Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1269 вузов, 4658 предметов.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Белорусский национальный технический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

doc2

.pdf
Скачиваний:
108
Добавлен:
31.05.2015
Размер:
14.26 Mб
Скачать
☆
V* Рис, 1

430

X. Динамика материальной системы

При равномерном движении а = О, следовательно,

или

п

О т в е т :

„ 4Mi-M2

а = 4g !

16Mi+M2

4М] -М2=0

Mi _ 1 М-2

Mx 1

— - = - .

М2 4

Задача 41.15

Гладкий клин массы М и с углом 2а при вершине раздвигает две пластины массы М\ каждая, лежащие в покое на гладком горизонтальном столе. Написать уравнение движения клина и пластин и определить силу давления клина на каждую из пластин.

Р е ш е н и е

Рассмотрим движение клина. Действующие на клин силы реакций пластин N (см. рис. 1) равны между собой, так как равны массы пластин. В результате клин будет двигаться вертикально вниз с некоторым ускорением а.

Мысленно остановим движение клина, добавив к действующим силам силу инерции Ф, противоположно направленную ускорению а.

На основании принципа Даламбера, действующая на клин систе-

ма сил находится в равновесии. Составим уравнение:

 

1 ^ = 0

 

или

 

Mg-<P+2Nsina = Q.

(1)

Ф -Ма.

(2)

41. Метод кинетостатики

Применив принцип Даламбера для правой пластины 1 (рис. 2), запишем уравнение: N

а

или

jVcosa-Ф, =0.

 

(3)

Сила инерции в этом случае

 

 

Ф

 

 

(4)

Из рис. 1 получим зависимость между а и й] :

ах = atga.

 

 

(5)

Из уравнения (3)

 

 

 

л г ~ * Ц

 

 

cosa

 

С учетом выражений (4) и (5)

 

 

N _

Miatga

 

 

cosa

 

Подставим выражения (6) и (2) в уравнение (1):

Mg-Ma+2Mxatg2

а = 0.

Откуда с учетом того, что

 

 

 

t g

2 a -

t g a

 

 

 

ctg a

 

определим

МAfctga

a = g-М+2М]Щ7а a Mctga+2M{tga

Закон движения клина:

at2

где ускорение a определяется по формуле (7). Для пластины (1) получим

где ах = atga.

431

Ф Г

i f

y b

Л/е. 2

(6)

(7)

432

X. Динамика материальной системы

Сила давления

„

О т в е т :

 

N

=

L

 

 

 

cosa

уравнение движения клина: s = at7 где

<з = g

М ctga

; уравнение движения пластин:

-

Mctga+2Af, tga

 

 

fll?2

*

 

Щ-

J] = ——, где flj = <зtga; сила давления TV = ——.

2

 

 

cosa

 

Задача 41.16

 

Груз А массы Ми

опускаясь вниз, при-

g r w k c

водит в движение посредством

нерастя-

жимой нити, переброшенной через не-

D

подвижный блок С, груз В массы М2. Оп-

ЙА

ределить силу давления стола D на пол,

ШШШ,WM

если масса стола равна М3. Массой нити

 

пренебречь.

 

 

 

Р е ш е н и е

 

 

 

Сначала рассмотрим механическую

 

систему, включающую стол D, блок С

 

и грузы А и В. Мысленно остановим дви-

 

жение грузов, добавив к действующим на

 

систему внешним силам силы инерции:

 

Ф) = - М , а ь Ф2 = -М2 а2 (рис. 1). Так как

 

по модулю a{=a2 = а, то

 

 

Ф\~M\a,

Ф2 = М2а.

(1)

Рис. 1

В соответствии с принципом Даламбера, полученная механическая система является уравновешенной. В частности, сумма проекций всех сил на вертикальную ось у будет равна нулю, и тогда

R-Mlg-MIg~M3g

+ Ф, =0,

(2)

где R — суммарная реакция со стороны пола на ножки стола.

41. Метод кинетостатики

Из уравнения (2) с учетом выражений (1) найдем

R = (Mi + М2 + Mi)g - М\ а.

(3)

Далее рассмотрим движение груза Л (рис. 2). На основании принципа освобождаемости от связей заменим действие нити ее натяжением ТА.

Применим принцип Даламбера и составим уравнение «равновесия» груза в проекции на ось у под действием силы тяжести M\g, силы инерции Ф| и силы ТА:

57/= о

или

 

ГА + Ф, •Mlg = 0.

