- •Дифференциальное исчисление функций одной переменной
- •§1. Производная
- •§2. Дифференцируемость и дифференциал функции
- •1. Дифференцируемость функции
- •2. Дифференциал функции
- •3. Применение дифференциала к приближённым вычислениям
- •§3. Геометрический смысл производной и дифференциала
- •1. Геометрический смысл производной
- •2. Геометрический смысл дифференциала
- •§4. Дифференцирование суммы, разности, произведения, частного
- •§6. Дифференцирование сложной функции.
- •1.Производная сложной функции.
- •2. Дифференциал сложной функции.
- •§7. Дифференцирование обратной функции.
- •§8. Производные основных элементарных функций.
- •§9. Производная показательно – степенной функции. Логарифмическое дифференцирование
- •§10 Производные высших порядков
- •§12. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •§13. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя
- •§14. Формула Тейлора
- •§15. Исследование функций с помощью производной
- •1. Условия постоянства, возрастания и убывания функций
- •2. Экстремум функции
- •3. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.
- •4. Выпуклость функции.
- •5. Точки перегиба.
- •§ 16. Асимптоты графика функции
§ 16. Асимптоты графика функции
Определение 1. Прямая х=а называется вертикальной асимптотой графика функции f(x), если хотя бы один из односторонних пределов функции в точке а равен + или -.
Пример. х=0 – вертикальная асимптота графика функции :,.
Определение 2. Пусть f(x) определена x>a (x<a), . Прямая y=kx+b называется наклонной асимптотой графика функции f(x) при х+ (х-), если f(x)=kx+b+(х), где .
При k0 y=kx+b – наклонная асимптота, при k=0 прямая y=b – горизонтальная асимптота.
Теорема. Для того, чтобы прямая y=kx+b являлась наклонной асимптотой графика функции f(x) при х+ (х-), необходимо и достаточно, чтобы существовали 2 конечных предела:
, (1) . (2)
Доказательство.
1) Необходимость.
Пусть прямая y=kx+b – наклонная асимптота графика функции при х+. Тогда по определению f(x)=kx+b+(х), где . Отсюда
,
.
2) Достаточность.
Пусть существуют пределы (1) и (2). Из (2) следует f(x)-kx=b+(х), где . Следовательно,f(x)=kx+b+(х), и, значит, прямая y=kx+b является наклонной асимптотой графика функции f(x) при х+.
Пример. Найти асимптоты графика функции .
1) Вертикальные асимптоты.
.
Функция является элементарной, следовательно, непрерывна в области определения, х=0 – точка разрыва. Найдем односторонние пределы в этой точке:
, .
Следовательно, х=0 – точка разрыва второго рода, прямая х=0 – вертикальная асимптота графика функции.
2) Наклонные асимптоты.
1 способ (по определению). . Т. е.f(x)=kx+b+(х), где k=1, b=0, . Значит, прямая y=x – наклонная асимптота графика функции при х.
2способ (по теореме).
k=1,
b=0. Следовательно, прямая y=x – наклонная асимптота графика функции при х.
Схема полного исследования функции.
Найти область определения ( и множество значений, если просто).
Исследовать функцию на четность, нечетность, периодичность.
Исследовать функцию на непрерывность, найти точки разрыва и вертикальные асимптоты (если есть).
Исследовать поведение функции в окрестности граничных точек области определения и при х.
Найти (если есть) наклонные асимптоты графика функции.
Исследовать функцию на монотонность и экстремум.
Исследовать функцию на направление выпуклости и точки перегиба.
Найти точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства.
Построить график.
Пример. .
1) .
2) Функция не является ни четной, ни нечетной, не является периодической.
3) х=-3 – точка разрыва.
, .
Следовательно, х=-3 – точка разрыва второго рода, прямая х=-3 – вертикальная асимптота графика функции.
4) ,.
5) ,.
При х- k=0.
.
b=0 при х-. Следовательно, прямая у=0 – горизонтальная асимптота графика функции при х-.
При х+ наклонных асимптот нет.
6).
х=-2 – точка минимума, у(-2)=е – минимум.
7)
на D(f), y не существует в точке х=-3.
Точек перегиба нет.
8) Ось Ох график не пересекает.
Ось Оу: х=0, .
y>0 при x(-3;+), y<0 при x(-;0).