- •§ 21. Непрерывность функции
- •1. Основные определения.
- •4. Непрерывность сложной функции
- •5. Применение непрерывности функций при вычислении пределов
- •§22. Точки разрыва и их классификация
- •§23. Свойства непрерывных функций
- •1. Свойства функций, непрерывных в точке
- •2. Свойства функций, непрерывных на промежутке
- •§24. Непрерывность обратной функции
- •§25. Непрерывность элементарных функций
- •1. Определение элементарной функции.
- •2. Степенная функция.
- •3. Показательно- степенная функция
- •4. Гиперболические функции
- •5.Обратные тригонометрические функции
- •§26. Равномерная непрерывность функций
§ 21. Непрерывность функции
1. Основные определения.
Пусть функция f(x) определена в окрестности точки x0 V(x0), x0.
Определение 1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x0, если она в этой точке имеет предел, равный значению функции в этой точке, т.е. если
. (1)
Определение 2. (по Гейне) Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если ,выполнено.
Определение 3. (по Коши) f(x) называется непрерывной в точке х0, если выполнено.
Определение 4. (в терминах окрестностей) Функция f(x) называется непрерывной в точке х0, если выполнено.
Равенство (1) . (2).
Обозначим - приращение аргумента в точкех0, - соответствующее приращение функции в точкех0. Если , то. Значит, (2) .
Следовательно, получим эквивалентное определение.
Определение 5. Функция f(x) непрерывна в точке x0, если бесконечно малому приращению аргумента в этой точке соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. .
Определение 6. Если функция f(x) не является непрерывной в точке x0, (т.е. если не выполняется условие (1)), то она называется разрывной в точке x0, а точка x0 называется точкой разрыва функции f(x).
Точку x0, в которой функция не определена, но определена в , также будем называть точкой разрыва, хотя в ней равенство (1) вообще не определено (нет правой части).
Пример. непрерывна в любой точке.
Придадим значению аргумента x0 приращение , получим точку. Тогда функция получит приращение
;
.
Следовательно, непрерывна в любой точке.
Определение 7. Функция f(x) называется непрерывной слева (справа) в точке x0, если ().
Теорема 1. Для того, чтобы функция f(x) была непрерывна в точке x0 необходимо и достаточно, чтобы она была непрерывна в этой точке слева и справа.
Доказательство следует из определения непрерывности и теоремы об односторонних пределах (доказать самостоятельно).
Определение 8. Функция f(x)называется непрерывной на множестве Е, если она непрерывна в каждой точке этого множества.
Если Е=[a;b], то функция непрерывна на [a;b], если она непрерывна на (a;b), а в точке а непрерывна справа и в точке b непрерывна слева.
Множество всех точек, непрерывных на отрезке [a;b], обозначается С[a;b].
Например, - значитнепрерывна на [a;b]
Например, непрерывна на(см. пример).
2.Непрерывность суммы, разности, произведения и частного
Теорема 2. Если функции f(x) и g(x), непрерывны в точке x0, то (если) непрерывны в точкеx0.
Доказательство.
Доказательство следует из теоремы арифметических операциях над пределами и определения непрерывности. Докажем для .
Так как инепрерывны в точкеx0, то по определению 1 и. Тогда по теореме о пределе суммы=.
Следовательно, функция непрерывна в точкеx0.
Следствие. Если функции f(x) и g(x), непрерывны на D=<a;b>, то на D непрерывны функции (еслинаD).
3. Непрерывность некоторых основных элементарных функций
1. .
. Значит, непрерывна на.
2. .
. Значит, f(x)=x непрерывна на .
3. .
. Следовательно, непрерывна на.
4. .
(из п.3 и т.2). Значит, непрерывна на.
5. -непрерывна , кроме точек, в которых, как частное непрерывных функций.
6. .
Придадим произвольной точке приращение , получим точку, тогда функция получит приращение:
.
Надо показать, что , т. е.>0 >0: x: |x|< |f(x0)|<
. (*)
Т. к. , то если |x|<, значит выполнено и неравенство (*). Поэтому надо взять .
Значит, непрерывнанепрерывна на.
7. непрерывна на (доказательство аналогично).
8. непрерывна как частное двух непрерывных функций.
9. непрерывна как частное двух непрерывных функций.
10. ,D(f )=.
Пусть . Рассмотрим случайa>1 (0<a<1 - аналогично)
1) Докажем, что функция непрерывна в точке x0 справа, т.е. .
Выберем >0. Найдем >0: x: x0<x<x0+ 0<x- x0< выполнено неравенство (3)
.
Т.к. , то, следовательно, неравенство (3) равносильно
. (4)
Положим . Тогда для всехх, удовлетворяющих неравенству x- x0< выполнено неравенство (4), а, значит, и неравенство (3). Следовательно, .
2) Докажем что функция непрерывна в точке x0 слева, т. е. .
Выберем >0. Найдем >0: x: x0 -<x<x0 -<x- x0<0 выполнено неравенство (3).
Т.к. , то EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4 .
Значит, неравенство (3) равносильно EMBED Equation.DSMT4EMBED Equation.DSMT4
. (5)
Возьмем . Тогда для всехх, удовлетворяющих неравенству x- x0>- выполнено неравенство (5), а, значит, и неравенство (3). Следовательно, .
Из 1), 2) следует что функция f(x)=ax непрерывна в точке x0, т. е. . Т. к.x0 – произвольная точка, то показательная функция непрерывна на .
11. (a>0, a1), D(f)=(0;+), непрерывна как функция, обратная к показательной ( теорема будет доказана позже).