470 |
X. Динамика материальной системы |
Задача 42.13
Вычислить силы давления в подшипниках А и В при вращении вокруг оси АВ однородного тонкого круглого диска CD паровой турбины, предполагая, что ось АВ проходит через центр О диска, но вследствие неправильного рассверливания втулки составляет
с перпендикуляром к плоскости диска угол АОЕ = а = 0,02 рад. Дано: масса диска 3,27 кг, радиус его 20 см, угловая скорость соответствует 30 000 об/мин, расстояние АО = 50 см, ОВ = 30 см; ось АВ считать абсолютно твердой и принять sin2a = 2a.
Р е ш е н и е
Определим статические силы давления в подшипниках:
%МАЁк) |
= 0, |
RfAB~GA0 |
= 0; |
ХЛ4(Д) |
= 0, |
GOB-R%AB |
= 0, |
где G = mg. |
|
|
|
Откуда |
|
|
|
|
= 3,27-9,8-^ = 20,0 (Н), |
|
АВ |
оО |
|
=mg— |
= 3,27-9,8— = 12,01(H). |
АВ |
80 |
, |
Статические силы давления NA и NB рав- |
|
ны по модулю реакциям подшипников, т.е. |
|
Определим динамические силы давления |
|
в подшипниках: |
|
|
|
Ш =0, |
R*+B§ =0 => Л* = -RS-, |
X Mx(Fk) = 0, R§OB-R»AO- |
Jyz со2 = 0. |
42. Давление вращающегося твердого тела на ось вращения |
|
471 |
Вычислим центробежный момент инерции диска |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
тг2 |
Т |
тг2 |
|
|
радиус диска. |
|
|
где 1Ц = — ; |
/ „ |
= — ; |
|
|
|
Тогда |
|
|
/ mr |
тг2Л . „ |
|
тг |
|
|
|
|
^г ~ 2 |
a = |
sin2a. |
|
|
|
2~ |
- |
sin2i |
8 |
|
|
|
|
4 |
J |
|
|
|
Следовательно, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AO+OB |
- с о 2 mr2 sin2 a |
2mr2a (пп V |
|
|
|
|
8 AB |
|
8 AB V30J |
|
|
3,27-0,22-2-0,02 (3,14-30 ООО)2 = 8064 (H), |
|
|
|
|
8-0,8-302 |
|
|
|
|
|
|
|
|
R* = -R§ |
= -8064 H, |
|
|
где co = 7И30'
Динамические силы давления N* в подшипниках обратны по направлению реакциям Лд подшипников.
О т в е т : силы давления от веса диска: 12,01 Н на подшипник Л и 20,0 Н на подшипник В\ силы давления на подшипники, вызываемые вращением диска, имеют одинаковую величину 8,06 кН и противоположные направления.
Задача 42.14
В результате неточной сборки круглого диска паровой турбины плоскость диска образует с осью АВ угол а, а центр масс С диска не лежит на этой оси. Эксцентриситет ОС = а. Найти боковые силы динамического давления на подшипники А и В, если масса диска равна М, радиус его R, а АО = ОВ = h; угловая скорость вращения диска постоянна и равна со.
h |
х |
h |
, |
|
|
|
4 |
|
/ 1 |
в £ |
/УО/ I |
-£ |
и |
|
Г/а/ |
У к а з а н и е . Воспользоваться ответом к задаче 34.27.
472 |
X. Динамика материальной системы |
Р е ш е н и е
Согласно решению задачи 34.27 центробежные моменты инерции диска
у- lyi = 0,
мfR2
-+ а1 sin2a.
