Математическое приложение 5-1

Потребительский излишек, как площадь под кривой спроса, лежащую выше линии цены, можно определить с помощью интегрального исчисления. Особенно этот метод полезен в случае нелинейной функции спроса.

Продемонстрируем возможности метода на простом примере. На рис. 5-1 изображена функция спроса P = f(Q), уравнение которой:

Обозначим цену, по которой потребитель покупает товар Х (руб. за единицу) какР^*, а количество товара, которое он покупает (единиц в неделю) как Q^*. Тогда потребительский излишек, как площадь заштрихованного треугольника, на рис. 5-1 будет:

Поскольку в нашем примереР^*=15, а Q^*=6, то:

Так как здесь мы имели дело с линейной функцией, то этот результат, конечно, легче было получить геометрическим способом (см. пояснения к рис. 5-1). В случае же нелинейной функции спроса рассчитать CS без методов интегрального исчисления невозможно.

---------------------------------------------------------------------------------------------------

2. Подход Хикса. Компенсирующая и эквивалентная вариации дохода

Все же положение о том, что сумма, которую действительно платят за товар потребители, ниже удовлетворения, которое они от этого товара получают, оказалось слишком важным, чтобы отбросить его из-за проблемы измерения. Дж. Хикс, продолжил исследование и предложил несколько способов измерения потребительского излишка, позволяющих избавиться от искажающего эффекта дохода.

Первый способ измерения получил название компенсирующей вариации дохода (CV – compensating variation). Компенсирующая вариация дохода показывает сколько денег следует дать потребителю после изменения цены, чтобы его благосостояние осталось точно таким же, каким оно было до изменения цены. Предположим, цена товара повысилась. Естественно, что это, при прочих равных условиях, ухудшает положение потребителя. Насколько? Размеры потери в благосостоянии можно определить, если спросить у потребителя, при какой минимальной сумме компенсации он согласился бы покупать по новым ценам. Ответ (разумеется, честный) на этот вопрос и даст величину компенсирующей вариации дохода.

На языке геометрии CV – это ответ на вопрос, как сильно мы должны сдвинуть новую бюджетную линию АС (наклон линии равен новой, более высокой цене) вверх, чтобы она стала касательной к кривой безразличия U₁ (см. рис. 5-3). Исходное равновесие потребителя в точке Е₁ лежит на бюджетной линии АВ. Повышение цены товара Х поворачивает бюджетную линию в положение АС. Благосостояние потребителя падает – он переходит на более низкую кривую безразличия U₀. Чтобы восстановить благосостояние потребителя при новой цене (вернуть его на кривую безразличия U₁) нужно увеличить его денежный доход на величину CV (сдвинуть линию АС вверх в положение пунктирной линии так, чтобы она коснулась U₁). Тогда потребитель, получивший компенсацию CV будет иметь доход достаточный для того, чтобы купить новый оптимальный набор Е′, равноценный набору Е₁. Какова же потеря потребительского излишка от повышения цены? Она точно равна величине компенсирующей добавки CV.

Второй способ измерения потребительского излишка – эквивалентная вариация дохода, EV (equivalent variation). В этом случае об изменении потребительского излишка, судят по тому, сколько денег следовало бы забрать у потребителя до изменения цены, чтобы его благосостояние было точно таким же, каким оно стало после изменения цены. Эта мера называется эквивалентной вариацией дохода, потому что она представляет собой изменение дохода, которое с точки зрения полезности, эквивалентно последствиям изменения цены. Чтобы определить EV нужно спросить у потребителя, какую максимальную сумму он согласился бы отдать за то, чтобы избежать изменения цены, то есть отдать за возможность покупать товар по старым ценам.

Геометрически найти EV значит определить, насколько мы должны сдвинуть исходную бюджетную линию вниз (при повышении цены), чтобы она коснулась той кривой безразличия, на которой окажется потребитель после изменения цены.

