§9. Производная показательно – степенной функции. Логарифмическое дифференцирование
Рассмотрим показательно-степенную функцию
,
где
.
.
Пример 1.
Пусть y=f(x), f(x)>0.
.
Эту формулу
используют, когда найти
проще, чем
.
Пример 2.
.
.
Следовательно,
:
x>1
и
,
.
§10 Производные высших порядков
Пусть функция
y=f(x)
определена на множестве D
и существует
.
Тогда наD
определена функция
.
Если эта функция имеет производную в
точкеxD,
то её называют производной
второго порядка
(или второй
производной)
функции f(x)
в точке x.
Обозначается
,
,
,
.
Таким образом
.
Если
существует наD,
то она является функцией от х.
Производная от этой функции в некоторой точке xD называется производной третьего порядка функции f(x) в точке x.
.
И так далее. Если
,
то наD
определена функция
.
Производная от этой функции (если она
существует) в точкеxD
называется производной
n–го
порядка функции
f(x)
в точке x.
.
Обозначается:
,
,
,
.
Таким образом,
определяется индуктивно. Будем считать
.
Заметим, что если
существует
в точкех,
то в некоторой окрестности
существует
и все производные более низкого порядкаk,
k<n.
Если для функции
y=f(x)
в точке х
существует
,
то говорят, что функцияn
раз дифференцируема
в этой
точке.
Функция y=f(x) называется n раз непрерывно дифференцируемой , если все её производные до n–го порядка включительно непрерывны в точке х.
Для производных высших порядков справедливы следующие теоремы.
Теорема 1. Если
функция y=u(x)
имеет производную
,
а
,
то
имеет производную и справедлива формула
.
Доказательство.
1)
n=1: 
;
2) n=k: 
- верно;
n=k+1: 
- доказать
.
Из 1), 2)
справедливость формулы для любого
.
Теорема 2. Пусть
и существуют
,
.
Тогда существует
и
.
Производные высших порядков для некоторых элементарных функций
1)
y=f(x)=x , 
.
, 
,…
.
Частный случай:
, 
.
2) y=f(x)=ex
.
3) y=f(x)=ax
, 
,
…
.
4) y=sinx
,
,
,
,
…
.
5)
y=cosx 
.
6)
,
,
,
,
…
7) y=lnx
,
,
…
§12. Основные теоремы дифференциального исчисления
Теорема 1 (Ферма, фр., 1601-1665). Пусть функция y=f(x) определена на некотором промежутке <a;b> и в некоторой точке x0<a;b> имеет наименьшее или наибольшее значение. Тогда если функция дифференцируема в точке x0, то f (x0)=0.
Доказательство.
Пусть f(x0)
– наибольшее значение функции f(x)
на <a;b>.
Тогда по определению x<a;b>
выполнено f(x)≤
f(x0).
Если x<
x0,
то
;
еслиx>
x0,
то
.
По условию f (x0), то есть f (x0+0), f (x0-0) и f (x0+0)= f (x0-0)=f (x0).
Тогда по теореме
о предельном переходе в неравенствах
,
.
Из того, что
следует, чтоf
(x0)=0.
А
налогично
рассматривается случай, когдаf(x0)
– наименьшее значение функции.
Геометрический смысл. Если функция f, дифференцируемая в точке x0, имеет в ней наименьшее или наибольшее значение, то в точке (x0;f(x0)) касательная к графику функции f(x) параллельна оси Ох.
Замечание.
Теорема не
верна, если x0
– один из концов отрезка [a;b].
Рассмотрим,
например, f(x)=x.
В точке а
– наименьшее значение, в точке b
– наибольшее, но
.
Важно также условие дифференцируемости функции.
Рассмотрим, например, y=|x|. В точке x0=0- наименьшее значение, но f (x0)0 (f (x0) не существует).
