реакции связей XА, УА и Хв, YB соответственно в опорах А и В.
Запишем дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси z'-
|
г dcо |
=iMzm, |
|
4 dt |
|
где / г =/ир2; J,Mz(Fke) |
= -MTp. |
|
Тогда |
|
|
2 |
д ж |
|
dt |
|
|
Разделим переменные dcо и dt: |
|
|
mp2d(n=-MTpdt |
|
|
и проинтегрируем это равенство: |
||
О |
I |
|
тир2 j Ло = — |
Mjpjdt. |
|
(00 |
о |
|
Получим
-ffzp2(Oo = -Mjpt,
где озо = пп
30'
Откуда найдем момент трения:
|
|
-.2,., |
«ПП.1 |
|
А/, |
|
_ тр2 ®о |
_ 500-1,5 -3,14-240 _ |
1 ( Н м ) |
тр |
t |
600-30 |
|
|
|
|
|
||
О т в е т : 47,1 |
Н • м. |
|
|
Задача 37.6
Для быстрого торможения больших маховиков применяется электрический тормоз, состоящий из двух диаметрально расположенных полюсов, несущий на себе обмотку, питаемую постоянным током.
132 |
X. Динамика материальной системы |
Токи, индуцируемые в массе маховика при его движении мимо полюсов, создают тормозящий момент Мх, пропорциональный скорости v на ободе маховика: Мх - kv, где к — коэффициент, зависящий от магнитного потока и размеров маховика. Момент М2 от трения в подшипниках можно считать постоянным; диаметр маховика D, момент инерции его относительно оси вращения I. Найти, через какой промежуток времени остановится маховик, вращающийся с угловой
СКОРОСТЬЮ (OQ.
Р е ш е н и е
Покажем на рисунке направление вращения маховика под действием приложенных к нему активных сил: силы тяжести mg, моментов сил сопротивления М\ и М2, реакции связей Y0H%0B опоре О.
Запишем дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси z'-
|
|
(1) |
где 1г = / ; |
= - Л / , - М 2 = -Щ2 +kv) = |
М 2 + kDiо |
Подставим значения в уравнение (1) и по- |
у |
лучим |
z |
|
|
Разделим переменные, проинтегрируем ра- |
|
венство (2) и найдем время до остановки ма- |
|
ховика: |
|
\
37. Теорема об изменении главного момента количеств движения |
133 |
||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
Т |
2 / |
кРщ |
|
|
|
=—In 1 + |
~2Ж |
|
|
|
|
|
kD |
|
|
_ 21. |
{. |
kDcoo"! |
|
|
|
О т в е т : Г = — I n 1 + — — . |
|
|
|||
kD |
V |
2Мг |
) |
|
|
Задача 37.7
Твердое тело, находившееся в покое, приводится во вращение вокруг неподвижной вертикальной оси постоянным моментом, равным М\ при этом возникает момент сил сопротивления М\, пропорциональный квадрату угловой скорости вращения твердого тела: М\ = асо2. Найти закон изменения угловой скорости; момент инерции твердого тела относительно оси вращения равен I.
Р е ш е н и е
Покажем на рисунке активные силы, действующие на твердое тело, вращающееся вокруг вертикальной оси: силу тяжести mg и моменты сил сопротивления Ми М\, реакции связей RA, RB соответственно в опорах А и В.
Запишем дифференциальное уравнение вращения твердого тела
вокруг неподвижной оси |
с |
|
|||
|
|
|
т |
da |
(1) |
|
|
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
где Iz = / ; |
Mz{Fke) |
= М - М, = |
М-асо2. |
||
Подставим эти значения в уравнение (1), |
|||||
получим |
|
|
|
|
|
|
г d(i> |
,, |
|
2 |
(2) |
|
I — = - М - |
ааг. |
|||
|
dt |
|
|
|
|
Разделим переменные, проинтегрируем |
|||||
равенство |
(2): |
|
|
|
|
|
" А |
о |
|
' |
|
|
ЦМ - асо 2 |
— / Л |
|
||
|
о |
|
|
|
|
134
или
и получим
или
|
|
|
|
X. Динамика материальной системы |
||
i |
j |
|
|
|
|
|
|
|
а |
|
|
|
|
/ |
1 |
In |
|
+ со |
= t |
|
|
|
|
||||
|
|
Л/ |
|
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
а |
- — О) |
|
|
|
М |
|
|
|
|
|
|
— + со |
|
24Ш |
|
|
|
In |
а |
|
|
t. |
(3) |
|
|
- с о |
|
/ |
|||
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Введем обозначение: Р = 2 VexM/I, тогда выражение (3) примет вид
[М + (О
а= ер»
-с о
Из этого выражения найдем закон изменения угловой скорости вращения тела:
|
|
|
со = . / Ж Л - 1 |
|
|
|
|
' |
а |
|
U f |
еР' _1 |
2 |
- |
О т в е т : со = |
V а |
— , |
где P = - |
/V a М . |
Задача 37.8
Решить предыдущую задачу в предположении, что момент сил сопротивления М\ пропорционален угловой скорости вращения твердого тела: М\ = асо.
37. Теорема об изменении главного момента количеств движения |
135 |
Р е ш е н и е
Твердое тело вращается вокруг вертикальной оси под действием приложенных к нему активных сил (см. рисунок): силы тяжести mg, моментов сил сопротивления Ми Mi, реакции связей ЯА и RB соответственно в опорах А и В.