У
Определим дополнительные динамические реакции (см. рисунок):
Х* + Х§=-<й |
2Мхс-Мус, |
(О |
Yj.+Yj =-(й2Мус |
+ еМхс, |
(2) |
Y*h-Yih |
= |
®2In-iIxz, |
(3) |
Xih-X*h |
= |
-a2[xz-zIyz. |
(4) |
Так как <в= const, то е = 0; ус |
= 0 , хс |
= -ОС-cosa = |
-acosa. |
Тогда уравнения (1)-(4) примут вид |
|
|
X* + Xg = a2Ma |
cosa, |
(5) |
Yf+Yf=0, |
|
|
(6) |
YA4-Y#h=0, |
|
|
(7) |
X$h-X*h = -o»ifxz=-a2—(— |
|
+ a2)sm2a. |
(8) |
Решим совместно уравнения (6) и (7) и получим |
|
УA |
=Yi=°- |
|
|
Разделим уравнение (8) на h, полученное уравнение сначала сложим с уравнением (5), а затем вычтем его из уравнения (5):
Хё=- |
со2М |
sin2a |
К2 |
- a cosa |
2 |
2h |
— + а2 |
|
|
|
|
<о2М sin2a |
R2 |
+ a cosa |
|
2 |
2h |
|
|
|
|
42. Давление вращающегося твердого тела на ось вращения |
473 |
Силы динамического давления обратны реакциям подшипников,
Т.е. |
|
|
|
|
|
|
|
NBx=XB=-Xg, |
|
NAx=XA |
= |
-X* |
О т в е т : YA=YB= |
0; |
Х |
А = ~ |
R2 |
sin2 а |
|
|
2 h |
- + acosa ш2; |
Лкв = М |
R2 |
|
sin2a- - a cosa |
со2. |
|
|
|
|
2 h |
|
|
|
|
Задача 42.15
Однородный круглый диск массы М и радиуса R насажен на ось АВ, проходящую через точку О диска и составляющую с его осью симметрии Cz\ угол a. OL — проекция оси z, совмещенной с осью АВ, на плоскость диска, причем ОЕ = а, ОК - Ъ. Вычислить боковые силы динамического давления на подшипники А и В, если диск вращается с постоянной угловой скоростью со, а АО - ОВ = h.
У к а з а н и е . Воспользоваться ответом к задаче 34.28.
Р е ш е н и е
Из решения задачи 34.28 известно, что центробежные моменты инерции диска
IX7 - M\-R2 + а2 ]sinacosa.
Iyz = Mab sina.
Определим динамические реакции подшипников (см. рисунок):
XaA+X§=-(s?Mxc-zMyc, |
|
(1) |
Г? + Yi = -со2Мус + еМхс, |
(2) |
Y*h-Y£h |
= со2/, |
•e/v |
(3) |
|
'yz |
Xgh - X*h |
,v2j |
|
(4) |
= -co /^ - El y z . |
42. Давление вращающегося твердого тела на ось вращения |
475 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
О т в е т : X. |
|
1 |
|
|
•> |
|
М(\ |
|
7 |
+а1 |
Л |
со |
, |
sin2a; |
|
= — Л / я с о |
c o s a |
|
|
\-R |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 / i U |
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
I » |
= --A/aco2 cosa + |
|
— |
|
+ |
|
|
|co2sin2a; |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Ah U |
|
|
J |
|
|
|
|
|
v |
= |
Mb(, |
|
a . |
Л |
2 |
v |
|
|
Mb(, |
|
|
a . |
\ 2 |
|
2 |
|
1+—sina |
) |
со, |
YB- |
|
2 |
I |
1 — s i n a |
or |
|
|
V |
h |
|
|
|
|
|
|
h |
1 |
Задача 42.16
Однородная прямоугольная пластинка массы М равномерно вращается вокруг своей диагонали АВ с угловой скоростью со. Определить силы динамического давления пластинки на опоры А и В, если длины сторон равны а и Ь.