На рис. 5-4 первоначально потребитель находится в равновесии в точкеЕ₁. Повышение цены товара Х, меняет бюджетное ограничение для потребителя с АВ на АС и побуждает его выбрать новый оптимальный набор Е₂, находящийся на более низкой кривой безразличия U₀. Потеря в благосостоянии для потребителя эквивалентна той денежной сумме, которую он максимально готов отдать за возможность покупать товар по старой цене. Если бы его доход уменьшился на величину AF при сохранении старой цены (графически – это сдвиг бюджетной линии АВ вниз в положение пунктирной линии), то он выбрал бы набор Е′, полезность которого для него точно равнялась бы полезности набора Е₂. Таким образом потребителю было бы всё равно – покупать ли по новой, более высокой цене и прежнем доходе ОА набор Е₂, или покупать по старой, более низкой цене и уменьшенном доходе ОF набор Е′. Следовательно за возможность покупать товар по старой цене потребитель готов отдать сумму не превышающую AF. Эта сумма и представляет собой эквивалентное изменение (вариацию) дохода, EV.

Обе версии измерения потребительского излишка теоретически правомерны и могут использоваться в решении проблем социально-экономической политики. Если речь идёт о том, чтобы компенсировать потерю благосостояния потребителям в связи с возросшими ценами на какие-либо товары, целесообразно использовать концепцию компенсирующей вариации дохода. Если решается вопрос о том, на какие товары повышать косвенный налог, и правительство желает сделать это с меньшими потерями для благосостояния потребителей, тогда более уместна концепция эквивалентной вариации дохода.

Впрочем, существует одно серьёзное препятствие – информация, необходимая для расчёта EV и CV, практически недоступна. Кривые безразличия являются полезными аналитическими инструментами, помогающими нам понять человеческое поведение, но было бы серьёзной ошибкой думать о них как о вещах, которые можно обнаружить и измерить. В действительности у нас нет точных данных не только о предпочтениях других людей, но даже и о собственных предпочтениях. В этом смысле подход А. Маршалла к определению потребительского излишка на основе обычной кривой спроса практически более приемлем. Но насколько он правомерен?

Современный потребитель, как правило, распределяет свой доход среди большого количества разных товаров, да и изменения относительных товарных цен обычно незначительны. Поэтому эффект дохода, возникающий при изменении цен отдельных товаров часто столь мал, что им можно пренебречь. Поэтому величина потребительского излишка по Маршаллу (как площадь под обычной кривой спроса) почти не отличается от потребительского излишка рассчитанного по Хиксу (EV ,СV и как площадь под кривой спроса с компенсированным доходом). Вот почему современные экономисты в подавляющем большинстве случаев отдают предпочтение подходу Маршалла.

3. От индивидуального спроса к рыночному спросу

Мы вывели кривую индивидуального спроса и объяснили с помощью эффектов дохода и замещения её отрицательный наклон. Но в большинстве исследований используется кривая рыночного спроса.

Мы видели также как поведение отдельного потребителя определяет кривую спроса, то есть связь между ценой, по которой он мог бы купить товар, и количеством, которое он решает купить. На большинстве рынков все потребители покупают товар по одной цене, поэтому можно говорить о единой рыночной цене и единой кривой спроса, представляющей общий спрос всех потребителей на данный товар как функцию его цены. Так как общее количество, на которое предъявляется спрос при любом уровне цены это количество которое хочет купить первый потребитель по данной цене плюс количество, которое хочет купить второй потребитель по данной цене плюс ... то кривая рыночного спроса представляет собой горизонтальную сумму всех индивидуальных кривых спроса, как показано на рис. 5-6.

Предположим на рынке действуют три покупателя, спрос каждого из которых представлен на графике линейной кривой спроса d₁, d₂ и d₃ .

Покажем сначала, как можно сложить кривые индивидуального спроса геометрически. Затем рассмотрим алгебраическое решение задачи.

