Математическое приложение 5-2

Можно выразить точечную эластичность спроса по цене через производные. Предположим, требуется определить Е^D_pв точке А кривой спроса на рис. 5-13:

Тогда при бесконечно малом измененииР «скорость» изменения Q будет dQ/dP и формула примет вид:

Коэффициент ценовой эластичности спросав точке можно определить по уравнению функции спроса.Линейное уравнение имеет вид: Q^D = a – bP (например,Q^D = 10 – 2P). Коэффициент bпоказывает, на сколько единиц изменяется величина спроса при изменении цены на 1 рубль (в нашем примере b = - 2, что означает, что каждый раз, когда цена изменяется на 1 рубль, величина спроса изменяется в противоположном направлении на 2 единицы). То есть -b = -∆Q/∆Р =наклону кривой спроса.

Тогда, подставив b в уравнение (3) получим:

Пример.

Пусть функция спроса описывается уравнением: Q^D = 10 – 2P. Определить ценовую эластичность спроса при Р^* = 4.

Решение:

Подставим в уравнение (5) все данные, получим:

-----------------------------------------------------------------------------------------------

Измерение точечной эластичности спроса геометрическим способом («правило РАРО»). Есть простой способ измерения эластичности в любой точке кривой спроса с помощью линейки. Этот способ известен как «правило РАРО» (PAPO rule).

Правило РАРО гласит: чтобы определить точечную эластичность нужно измерить расстояние от точки до абсциссы, РА (point – abscissa), и расстояние от точки до ординаты, РО (point – ordinate), а затем отнести первое ко второму, то есть Е^D = РА/РО.

Выведем правило, используя рис. 5-14. Определим эластичность в точке С.

Так как АОВ и СЕВ – подобные треугольники, то

и

Но

(при пересечении сторон угла параллельными прямыми по сторонам угла отсекаются пропорциональные отрезки).

И, следовательно

СВ – это расстояние от точки, в которой измеряется эластичность, до абсциссы (РА), а СА – это расстояние от той же точки до ординаты (РО).

На рис. 5-14 РА= 5,5 см., а РО = 4 см. Следовательно, Е^D= 5,5:4 = 1,375.

Правило РАРО универсально.Оно позволяет определить эластичность спроса по цене, доходу, перекрёстную эластичность спроса, эластичность предложения. Правило применимо и тогда, когда линии спроса и предложения являются кривыми. В этом случае отрезкиРА и РО находятся на касательной, проведённой через интересующую нас точку на кривой спроса или предложения (примеры приведены на рис. 5-15).

На рис. 5-15а спрос в точке Р имеет единичную эластичность по цене (РА=РО). На рис. 5-15b ценовая эластичность предложения в точке Р меньше единицы (PA<PO), то есть предложение неэластично. На рис. 5-15с перекрёстная эластичность спроса на товар Х по цене товара У больше единицы (PA>PO), то есть спрос эластичен. На рис. 5-15d спрос на низший товар Х эластичен по доходу У (PA>PO).

Эластичность нельзя отождествлять с наклоном кривой спроса (наклон линии представляет собой отношение горизонтального изменения к вертикальному, то есть -∆Q/∆Р . Рассмотрим рис. 5-16. В каждой точке кривой спроса наклон одинаков. Поэтому в формуле (5) - b является постоянной величиной. В то же время отношение P/Q при движении по кривой спроса меняется. Поэтому эластичность в разных точках кривой спроса будет разной. Применим «правило РАРО» для расчёта коэффициента эластичности. В точке А эластичность равна бесконечности (= АЕ/0). В точке В эластичность больше 1 ( = ВЕ/АВ). В точке С, которая находится в середине кривой спроса эластичность равна единице (так как СЕ = СА, то СЕ/СА = 1). В точке D она меньше единицы (= DE/DA). И наконец, в Е эластичность равна 0 (= 0/AE).

