doc2

Задача 41.22

В центробежном тахометре два тонких однородных прямолинейных стержня длины а и b жестко соединены под прямым углом, вершина которого О шарнирно соединена с вертикальным валом; вал вращается с постоянной угловой скоростью со. Найти зависимость между « и углом отклонения ср, образованным направлением стержня длины а и вертикалью.

Р е ш е н и е

Введем вращающиеся вместе со стержнями координатные оси Ozy (см. рисунок). Применив принцип освобождаемости от связей, в шарнире О покажем реакции Z0 и 70 связей.

Согласно принципу Даламбера приложим силы инерции (см. решение задачи 41.21):

Точки приложения сил инерции — Dx и D2 соответственно. По принципу Даламбера приложенные внешние силы и силы инерции образуют уравновешенную систему сил. Для полученной плоской системы сил составим уравнение моментов относительно точки О:

XM0 (Fk ) = уmx gsinф- ~ m 2 g « к ф - j а Ф}1 совф+~ЬФ2 sinф = 0. (3)

Введем вращающиеся вместе со стержнем координатные оси Оху. Применив принцип осво-

бождаемости от связей, в шарнире О покажем реакции Z0 и Y0 связей (см. рисунок).

Согласно принципу Даламбера к стержням OA и ОБ приложим силы инерции (см. решение задачи 41.21):

Силы Ф," и Ф2Ц приложены в точках D\ и D2 соответственно. По принципу Даламбера приложенные внешние силы и силы инерции

образуют уравновешенную систему сил, для которой составим уравнение моментов относительно точки О:

42. Давление вращающегося твердого тела на ось вращения

Методические указания к решению задач

Для решения задач данного типа применяется принцип Даламбера. К телу, вращающемуся вокруг неподвижной оси, кроме активных сил и реакций опор прикладывают силы инерции этого тела и получают уравновешенную систему сил, для которой составляют необходимые уравнения статики. При этом находят полные реакции. Однако в ряде задач требуется определить только динамические реакции или давление на ось, что вызывается вращением неуравновешенной массы или тем, что ось вращения не является главной осью инерции. Поэтому при определении динамических давлений на ось возможны следующие способы решения задач.

1. Условие задачи позволяет определить по известным формулам силы инерции вращающихся масс и точки их приложения. Тогда к телу прикладывают силы инерции и динамические реакции и составляют необходимые уравнения равновесия. К этому типу задач относятся задачи, в которых к вертикальному либо горизонтальному вращающемуся валу с помощью невесомых стержней прикреплены точечные массы или однородные стержни.

Это наиболее простой способ решения, так как требуется только вычислить силы инерции и составить уравнения равновесия. При этом следует иметь в виду, что сила инерции стержня

Ф = -Мас

2,

приложена не в центре масс, а на расстоянии —I от оси вала враще-

ния (/ — длина стержня).

2. Для решения некоторых задач можно применить уравнения равновесия тела, вращающегося вокруг вертикальной или горизонтальной оси, на которое действуют силы инерции. Так, если тело вращается вокруг вертикальной оси, нижняя опора которой подпятник А, а верхняя — подшипник В, то в координатных осях Axyz, где

Если начало координат О выбрано посередине отрезка АВ, т.е. OA =ОВ = h, то в формулы (42.1)—(42.4) вместо Я нужно подставить 2h.

3. Этот способ предполагает использование тензора инерции. Главный момент инерционных сил относительно начала координат вычисляют по формуле

Если в системе координат Oxyz оси являются главными централь-

При вращении вала с постоянной угловой скоростью главный момент инерционных сил

векторное выражение (42.5) или (42.8) на оси координат и подставляя полученные выражения в уравнения равновесия вала в виде суммы моментов относительно осей Ох и Оу.

Главное достоинство этого способа — его универсальность. Он имеет явное преимущество тогда, когда известны главные оси инерции тела и нет необходимости вычислять центробежные моменты инерции.

Последовательность решения задач этого параграфа:

1. Выбрать систему координат Oxyz, если она не указана в условии задачи. При этом ось z направить по оси вращения тела, а оси х

иу — в соответствии с правой системой осей координат.

2.Показать активные силы, силы реакций опор и силы инерции вращающихся масс, а при определении динамических давлений на опоры только силы инерции и динамические реакции опор.