Поскольку все функции индивидуального спроса линейны, постольку сложение их даёт тоже линейную функцию рыночного спроса. Но полученная линия будет ломаной, состоящей из нескольких отрезков, каждый из которых соответствует определённому диапазону изменения цены. Найдём критические точки, соединив которые мы получим эту ломаную кривую.

При рыночной цене Р₃ величина спроса на рынке равна 0, так как ни один из потребителей не готов покупать по этой цене даже единицу товара Х (D = d₁+d₂+d₃ = 0+0+0 = 0). Мы получили первую точку на кривой рыночного спроса, а с координатами (0,Р₃).

В диапазоне цены между Р₃ и Р₂ единственным покупателем товара является 3-й потребитель. Рыночный спрос при цене Р₂ равен: D = d₁+d₂+d₃ = 0+0+2 = 3. Координаты второй точки кривой рыночного спроса, b – (2,P₂). Поэтому в этом ценовом диапазоне рыночная кривая спроса совпадает с d₃ на участке ab.

В ценовом диапазоне Р₂ – Р₁ спрос предъявят 1-й и 3-й потребители. При цене Р₁ величина рыночного спроса составит D = d₁+d₂+d₃ = 3+0+8 = 11. Координаты с - следующей точки кривой рыночного спроса – (11,Р₁). Соединив прямой линией точки b и c, получим участок кривой рыночного спроса bc.

Наконец, при Р=0 все три потребителя предъявят спрос: D = d₁+d₂+d₃ = 5+8+12=25. Соединив прямой линией точку f (25,0) с точкой с, получим последний участок кривой рыночного спроса сf.

Как получить уравнение функции рыночного спроса, если известны уравнения функций индивидуального спроса?

Изображённые на рис. 5-6 функции индивидуального спроса, описываются уравнениями:

Спрос 1-го потребителя: Q₁ = 5 – 0,5P; (1)

Спрос 2-го потребителя: Q₂ = 8 – 2P; (2)

Спрос 3-го потребителя: Q₃ = 12 – P (3)

Для того, чтобы определить какой будет величина совокупного спроса при любом уровне цены на рынке, нужно алгебраически сложить уравнения индивидуального спроса: Q^d_рын. = Q₁ + Q₂ + Q₃.

Однако простое решение: Q^d_рын = 25 – 3,5Р, было бы ошибочным, поскольку оно не учитывает того, что в некоторых ценовых диапазонах рыночный спрос состоит из спроса не всех, а только отдельных потребителей. Поэтому при суммировании приходится эти диапазоны учитывать. Определим их.

Из уравнения (3) найдем, что при Р ≥ 12 спрос 3-го потребителя будет равен нулю (на рис. 5-6 Р₃ =12). Из уравнения (2) следует, что если Р≥ 10, то спрос 2-го потребителя равен 0 ( на рис. 5-6 этому уровню цены соответствует Р₂. Из уравнения (1) находим, что при Р≥ 4 спрос 1-го потребителя тоже равен 0.

Следовательно, если 10 ≤ Р ≤ 12, то рыночный спрос состоит только из спроса 3-го потребителя. В этом ценовом диапазоне уравнение функции рыночного спроса представлено только уравнением (3): Q^d_рын = Q₃ = 12 – P.

В диапазоне 4 ≤ Р ≤ 10 спрос на рынке предъявляют 3-й и 1-й потребители. Поэтому на этом участке рыночный спрос: Q^d_рын. = Q₁ + Q₃ = (5 – 0,5Р) + (12 – Р) = 17 – 1,5Р.

Наконец, если 0 ≤ Р ≤ 4, то Q^d_рын. = Q₁ + Q₂ + Q₃ = (5 – 0,5Р) + (8 – 2Р) + (12 – Р) = 25 –3,5Р.

Понятно, что кривая рыночного спроса, являясь горизонтальной суммой нисходящих индивидуальных кривых спроса, также имеет отрицательный наклон. Даже, если некоторые потребители имеют восходящую кривую спроса, то они не делают погоды на данном рынке, так как подавляющее большинство покупателей имеют нормальные, нисходящие кривые спроса. Это ещё одна причина, по которой мы можем не беспокоиться о товаре Гиффена в дальнейшем анализе.