Запишем дифференциальное уравнение вращения твердого тела вокруг неподвижной оси z:
at = l M0l(Fk% |
|
|
(1) |
|
где / , = / ; £ M 0 z ( F k e ) = |
M-Ml=M-a(& |
|
||
Тогда |
|
|
|
|
/ — = M - асо = - (асо - М) . |
(2) |
|||
dt |
|
|
|
|
Разделим переменные и проинтегрируем равенство (2): |
|
|||
/ |
dw |
= |
-dt, |
|
асо - М |
|
|||
п0) |
а с о - М |
= |
-)dt, |
|
-In а с о - М |
= -t. |
|
||
а |
-М |
|
|
|
Потенциируем это выражение и находим закон изменения угловой скорости:
со = ——(1 —
а
О т в е т : со = — ( l - e ^ 1 ) .
а
Задача 37.9
Шарик А, находящийся в сосуде с жидкостью и прикрепленный к концу стержня АВ длиной I, приводится во вращение вокруг вертикальной оси 0\02 с начальной угловой скоростью со0- Сила сопротив-
136 |
X. Динамика материальной системы |
ления жидкости пропорциональна угловой скорости вращения: R - а/исо, где т — масса шарика, а — коэффициент пропорциональности. Определить, через какой промежуток времени угловая скорость вращения станет в два раза меньше начальной, а также число оборотов п, которое сделает стержень с шариком за этот промежуток времени. Массу шарика считать сосредоточенной в его центре, массой стержня пренебречь.
1 |
Щрг |
|
|
|
7 1 |
т г |
|
в , |
- |
А1 |
|
- |
1 1 |
° : |
" |
7 7 7 7 7 7 7 7 7 - 7 7 7 7 7
Р е ш е н и е
Шарик А, прикрепленный посредством стержня АВ к вертикальной оси 0\02, движется под действием активных сил (см. рисунок): силы тяжести mg, силы сопротивления Я, реакции связей Х^ , Y0{ и Х^, Y0l опор 0\ и О2-
Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении главного момента ко-
личеств движения твердого тела: |
|
at |
(о |
|
где Lz - Mz(mv) -ml2w, Mz(Fke) = -Rl = -a/wco.
Тогда
d(ml (£>)
dt
= -aimсо
или
,du>
I — = -aco. (2) dt
Разделим переменные и проинтегрируем равенство (2):
a>o (О j d t ,
/ J — = - a
37. Теорема об изменении главного момента количеств движения |
137 |
и получим
/1п2 = -аТ.
Откуда время, за которое угловая скорость шарика уменьшится в 2 раза,
а
Для определения числа оборотов п воспользуемся подстановкой
Ло _ соЛо dt d(p '
Тогда дифференциальное уравнение движения системы (2) примет вид
(3)
d<p
Разделим переменные и проинтегрируем уравнение (3):
top
29
/J Ло = - aj d<p.
о
Получим
Откуда найдем
и определим
У _ fop
2 к 4ка
О т в е т : Т = - 1п2; п = |
^ |
а |
4атс |
138 |
X. Динамика материальной системы |
Задача 37.10
Определить, с какой угловой скоростью со упадет на землю спиленное дерево массой М, если его центр тяжести С расположен на расстоянии h от основания, а силы сопротивления воздуха создают момент сопротивления т с , причем/исз, = -аф2 , где а - const. Момент инерции дерева относительно оси z, совпадающей с осью, вокруг которой поворачивается дерево при падении, равен I.
Р е ш е н и е
Рассмотрим вращательное движение дерева относительно оси Oz (см. рисунок) под действием активных сил: силы тяжести дерева Mg, момента силы сопротивления тс воздуха, реакции 70 в точке О. Для решения задачи воспользуемся теоремой об изменении главного момента количеств движения механической системы относительно оси z:
^=1мгт, (1)
где ^Mz(Fke) = Mghsin(p+mcl = Mghsincp-асо2.
Тогда уравнение (1) примет вид |
|
|
Td(0 . . . . |
2 |
(2) |
I — = Mgh sm ш - |
асо''. |
|
dt |
|
|
Представим
dcо _ oWco _ d(со2) dt d<p 2 dip
и обозначим со2 = Z.
Тогда уравнение (2) запишем в виде
J - / — = Mghsirup-aZ
2 dq>
37. Теорема об изменении главного момента количеств движения |
139 |
||||
или |
|
|
|
|
|
dZ |
, 2 а |
„ |
2 ghM . |
, |
|
— |
+ — Z = |
I |
siny. |
(3) |
|
dq |
I |
|
|
|
|
Решение дифференциального уравнения (3) ищем в виде |
|
||||
|
Z = Z + Z* |
|
(4) |
||
где Z — решение однородного дифференциального уравнения |
|
||||
|
— + — Z = 0; |
|
(5) |
||
|
d<p |
I |
|
|
|
Z* — частное решение уравнения (3).
Вначале найдем решение Z. Представим уравнение (5) в виде
dZ |
2а. |
|
|
d<p |
I |
Z, |
|
где z = Z- |
|
|
|
Разделим переменные |
|
|
|
dZ |
2а |
, |
|
— = |
fifffi, |
||
Z |
/ |
|
|
проинтегрируем и получим |
|
|
|
j f = |
lnZ = - ^ c p + l n C . |
||
Отсюда |
|
|
|
_ |
2а<р |
. |
|
Z=Ce |
I |
Затем найдем частное решение:
Z* = A cos ф+5sin ф. Продифференцируем это выражение по <р:
(Z*)' =-Asin<p+Bcos<p = dZ*d<p