( 4 )

Из уравнения (4)

 

TA=M1g-<t>l=M,g-M,a.

( 5 )

Рассмотрим движение груза В, на который действуют сила тяжести M2g, реакция N2 связи, сила инерции Ф2 и натяжение нити Тв (рис. 3).

Применим принцип Даламбера и составим уравнение* «равновесия» в проекции на ось х:

или

Г 5 - Ф 2 = 0 .

Откуда

ТВ=Ф2 = М2а.

(6)

Рассмотрим равновесие блока С, на который действуют силы натяжения ТА и Т&, а также реакции опоры Х0 и Y0 (рис. 4).

Составим уравнение моментов сил относительно центра О:

2М0= 0

или

- 7 > + 7 > = 0.

В

Ф,

%

(

•jl

\

433

Ф,

MJ

а

Рис. 2

М2ё Рис. 3

У

 

—.

 

о.

Хо\

X

Jr. J

 

T'a

Рис. 4

434 X. Динамика материальной системы

Откуда

г ; =

п

 

 

 

или

 

 

 

 

тА = тв.

(7)

Подставим выражения (5) и (6) в формулу (7):

 

откуда

Mxg-M\a

= М2а,

 

а = • Мх

 

 

 

 

(8)

 

Mi+М2' -8-

Подставим выражение (8) в формулу (3) и получим

 

 

 

М\

 

мх

+м2+м3--м { + м 2 _g-

 

Давление стола iVna пол равно суммарной реакции R, т.е. R = N.

О т в е т :

N = \МХ+М2 + М3-

М}

8-

Мх +М2

Задача 41.17

Груз А массы Ми опускаясь вниз по наклонной плоскости D, образующей угол а с горизонтом, приводит в движение посредством нерастяжимой нити, переброшенной через неподвижный блок С, груз В массы М2. Определить горизонтальную составляющую давления наклонной плоскости D на выступ пола Е. Массой нити пренебречь.

Р е ш е н и е

 

 

Покажем на рис. 1 силы инерции

ф

 

и Фг, которые надо приложить к движу-

 

щимся телам А и В:

 

 

Фi=M\a, Ф2 = М2а.

(1)

 

На основании принципа Даламбера за-

 

пишем условие «равновесия» механической

Рис. 1

41. Метод кинетостатики

системы под действием активных сил, реакции связей и сил инерции в проекции на ось х:

или

RE~ Ф] cosa = 0,

из которого с учетом выражений (1)

R£ - A/[acosa.

(2)

В соответствии с принципом Даламбера рассмотрим равновесие груза А под действием силы тяжести A/jf, натяжения нити ТА и силы инерции Ф, и составим уравнение «равновесия» в проекции на ось х\ (рис. 2):

14ч = MlS%ma- Тл -Ф, =0.

(3)

Откуда

 

ТА = Л/]£5та~Ф[ = Migsina~Mxa,

(4)

Далее рассмотрим равновесие груза В под действием силы тяжести M2g, натяжения нити Тв и силы инерции Ф2.

Составим уравнение «равновесия» в проекции

на ось

у (рис. 3):

 

 

2 ^ = 7 > - М 2 £ - Ф 2 = 0 .

(5)

Откуда

 

 

 

Тв = M2g + Ф2 = M2g + М2а.

(6)

Рассмотрим равновесие блока С под действием натяжений ТА и Тв нити и реакции оси блока. Х0 и Y0 (рис. 4).

Составим уравнения моментов относительно центра О:

435

V i

Рис. 2

Ф,

Рис. 3

Рис. 4

436

X. Динамика материальной системы

Откуда

 

или

 

ТА = ТВ.

(7)

Подставим выражения (4) и (6) в равенство (7):

М\ gsin а - Л/) а = M2g + М2а,

откуда найдем

 

 

а = — !

1 g .

(В)

 

 

Мх +М2

 

 

 

Подставим выражение (8) в формулу (2) и найдем

 

 

D

M s i n a - A f ?

cosa,

 

 

Re

= Mxg—~——-i

 

 

 

 

Mx + M2

 

 

 

равное давлению клина на выступ, т.е. N = RE.

 

л

к! I/ АЛ sin a - . Mi

 

 

 

О т в е т :

N = Mxg—' Мх +М2 ±-cosa.

