2. Дифференциал сложной функции.

Инвариантная форма дифференциала.

I. Пусть y=f(x), где х – независимая переменная, дифференцируема в точке х. Следовательно, существует ,, т.к.х – независимая переменная.

,(1)

. (2)

Таким образом, если х – независимая переменная, то имеем две формулы записи дифференциала (1) и (2).

II. Пусть y=f(x), а x=g(t), т.е. y=f(g(t)), где t – независимая переменная. Если g(t) дифференцируема в точке t, а y=f(x) дифференцируема в соответствующей точке x=g(t), то сложная функция f(g(t)) дифференцируема в точке t. Т.к. t – независимая переменная, то дифференциал можно записать в виде: . Тогда по теореме о производной сложной функции

, т.к. .

Итак, . Получили формулу записи дифференциала, совпадающую с (2). Следовательно, формула (2) инвариантна (неизменна).

Т.е. дифференциал функции y=f(x) записывается в форме (2) не зависимо от того, является ли х независимой переменной или функцией от какого–то аргумента.

Если x=g(t), то . Следовательно, форма (1) для дифференциала сложной функции не подходит.

§7. Дифференцирование обратной функции.

Теорема. Пусть y=f(x) непрерывна и монотонна в V(х₀) и дифференцируема в точке х₀, её производная . Тогда вV(y₀), где определена обратная функция, дифференцируемая в точкеy₀ и для её производной в этой точке справедливо:

(1)

или .

Доказательство.

Т.к. f строго монотонна и непрерывна в V(х₀), то в V(y₀) определена обратная функция, также непрерывная и монотонная. Докажем, что обратная функция дифференцируема в точкеy₀ и справедливо (1).

Возьмём . Значениюy₀ аргумента обратной функции придадим приращение . Тогда обратная функция получит приращение.

Т.к. , то. Действительно, допустим противное:. Тогда. Т.к.- монотонная функция, то отсюда следует, что. Следовательно,- противоречит условию.

Можно записать:

(2)

Пусть . Тогда в силу непрерывности обратной функции её приращение. По условию. Следовательно,

существует правой части (2):. Тогда существует илевой части при(а, значит, и):

Переходя в равенстве (2) к , получим (1).

Замечание. Если ивV(х₀) , то. Если, то.

§8. Производные основных элементарных функций.

I. Производная степенной функции y=f(x)=x^, .

Придадим произвольному значению приращение.

Тогда . Разделим на:

,

.

- существует .

.

Частный случай: ,,

.

II. Производная показательной функции: y=f(x)=a^x ,.

Выберем , придадим приращение, тогда

, , ,

.

.

Частный случай: a=e .

III. Производная логарифмической функции .

. Выберем, придадим приращение, тогда

,

,

,

.

.

Частный случай: a=e .

IV. Производные тригонометрических функций.

1) ,.

Выберем , придадим приращение, тогда

,

,

.

.

2) ,.

.

.

3) ,.

.

.

4) ,.

.

.

V. Производные обратных тригонометрических функций.

1) ,.

на непрерывна, строго монотонна (возрастает), дифференцируема:на. Следовательно,по правилу дифференцирования обратной функции

.

Если , то. Тогда

2) ,.

.

3) ,.

- обратная функция к на.непрерывна, строго монотонна, дифференцируема и

.

4) .

.

.

VI. Производные гиперболических функций.

1) ,.

, .

2) ,.

 .

3) ,.

,  .

4) ,\.

,  .