- •Интегральное исчисление функций одной переменной
- •I. Неопределенный интеграл
- •§1. Первообразная
- •§2. Свойства неопределённого интеграла
- •§3. Основная таблица интегралов
- •§4. Основные методы интегрирования
- •I. Метод введения нового аргумента
- •II. Метод подстановки
- •III. Интегрирование по частям
- •§5. Интегрирование рациональных выражений
- •1. Основные понятия
- •2. Интегрирование простейших дробей.
- •1) ; 2); 3); 4) ,
- •3. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших
- •4. Интегрирование рациональной функции
- •§6. Интегрирование иррациональных функций
- •§7. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические
- •II. Определенный интеграл
- •§1. Понятие определённого интеграла
- •§2. Нижние и верхние интегральные суммы
- •§3. Некоторые классы интегрируемых функций
- •1. Интегрируемость непрерывных функций.
- •2. Интегрируемость монотонной функции.
- •3. Интегрируемость функций, имеющих конечное число точек разрыва.
- •§4. Основные свойства определённого интеграла.
- •§5. Определённый интеграл с переменным верхним пределом. Существование первообразной функции. Формула Ньютона-Лейбница.
- •§6. Интегрирование по частям и замена переменной в определённом интеграле. Интегрирование чётных и нечётных функций.
Интегральное исчисление функций одной переменной
I. Неопределенный интеграл
§1. Первообразная
Пусть f определена на (а;b), а, b.
Определение 1. Функция F называется первообразной функцией (или первообразной) для функции f на (а;b), если F дифференцируема на (а;b) и F'(x)=f(x).
Если f определена на [а;b], то F имеет производные F'(а+0)=f(а+0), F'(b–0)=f(b-0).
Примеры.
1) Пусть s=s(t) – закон прямолинейного движения материальной точки. Тогда s(t) – первообразная для скорости v(t), т.к. s'(t)=v(t).
Скорость v(t) – первообразная для ускорения a(t), т.к. v'(t)=a(t).
2) F(x)=является первообразной дляf(x)=на (-3;3), т.к.F'(x) = x(-3;3).
Теорема 1. Если функция F(x) является первообразной для f(x) на (а;b), то функция F(x)+C (где ) также является первообразной дляf(x) на (а;b).
Доказательство.
F'(x)= f(x) x(а;b) (по условию). Рассмотрим функцию F(x)+C. Она дифференцируема на (а;b) и (F(x)+C)'=F'(x)+C' = f(x), т.е. F(x)+C – первообразная для функции f(x) на (а;b).
Теорема 2. Если F1(x) и F2(x) – две первообразные для функции f(x) на (а;b), то x(а;b) F1(x)–F2(x)=C, С.
Доказательство.
Положим Ф(x)=F1(x)–F2(x). Т.к. F1 и F2 дифференцируемы на (а;b), то Ф(x) дифференцируема на (а;b).
Ф'(x)=(F1(x)–F2(x))'=F1'(x)–F2'(x)=f(x)–f(x)=0 x(а;b).
Следовательно, Ф(x)=const, т.е. Ф(x)=C x(а;b). Значит, F1(x)–F2(x)=C.
Следствие. Если F(x) является первообразной для f(x) на (а;b), то совокупность всех первообразных для f(x) на (а;b) совпадает с множеством F(x)+C, С.
Определение 2. Множество всех первообразных для функции f(x) на (а;b) называется неопределённым интегралом от функции f на интервале (а;b) и обозначается .
∫ - знак интеграла, f(x)dx – подынтегральное выражение, f(x) – подынтегральная функция.
Согласно определению, если F(x) - одна из первообразных функции f(x) на (а;b), то
=F(x)+C, С(1)
С – постоянная интегрирования.
Равенство (1) – равенство между двумя множествами. Операция нахождения первообразной или неопределённого интеграла от функции f называется интегрированием функции f. Интегрирование – действие, обратное дифференцированию. Следовательно, для проверки правильности интегрирования нужно продифференцировать результат интегрирования.
Важно: если операция дифференцирования однозначна, то операция интегрирования возможна лишь с точностью до постоянного слагаемого.
Возникает вопрос: в каких случаях существует первообразная? Всегда ли можно интегрировать?
Теорема 3. Если f(x) непрерывна на [а;b], то она имеет на нём первообразную, а следовательно и неопределённый интеграл. (Докажем позже)
Если f(x) разрывна на [а;b], то будем рассматривать f(x) только на промежутках непрерывности. На каждом из них она будет интегрируема.
Пример.
f(x)=,x=0 – точка разрыва, (-∞;0) и (0; +∞) – промежутки непрерывности.
На (0;+∞) одной из первообразных является lnx, т.к. (lnx)'=. Тогда,x(0;+∞). На (-∞;0) эта формула лишена смысла, т.к.lnx не определён при x<0. Но на (-∞; 0) одной из первообразных является ln(-x), т.к. (ln(-x))'= ,x(-∞; 0). Таким образом,
Или ,x ≠0.
Геометрический смысл неопределённого интеграла
Пусть =F(x)+C, x<a;b>. График функции F(x) называется интегральной кривой. Интегральная кривая в каждой точке < а;b> имеет касательную, угловой коэффициент которой равен f(x), (т.к. F'(x)=f(x)). Неопределённый интеграл F(x)+C есть семейство интегральных кривых. Графики любых двух кривых получаются один из другого сдвигом на постоянную величину вдоль оси Оy.