Есть несколько интересных случаев, когда рыночный спрос формируется не как простая сумма спроса отдельных покупателей. Эти случаи – так называемый «эффект повального увлечения» (bandwagon effect), «эффект сноба» и «эффект Веблена».

Эффект повального увлечения состоит в том, что когда цена товара падает и спрос на него возрастает, отдельные покупатели, желая «быть не хуже других», или не «отстать от моды», также увеличивают свой спрос. Примерами могут служить спрос на гротескно тупоносую обувь, спрос на мобильные телефоны, спрос молодых людей на пиво, которое можно распивать идя по улице, и т.п. В результате спрос расширяется в большей, чем прогнозировалось степени за счёт дополнительных покупателей. Это означает, что рыночная кривая спроса не может быть просто суммой индивидуальных кривых спроса. Она будет иметь более пологий уклон, чем тот который имел бы место без описанного эффекта. На рис. 5-7 линия D₁ – это кривая рыночного спроса как горизонтальная сумма спроса всех потребителей, каждый из которых считает, что на рынке будет продано Q₁ единиц (точка а). Если цена упадёт до Р₂, то эффекты дохода и замещения, как предсказывает линия D₁, приведут к росту величины спроса до Q₂ (точка b). Q₂ больше, чем Q₁. Люди увидят, что рыночные продажи больше, чем они ожидали. Они «присоединятся к толпе». Линия D начнёт сдвигаться вправо. Если цена будет оставаться на уровне Р₂, этот сдвиг прекратится, когда линия спроса достигнет положения D₂. Точка с показывает, какими действительно будут продажи (Q₃ по цене Р₂₎. Соединив точки а и с, получим кривую рыночного спроса, учитывающую эффект повального увлечения. Эта кривая будет более пологой, чем обычная кривая спроса.

Эффект сноба заключается в том, что при снижении цены на товар, когда некоторые группы общества расширяют потребление этого товара, другие группы снижают его, чтобы «выделиться из толпы». Этот эффект противоположен эффекту повального увлечения. Рыночная кривая спроса в этом случае может демонстрировать больший наклон, чем тот который может быть предсказан при прямолинейном агрегировании индивидуальных кривых спроса.

На рис. 5-8 прогнозируемый потребителями спрос (в соответствие с агрегированной кривой рыночного спроса D₁) составляет Q₁. При снижении цены до Р₂ спрос Q₂ оказывается большим, чем ожидаемый Q₁. Некоторые потребители, чтобы «не быть как все» сокращают свой спрос ( кривая D₁ сдвигается влево). Если цена на рынке остаётся на уровне Р₂, то кривая спроса будет сдвигаться до положения D₂, и объём спроса составит Q₃. Соединив прямой линией две точки – а и с, получим рыночную кривую спроса, более крутую, чем кривые, не учитывающие эффект снобизма.

Если бы эффект снобизма по своей величине превосходил эффекты дохода и замещения, то величина рыночного спроса с понижением цены стала бы меньше Q₁ (на графике точка с находилась бы левее и ниже точки а как на рис. 5-9). Тогда кривая рыночного спроса приобрела бы положительный наклон. Но это невозможно, так как низкий рыночный спрос побудил бы снобов покупать больше.

Эффект Веблена (эффект престижного потребления) названный по имени открывшего его американского экономиста и социолога Торстейна Веблена (1857-1929) возникает тогда, когда в результате падения цены товара некоторые потребители решают, что это произошло из-за ухудшения его качества или утери им «исключительности» в глазах общества, и сокращают потребление этого товара. И наоборот, рост цены товара ведёт к увеличению покупок. Вследствие этого рыночная кривая спроса приобретает более крутой наклон, чем прогнозируемый (как на рис. 5-8). Она может даже стать восходящей(то есть иметь положительный наклон), что противоречит закону спроса.

Предположим, что цена товара падает с Р₁ до Р₂ (рис. 5-9). В отсутствие эффекта Веблена, это привело бы к движению вниз вдоль агрегированной кривой спроса D₁ из точки а в точку b. Под действием эффекта дохода и замещения величина спроса увеличилась бы с Q₁ до Q₂. Однако потребители, ожидавшие, что цена товара будет Р₁, снижение цены могут воспринять как свидетельство того, что данный товар перестал быть престижным, и они захотят сократить его потребление (сдвиг кривой D в положение D₂). Величина спроса поэтому при цене Р₂ понизится до Q₃. В результате кривая рыночного спроса, проведённая через точки a и с, будет иметь необычный положительный наклон.

Но эффект Веблена возможен только в ограниченном ценовом диапазоне. При достаточно высокой цене (выше p₁) потребители столкнутся с бюджетными ограничениями и не смогут позволить себе «демонстративное потребление. Тогда кривая рыночного спроса приобретёт нормальный отрицательный наклон.

При достаточно низкой цене (ниже р₁) каждый может себе позволить покупать данный товар и этот товар станет малоподходящим объектом для престижного потребления. Эффект Веблена в отношении такого товара вообще не возникнет. Поэтому кривая рыночного спроса с эффектом Веблена напоминает букву Z.

4. Обратная функция спроса

В микроэкономическом анализе часто используется обратная функция спроса. В этом случае цена представляется как функция величины спроса: Р = g(Q). Преобразовать обычную, прямую функцию спроса в обратную очень просто. Предположим дана функция : Q = 13 – 2Р. Обратная функция спроса тогда будет: Р = 6,5 – 0,5Q. На графике обратная функции спроса выглядит точно так же как прямая функция (рис. 5-10). Обратная функция спроса показывает какой должна быть рыночная цена товара Р, для того чтобы спрос на него составил Q единиц. В то же время было бы ошибкой считать, что это функция говорит о том, что величина спроса определяет рыночную цену. Каков же тогда экономический смысл обратной функции спроса?

Мы уже доказывали, что кривая индивидуального спроса совпадает с кривой предельной ценности. Потребитель будет увеличивать потребление блага до тех пор, пока не достигнет точки в которой предельная ценность единицы блага равна его цене. Так на рис. 5-10, если рыночная цена блага Х равна 5 рублям, и предельная ценность для потребителя 1-й, 2-й и 3-й единиц блага составляют соответственно 6, 5,5 и 5 руб., то он приобретёт три единицы. Так как он будет делать это при любой заданной цене, то график того, сколько он будет покупать при любой цене – то же самое, что график предельной ценности (MV). Но предельная ценность единицы блага зависит от количества потребляемого блага. Следовательно, обратная функция спроса – это, по сути, функция предельной ценности. Она отражает то обстоятельство, что с увеличением количества потребляемого блага предельная полезность, а следовательно и предельная ценность блага для потребителя падает. Ранее мы установили также, что высота кривой спроса в любой её точке равна предельной норме замещения. Следовательно, обратная функция спроса показывает предельную норму замещения, или предельную готовность потребителя платить за товар, или предельную ценность товара для потребителя. Всё это суть одно и то же.

Суммирование обратных функций индивидуального спроса отличается от суммирования прямых функций спроса и по смыслу и технически. Агрегированная обратная функция спроса показывает какова общая для всех потребителей (суммарная) ценность каждой единицы блага. Здесь уже складываются не количества блага, а предельные ценности. Поэтому сложение обратных функций индивидуального спроса нужно производить по вертикали, а не по горизонтали. Эта операция будет иметь экономический смысл в том случае, если благо потребляется индивидами совместно. Такие экономические блага существуют и называются общественными благами. Обратная функция спроса нам очень пригодится в теории общественных благ, которую мы рассмотрим в конце курса.