Теорема 2 (Ролля, фр., 1672-1719). Пусть функция f(x) определена на [a;b], причем
f(x)C[a;b],
f(x) дифференцируема на (a;b),
f(a)= f(b).
Тогда существует точка с(a;b), такая что f (c)=0.
Геометрический
смысл. У
графика непрерывной на [a;b]
и дифференцируемой на (a;b)
функции f(x),
принимающей на концах отрезка [a;b]
равные значения, существует точка, в
которой касательная параллельна оси
Ох (таких точек может быть несколько,
могут быть и все точки интервала, если
m=M
(f(x)=с)).
Замечание. Если f(a)= f(b)=0 и выполнены условия теоремы Ролля, то с(a;b): f (c)=0. То есть между двумя нулями дифференцируемой функции лежит, по крайней мере, один нуль ее производной.
Теорема 3 (Лагранжа, фр., 1736-1813, теорема о конечных приращениях). Пусть функция f(x) определена на [a;b], причем
f(x)C[a;b],
f(x) дифференцируема на (a;b).
Тогда существует
точка с(a;b),
такая что
. (1)
Формула (1) называется формулой Лагранжа. Ее другая форма записи:
f(b)-f(a)=f(c)(b-a). (2)
Геометрический смысл.
,
kкас.=f
(c),
kкас.=kсек.
На графике существует точка (с;f(c)), касательная в которой параллельна секущей, проходящей через точки (a;f(a)), (b;f(b)).
П
ример.На кривой
f(x)=4-x2
найти точки, в которых касательная
параллельна хорде, соединяющей точки
(-1;3) и (2;0).
f(x)=4-x2,
[a;b]=[-1;2],
выполнены условия теоремы Лагранжа.
Следовательно, существует точка с(-1;2),
такая что
.
f
(х)=-2х
,-2с=-1,
с=0,5.
Замечание 1. Теорема Ролля является частным случаем теоремы Лагранжа, когда f(a)=f(b).
З
амечание
2.Пусть a<b.
с(a;b)
выполнено
,
0<<1
c=a+(b-a),
0<<1.
Если a>b,
с(a;b)
выполнено
,
0<<1
c=a+(b-a),
0<<1.
Тогда формула (2) примет вид
f(b)-f(a)=f (a+(b-a))(b-a), 0<<1. (2)
Замечание
3.Пусть
функция f
удовлетворяет
условиям теоремы Лагранжа на [a;b].
Произвольному значению x[a;b]
придадим приращение x,
так, что x+x[a;b].
Рассмотрим [x;x+x],
если x>0
и [x+x;x],
если x<0.
На этом отрезке функция удовлетворяет
условиям теоремы Лагранжа. Следовательно,
f(x+x)-f(x)=f (c) x= f (x+x)x, 0<<1,
f(x)=f (x+x)x. (3)
Формула (3) называется формулой конечных приращений (это тоже формула Лагранжа). Из (3) следует, что если x конечно, то и f(x) конечно.
Если сравнить (3) с приближенной формулой f(x)f (x)x, x0, то видно, что при отбрасывании слагаемого (x) x в f(x) все-таки можно сохранить знак равенства, но для этого надо брать значение производной не в точке х, а в некоторой точке x+x, заключенной между х и x+x. Правда, это значение неизвестно, а установлен только факт его существования. Но это часто используется.
Теорема 4 (Коши, обобщенная теорема о конечных приращениях). Пусть на [a;b] определены функции f(x) и g(x), причем
f(x), g(x)C[a;b],
f(x), g(x) дифференцируемы на (a;b),
g (x)0 х(a;b).
Тогда существует
точка с(a;b),
такая что
. (4)
Замечание. Теорема Лагранжа является частным случаем теоремы Коши при g(x)=x.
Теоремы Роля, Лагранжа, Коши часто называют теоремами о средних значениях, т. к. в них речь идет о производных при каких-то средних значениях независимой переменной. В теоремах установлен лишь факт существования этих значений. Иногда их можно вычислить.