2. Экстремум функции

Пусть f(x) определена в V(x₀).

Определение 1. Точка х=х₀ называется точкой максимума функции f, если существует окрестность V(x₀,)V(x₀), в пределах которой выполнено неравенство f(x)f(x₀).

Значение функции в точке x₀ называется максимумом функции.

Определение 2. Точка х=х₀ называется точкой минимума функции f, если существует окрестность V(x₀,)V(x₀): xV(x₀,) выполнено f(x) f(x₀).

Значение функции в точке x₀ называется минимумом функции.

Определение 3. Точка х=х₀ называется точкой строгого максимума (строгого минимума) функции f, если существует V(x₀,)V(x₀): xV(x₀,) выполнено неравенство f(x)< f (x₀) (f(x)> f (x₀)).

Значение функции в точке x₀ называется строгим максимумом (строгим минимумом) функции.

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в них – экстремумами функции.

Можно доказать, что если функция непрерывна на (a;b) и имеет несколько максимумов и минимумов, то они чередуются. Понятия максимума и минимума являются локальными, т. е. понятиями, относящимися не ко всей области определения функции, а только к окрестности некоторой точки. Не следует смешивать понятия максимума и минимума с наибольшим и наименьшим значением функции на <a;b>. Функция f может иметь несколько максимумов (минимумов), но они не будут наибольшими (наименьшими) значениями функции. Функция может иметь наибольшее и наименьшее значения, но они не будут ни максимумом, ни минимумом.

Теорема 5 (необходимое условие экстремума). Пусть f(x) определена в V(x₀). Если функция имеет в точке x₀ экстремум, то производная функции в этой точке равна нулю или не существует.

Доказательство.

По условию функция имеет в точке x₀ экстремум. Следовательно, существует окрестность V(x₀,)V(x₀), в пределах которой f (x₀) является наибольшим или наименьшим значением функции f . По теореме Ферма, если существует f (x₀), то f (x₀)=0. Для завершения доказательства приведем пример, когда функция, не дифференцируемая в точке, имеет в этой точке экстремум.

y=|x|, .

х=0 – точка минимума, т. к. f(0)=0 и х0 f(x)>0, но f(x) не дифференцируема в точке х=0.

Определение. Пусть f(x) определена в V(x₀). Точка x₀ называется стационарной точкой функции f, если f (x₀)=0. Точка x₀ называется критической точкой функции f, если f (x₀)=0 или не существует.

Из теоремы 4 следует, что точками экстремума могут быть только критические точки. Обратное не всегда верно.

Пример.  f(x)=x³, f (x)=3x², f (0)=0.Но х=0 не является точкой экстремума. Действительно, при x<0 f(x)<0, а при x>0 f(x)>0. Следовательно, х=0 не является ни точкой максимума, ни точкой минимума. 

Т. о., критические точки являются точками возможного экстремума. Найдя критические точки, необходимо подвергнуть их дальнейшему исследованию.

Теорема 6 (первое достаточное условие экстремума). Пусть f дифференцируема в некоторой окрестности точки x₀, кроме, быть может, самой точки x₀, в которой она непрерывна. Пусть f (x) сохраняет знак в отдельности как слева, так и справа от точки x₀, т. е. в интервалах (x₀-; x₀), (x₀;x₀-). Если:

1) f (x)>0 при x<x₀ и f (x)<0 при x>x₀, то x=x₀ - точка строгого максимума;

2) f (x)<0 при x<x₀ и f (x)>0 при x>x₀, то x=x₀ - точка строгого минимума;

3) f (x)>0 или f (x)<0 xV(x₀), то x=x₀ не является точкой экстремума.

Доказательство.

1) Возьмем xV(x₀,). Применим теорему Лагранжа к отрезку [x₀;x] или [x;x₀]. Получим (1) f(x)-f(x₀)=f(c)(x-x₀), c(x₀;x) (или с(x;x₀)). Пусть x<x₀  x-x₀<0. Т. к. с<x₀, то f (c)>0. Из (1)  f(x)-f(x₀)<0, т. е. f(x)<f(x₀). Пусть x>x₀  x-x₀>0. Т. к. с>x₀, то f (c)<0. Из (1)  f(x)-f(x₀)<0, т. е. f(x)<f(x₀). Следовательно, xV(x₀,) f(x)<f(x₀). Значит, то x=x₀ - точка строгого максимума.

2) Аналогично.

3) Пусть f (x)>0 x.

Если x<x₀, т. е. x-x₀<0, то из (1), т. к. f (c)>0, следует f(x)-f(x₀)<0, т. е. f(x)<f(x₀).

Если x>x₀, т. е. x-x₀>0, то из (1), т. к. f (c)>0, следует f(x)-f(x₀)>0, т. е. f(x)>f(x₀).

Следовательно, f(x₀) не является ни наименьшим, ни наибольшим значением функции f(x) в . Значит,x₀ не является точкой экстремума.

Алгоритм нахождения точек экстремума для функции, непрерывной на <a;b>

Пусть f(x) на <a;b> имеет несколько критических точек. Расположим их в порядке возрастания: a<x₁<x₂<…<x_n<b. Они делят <a;b> на интервалы (а;x₁), (x₁;x₂),…,(x_n;b). В каждом из них f (x₀)0, она знакопостоянна (положительна, или отрицательна). Для определения знака производной в интервале надо определить ее знак в любой точке интервала. Затем по изменению знака производной при переходе от одного интервала к другому определим точки экстремума по т 6.

Теорема 7 (второе достаточное условие экстремума). Пусть для функции f в стационарной точке x₀ . Тогда функция имеет в точкеx₀ максимум, если и минимум, если.

Доказательство.

Пусть . Тогда по теореме 1f (x) возрастает в точке x₀. Докажем, что x₀ - точка строгого минимума. Т.к. f (x₀)=0, то V(x₀,): f (x)<0 при x<x₀ и f (x)>0 при x>x₀. Тогда по теореме 5 x₀ - точка строгого минимума.

Для случая доказательство аналогично.

Пример.



f (x)=x³-4x, f (x)=3x²-4

f (x)=0 при x₁=0, x₂=2, x₃=-2

f (0)=-4  x=0 – точка строго максимума, maxf(x)=f(0)=3

f (2)=8  x=2 – точки строго минимума, minf(x)=f(2)=-1. 