Р е ш е н и е
Для определения динамических реакций применим принцип Даламбера, считая, что расстояний между опорами АВ = *Ja2 +b2 (см. рисунок):
1П= О, |
Y*+Yi= |
|
0; |
(1) |
|
|
|
Х§ |
+ Х*= |
0; |
(2) |
|
|
1М_М) |
= 0, |
Yi |
л/a2 +b2 |
.,„ yla2 +b2 |
•a>2Iyz = 0; |
(3) |
|
|
ч - |
lMy(Fk) |
= 0, |
X» -Ja2 +b2 |
,,„Va2+i |
+ (02IXZ -0. |
(4) |
Так как ось Cx является главной осью инерции, то 1Х1 - 0. Решив совместно уравнения (2) и (4), получим
476 |
X. Динамика материальной системы |
Вычислим /г| и 1У :
Ма2
Тогда с учетом того, что
определим центробежный момент инерции пластинки
Iyz = |
- /г, )sin2a = (/У) - |
)sinacosa = |
rMa2 |
_ Mb2 \_J> |
а |
_ Mab(a2-b2) |
^ 12 |
12 JVPTP" л/^+Л2 |
12(а2 +Ь2) ' |
Решим совместно уравнения (1) и (3):
|
|
Y*+YBa=0, |
|
уд |
уд _ |
2(о2 |
_v?Mab |
а2-Ь2 |
* |
А 4 |
а |
1 6 |
( а 2 ^ 2 ) 3 ' 2 ' |
Сложим эти уравнения и получим
д_ МаЬ(й\а2-Ь2)
ВЩа2+Ь2)3'2 '
Тогда из уравнения (1) определим
АЩа2+Ь2)3/2 '
О т в е т : ХА=0, YA = |
Maba>2(a2 -b2) |
;; |
XB=Q,YB |
= |
МаЬ(й2(а2 -b2) |
|
12 (a 2 + b 2 ) 3 / 2 |
Ща2+Ь2)3/2 ' |
42. Давление вращающегося твердого тела на ось вращения |
477 |
Задача 42.17
С какой угловой скоростью должна вращаться вокруг катета АВ~а однородная пластинка, имеющая форму равнобедренного прямоугольного треугольника ABD, чтобы сила бокового давления на нижнюю опору В равнялась нулю? Расстояние между опорами считать равным длине катета АВ.
Р е ш е н и е
Чтобы динамическая реакция в опоре В была равна нулю, должно выполняться условие (см. рисунок):
YMA (Fd = 0, Ф ц й - ( ? 1 а = 0 . |
(1) |
Найдем силу инерции:
Фц =тас = j1таен2.
Определим положение линии действия силы инерции
А=1I л Ф„
где | МА | = (i>2IyZ = со2 т а
12 |
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
й = |
со2та2 |
3 |
а |
|
12 (й2та 4' |
Уравнение (1) примет вид |
|
|
|
|
|
таы |
а _ mga |
|
|
3 |
4 |
" I " |
' |
478 |
X. Динамика материальной системы |
Откуда |
|
с о 2 = ^ , |
fg |
а |
V а |
О т в е т : со = 2 J g / а . |
|
Задача 42.18
Вращающаяся часть подъемного крана состоит из стрелы CD длины L и массы Mh противовеса Е и груза К массы М2 каждый. (См. рисунок к задаче 34.31.) При включении постоянного тормозящего момента кран, вращаясь до этого с угловой скоростью, соответствующей /г = 1,5 об/мин, останавливается через 2 с.
Рассматривая стрелу как однородную тонкую балку, противовес с грузом как точечные массы, определить динамические реакции опор А и В крана в конце его торможения. Расстояние между опорами крана АВ = 3 м, М2 = 5 т, Му = 8 т, а = 45°, Х = 30м, / = 10м, центр масс всей системы находится на оси вращения; отклонением груза от плоскости крана пренебречь.
Оси х, у связаны с краном. Стрела CD находится в плоскости yz-
Указание. Воспользоваться ответом к задаче 34.31 (положив М2 -Мт).
Р е ш е н и е
Из решения задачи 34.31 знаем, что
|
Iху — fxz ~~ |
|
Iyz = |
+ V ЗА/| jr2 s i n 2 а _ |
s jn а |
Определим динамические реакции опор (см. рисунок):
|
|
|
|
|
X* + Х§ |
= -ь?Мхс |
- гМус, |
(1) |
У* +Y£= |
-со2 Мус |
+ гМхс, |
(2) |
-Yi АВ - |
yz - |
eJxz, |
(3) |
42. Давление вращающегося твердого тела на ось вращения |
479 |
M2g
Поскольку согласно условию центр масс крана находится на оси АВ, то хс - ус = 0. Динамические реакции необходимо определить в конце торможения крана, поэтому со=0. Найдем угловое замедление крана при торможении:
Так как со = 0, то |
|
со= coo + ef. |
|
|
|
|
|
|
|
|
СОр _ |
кп |
|
|
|
t |
~ |
301 |
|
С учетом этого уравнения (1)—(4) примут вид |
|
|
|
|
|
|
(5) |
|
|
Y*+Yf |
= О, |
(6) |
|
|
-Yf-AB |
= 0, |
(7) |
Х$-АВ = |
кп |
1 1Г М{ |
I'У sin2a - М\1Л sin a |
( 8 ) |
|
30? |
|
|
|
|
Решив совместно уравнения (7) и (6), получим