 

 

 

Задача 41.18

Однородный стержень массы М и длины / вращается с постоянной угловой скоростью и вокруг неподвижной вертикальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец. Определить растягивающую силу в поперечном сечении стержня, отстоящем от оси вращения на расстоянии а.

Р е ш е н и е

Выделим из стержня на расстоя- Щ нии а от оси вращения.и рассмотрим заштрихованный участок (см. рисунок). В выделенном участке возникает сила S, представляющая собой силу взаимодействия между рассматриваемым участком и остальной частью стержня.

ф„

ш

О + а)/2

_L

41. Метод кинетостатики

437

Согласно принципу Даламбера к выделенному участку приложим центробежную силу инерции Фц и составим уравнение «равновесия» в проекции на ось х.

1 ^ х

= Ф ц - 5 = 0 .

(1)

Центробежная сила инерции

 

Ф ц

= М | Д ц .

(2)

Определим массу выделенной части стержня:

I

и центростремительное ускорение центра масс С этой части стержня:

 

 

 

l + а

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставим найденные значения в выражение (2) и из уравне-

ния (1) определим

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

s

M(I2-a2W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

21

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Сила S численно равна растягивающей силе F, т.е. F

-S.

 

 

_

„

M{l2-a2W

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

О т в е т : F - — -

21 - — .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача 41.19

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Однородная прямоугольная пластинка мас-

 

 

 

 

 

 

сы М равномерно вращается вокруг

в е

р

т

и к

а

л

ь -

—

г

ной оси с угловой скоростью со. Определить силу,

 

 

 

 

 

 

разрывающую пластину в направлении,

п

е

р

п

е

н

-

I

дикулярном оси вращения, в сечении, проходя-

 

 

 

 

 

 

щем через ось вращения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Р е ш е н и е

Мысленно разрежем пластину по оси вращения и рассмотрим правую полупластинку (см. рисунок). Приложим силу 5 , которая будет равнодействующей сил взаимодействия отброшенной и рассматриваемой полупластины.

438

 

 

 

 

 

 

 

X. Динамика материальной системы

В результате вращения полупластины с по-

У'

стоянной угловой скоростью возникает центро-

о.

бежная сила инерции:

 

 

 

 

 

 

C_DW

-

М

ц

М а 2

Ма

2

.

 

Ф „ = — а £ =

 

2

or =

4

со

 

 

2

 

 

2

 

 

 

Согласно принципу Даламбера составим урав-

 

нения «равновесия» в проекции на ось х:

 

откуда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 = Ф„

 

Ма со2.

 

 

 

 

Сила, разрывающая пластину, равна силе S.

О т в е т : Мао?/4.

Задача 41.20

Однородный круглый диск радиуса R и массы М вращается с постоянной скоростью со вокруг своего вертикального диаметра. Определить силу, разрывающую диск по диаметру.

Р е ш е н и е

Мысленно разрежем диск по диаметру и рассмотрим правый полудиск (см. рисунок). Приложим силу S, которая будет равнодействующей сил взаимодействия отброшенного и рассматриваемого полудиска. В центре масс С полудиска приложим центробежную силу инерции. Так как угловая скорость вращения постоянна, то

^

м

ц

М 2

,

Фц = у Я с

= у*с<о 2

где х с : 4R

41. Метод кинетостатики

 

439

Тогда

 

 

.

М 4R 2

2 MR 2

Фц =

(0 =

(0 .

ц

2 Зтс

3 п

Согласно принципу Даламбера составим уравнения «равновесия» в проекции на ось х:

Откуда

„ .

2MR

2

5 = Ф

Ц = — — с о 2 .

 

Зя

 

Сила, разрывающая пластину, равна силе S.

О т в е т : 2MR(02 . Зя

Задача 41.21

Тонкий прямолинейный однородный стержень длины I и массы М вращается с постоянной угловой скоростью со около неподвижной точки О (шаровой шарнир), описывая коническую поверхность с осью OA и вершиной в точке О. Вычислить угол отклонения стержня от вертикального направления, а также величину Л'давления стержня на шарнир О.

Р е ш е н и е

Свяжем подвижную систему отсчета — оси х и у — так, чтобы стержень лежал в плоскости Оху. Покажем на рисунке действующие на стержень внешние силы: силу тяжести, силу реакции шарнира.

Согласно принципу Даламбера добавим к этим силам силу инерции стержня. Так как

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности