3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Пусть функция f(x) дифференцируема на отрезке [a;b]. Тогда она непрерывна на этом отрезке и, в силу II – й теоремы Вейерштрасса, достигает на нем наибольшего и наименьшего значений. Если функция имеет наибольшее значение на (a;b), то это – один из максимумов. Но функция может иметь наибольшее значение и на концах отрезка [a;b]. Аналогичные рассуждения – для минимума. Значит, для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке [a;b] надо:

1) найти все критические точки функции, принадлежащие отрезку [a;b];

2) вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка;

3) из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

4. Выпуклость функции.

Пусть функция f(x) дифференцируема на <a;b>. Тогда существует касательная к графику функции f(x) в любой точке М(x;f(x)), x<a;b>, причем эти касательные не параллельны оси Оу.

Определение. Функция f(x) называется выпуклой вверх (вниз) на <a;b>, если график функции в пределах <a;b> лежит не выше (не ниже) любой из своих касательных.

Теорема 8. Пусть функция f(x) дважды дифференцируема на <a;b>. Тогда если f (x)0 (f (x)0) на (a;b), то функция выпукла вниз (вверх) на <a;b>.

Доказательство.

Пусть f (x)0 х<a;b>. Зафиксируем произвольное х₀(a;b). Докажем, что график функции в пределах (a;b) лежит не ниже касательной в точке М₀(x₀;f(x₀)). Уравнение касательной:

y_кас.-f(x₀)=f (x₀)(x-x₀). (1)

Разлагая f(x) по формуле Тейлора для n=1 х(a;b), получим

, хх₀, х₀<c<x (x<c<х₀) (2)

Вычтем (1) из (2):

, с(х₀;х) (с(х;х₀)). (3)

х(a;b) f (x)0, с(х₀;х)(a;b). Следовательно, f (с)0.

Тогда из (3) следует y-y_кас.0 х(a;b), т. е. yy_кас. х(a;b). Следовательно, график функции в пределах (a;b) лежит не ниже касательной. Т. к. х₀ - произвольная точка из интервала (a;b), то f(x) выпукла вниз на <a;b>.

Пример.

 y=f(x)=x³,

f (x)=3x², f (x)=6x

f (x)0 при x0  на [0;+) функция выпукла вниз,

f (x)0 при x0  на (-;0] функция выпукла вверх. 

5. Точки перегиба.

Пусть f(x) определена и непрерывна в V(x₀).

Определение. Точка x₀ называется точкой перегиба функции f(x), если при переходе через эту точку меняется направление выпуклости функции f(x).

В примере х=0 – точка перегиба.

Теорема 9 (необходимое условие перегиба). Если в точке перегиба x₀ функции f(x) вторая производная существует и непрерывна, то она в этой точке равна нулю.

Доказательство.

Пусть в точке перегиба x₀ существует непрерывная f (x₀). В условиях теоремы для f (x₀) возможны 3 случая.

1) f (x₀)>0. Следовательно, т. к. f (x₀) непрерывна, V(x₀), в которой f (x)>0, т. е. в точке x₀ функция не меняет направления выпуклости. Значит, x₀ не является точкой перегиба.

2) f (x₀)<0. Следовательно, V(x₀), в которой f (x)<0. Значит, x₀ не является точкой перегиба.

3) f (x₀)=0.

В точке перегиба вторая производная может не существовать.

Пример.

 , .

, .

Следовательно, в точке х₀=0 f  не существует.

При x>0 f (x)>0  на (0;+) функция выпукла вниз,

При x<0 f (x)<0  на (-;0) функция выпукла вверх.

Значит, х₀=0 - точка перегиба. 

Т. о., точками возможного перегиба являются те точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует. Но не каждая такая точка является точкой перегиба.

Пример.

 y=f(x)=x⁴

f (x)=4x³, f (x)=12x².

f (x)=0  х=0. Но х f (x)0, следовательно, функция выпукла вниз на . Значит,х₀=0 не является точкой перегиба, хотя f (x₀)=0. 

Т. о., точки возможного перегиба требуют дальнейшего исследования.

Теорема 10 (первое достаточное условие перегиба). Пусть функция f(x) дважды дифференцируема в , гдеx₀ – точка возможного перегиба. Если

1) f (x) меняет знак при переходе через x₀, то x₀ - точка перегиба функции f(x);

2) f (x) не меняет знака при переходе через x₀, то x₀ не является точкой перегиба функции f(x).

Доказательство.

1) Слева и справа от x₀ функция по теореме 7 имеет разное направление выпуклости, следовательно, x₀ - точка перегиба функции f(x).

2) В точке x₀ функция не меняет направления выпуклости, следовательно, x₀ не является точкой перегиба.

Теорема 11. (второе достаточное условие перегиба). Если f (x₀)=0, а , тоx₀ - точка перегиба функции f(x).

Доказательство.

По условию .

Если , тоf (x) возрастает в точке x₀. Т. к. f (x₀)=0, то справа и слева отx₀ имеет разные знаки. Тогда по теореме 9 x₀ - точка перегиба.

Если , тоf (x) убывает в точке x₀. Т. к. f (x₀)=0, то справа и слева отx₀ имеет разные знаки. Следовательно, x₀ - точка перегиба.

Если f (x₀)=0 и , то можно определить перегиб с помощью других достаточных условий, использующих производные высших порядков.