5. Эластичность спроса по цене: углубление анализа

Анализируя поведение потребителя, мы обосновали закон спроса. Если цена на товар растёт, то, ceteris paribus (при прочих равных условиях), величина спроса на этот товар на рынке уменьшается, и наоборот. Но вот на сколько? Это зависит от чувствительности спроса к изменению цены, то есть от ценовой эластичности спроса. Знание эластичности спроса по цене имеет большое практическое значение. В правильной оценке эластичности спроса заинтересованы и фирмы, и правительство.

Напомним, что для измерения эластичности используетсякоэффициент эластичности спроса (E^D), который в самом общем виде представляет собой отношение процентного изменение величины спроса к процентному изменению цены:

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменится спрос, если цена изменится на 1 %. Поскольку цена и величина спроса изменяются (по закону спроса) в противоположном друг другу направлении, постольку коэффициент эластичности имеет знак «минус» , который, впрочем, экономисты по молчаливому соглашению часто опускают. К примеру, | Е^d | для электроэнергии равняется 0,13 – это значит, что если тариф на электроэнергию повысится на 1 % , то спрос на неё понизится на 0,13 %. Если тариф повысится на 10 %, то спрос понизится на 1,3 % и т.д.

Напомним также, что в зависимости от степени чувствительности спроса к изменению цены можно выделить пять видов эластичности:

1. Эластичный спрос. Покупатели чувствительны к изменению цены. Спрос в процентном отношении изменяется больше, чем цена, то есть для эластичного спроса | Е^d | > 1,0;

2. Неэластичный спрос. Покупатели нечувствительны к изменению цены. Спрос в процентном отношении изменяется меньше, чем цена, то есть для эластичного спроса | Е^d | < 1,0;

3. Единичная эластичность спроса. Спрос в процентном отношении изменяется так же как цена, то есть для этого вида спроса | Е^d | =1,0;

4. Совершенно эластичный спрос. Покупатели гиперчувствительны к изменению цены. Например, при ничтожно малом повышении цены спрос стремится к бесконечно малой величине. Для этого вида спроса| Е^d | = ∞. На графике кривая спроса представляет собой прямую линию параллельную абсциссе;

5. Совершенно неэластичный спрос. Покупатели абсолютно нечувствительны к изменению цены. При любом процентном изменении цены величина спроса остаётся неизменной. Для этого вида спроса | Е^d | =0. На графике кривая спроса представляет собой прямую линию параллельную ординате.

Существуют два способа точного измерения эластичности. Ценовую эластичность спроса можно определить: (1) в некотором диапазоне изменения цены – на отрезке (дуге) кривой спроса. Этот способ измерения называется дуговой эластичностью; (2) для определённого уровня цены, то есть в некоторой точке кривой спроса. Этот способ называется точечной эластичностью.

Например, на рис. 5-12 дуговая эластичность измеряется в ценовом диапазоне Р₁ – Р₂ на отрезке АВ кривой спроса, а точечная – для уровня цены Р₁ в точке А.

Выведем формулу для дуговой эластичности спроса.

Поскольку в приведенной выше формуле не ясно, какое значениеQ: Q₁ или Q₂, берётся за базу, а это может сильно повлиять на результат измерения, экономисты договорились брать среднее арифметическое значение. То есть, Q = (Q₁ + Q₂ /2. То же самое делается по отношению к цене, выступающей в качестве базы: Р = (Р₁ + Р₂)/2. Тогда формула коэффициента дуговой эластичности спроса по цене примет окончательный вид:

Дуговая эластичность спроса используется в случае значительного изменения цены. Если же это изменение незначительно, то целесообразно использовать точечную эластичность спроса. Коэффициент точечной эластичности спроса легко выводится из формулы (2):

Посмотрим на рис. 5-12 и представим, что∆P сжимается так, что точка С приближается вплотную к точке А. Тогда ∆Q также сжимается и точка В стремится к точке А как к своему пределу. Если мы примем ∆P и, следовательно, ∆Q за бесконечно малые величины, то получим измерение ценовой эластичности в точке А:

-----------------------------------------------------------------------------------------------