Рис. 5-16 показывает, почему некорректно говорить об «эластичности кривой спроса», считая что пологая кривая спроса демонстрирует эластичный спрос, а крутая – неэластичный спрос. Исключением являются три случая:

1. горизонтальная кривая спроса (эластичность в каждой точке равна бесконечности);

2. вертикальная кривая спроса (в каждой точке эластичность равна нулю);

3. кривая спроса, имеющая форму равносторонней гиперболы;

Впоследнем случае кривая описывается уравнением обратной пропорциональности:

гдес – есть некоторая постоянная величина.

Применительно к функции спроса уравнение выглядит:

Тогда, учитывая, чтос – это коэффициент при цене, который мы раньше обозначали как b, получим:

Следовательно, кривая спроса, имеющая форму равносторонней гиперболы, имеет единичную эластичность (в любой её точке эластичность спроса по цене равна –1).

Почему эластичность спроса по цене для разных товаров различна? Основные факторы, определяющие эластичность:

1. Наличие доступных товаров-субститутов. Чем больше таких товаров, тем больше эффект замещения при изменении цены данного товара и тем эластичнее спрос.

2. Доля расходов на товар в бюджете потребителя. Чем она больше, тем больше эффект дохода и тем эластичнее спрос. Это зависимость помогает понять, почему при высоких ценах (в верхней части кривой спроса) спрос эластичен, а при низких ценах (нижняя часть кривой спроса) неэластичен. Более высокая цена означает большую долю в расходах потребителя при фиксированном бюджете.

3. Направление эффекта дохода. В случае нормальных товаров эффект дохода усиливает эффект замещения и спрос становится эластичнее. Для низших товаров эффект дохода ослабляет действие эффекта замещения и спрос поэтому менее эластичен.

4. Время, прошедшее после изменения цены. Чем продолжительнее этот период, тем больше возможности у потребителя найти замещающие товары и тем эластичнее спрос.

Эластичность и доходы продавцов (расходы покупателей) Оченьважно в практическом отношении знать, как поведёт себя выручка (доход) с изменением рыночной цены. Если цена, к примеру, растёт, то выручка может увеличиться, а может и уменьшиться. Так, повышение средней цены на зерно в России в 2003 году с 2,5 тыс. до 4,5 тыс. руб. за тонну улучшило положение сельхозпроизводителей, увеличив их доходы. В то же время повышение платы за проезд в муниципальном транспорте города Томска в 2003 г. с 3,5 до 4,5 рублей привело к тому, что выручка у Трамвайно-троллейбусного управления значительно упала.

Поскольку выручка определяется как произведение цены товара на количество проданного товара (ТR = P·Q), то результат зависит от того будет ли процентное изменение количества больше или меньше процентного изменения цены, то есть от ценовой эластичности спроса. Так, если цена повысится на 10 %, а физический объём продаж вследствие этого сократится на 20 % (эластичность спроса по цене равна 2,0 – спрос эластичен), то выручка уменьшится.

Общее правило таково: при эластичном спросе доходы (расходы) изменяются в направлении противоположном изменению цены. При неэластичном спросе доходы (расходы) изменяются в том же направлении, что и цена. В случае единичной эластичности доход не изменяется.

Все возможные случаи отражены в таблице 5-1.

Эластичность спроса по цене, │ED│	Цена повышается	Цена понижается
Эластичный спрос (>1)	TR падает	TR растёт
Единичная эластичность (=1)	TR не меняется	TR не меняется
Неэластичный спрос (<1)	TR растёт	TR падает

На рис. 5-17 показана связь между общим доходом (расходами) и ценовой эластичностью спроса. Предположим, что цена товара всё время понижается, и мы движемся по кривой спроса (на верхнем рисунке) вниз из точки А в точку В. На отрезке АС, где спрос эластичен, снижение цены будет перекрываться ещё большим ростом (в процентном отношении) величины спроса. Общий доход, следовательно, будет расти (участок ас на нижнем рисунке). На участке СА, где спрос неэластичен дальнейшее снижение цены вызывает уже меньший рост (в процентном отношении) спроса, и доход падает (участок сb). В точке С, где эластичный спрос переходит в неэластичный (эластичность равна единице) доход перестаёт расти, достигая максимума при объёмеQ₂.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------