Дифференциальное исчисление функций одной переменной

§1. Производная

Пусть функция f определена в V(x₀). Придадим точке х₀ произвольное приращение так, чтобыx₀+xV(x₀). Тогда функция f(x) получит приращение

_.

Рассмотрим - функцию, определённую в.

Определение 1. Производной функции f в точке х₀ называется предел при отношения приращения функции к вызвавшему его приращению аргумента, если этот предел существует.

Обозначается ,,,,.

Таким образом, по определению 1 . (1)

Обозначения ввёл Лейбниц (1646-1716), а,-Лагранж (1736-1813).

Производная функции в точке – число.

Пусть ,,хV(x₀). Тогда (1) равносильно

. (2)

Если , то говорят, что в точкех₀ существует бесконечная производная, равная . Обозначается().

Определение 2. Правой (левой) производной функции в точке х₀ называют правый (левый) предел отношения при, если этот предел существует.

, .

Правая и левая производные называются односторонними производными в точке х₀.

Справедливо следующее утверждение: функция f имеет в точке х₀ производную тогда и только тогда, когда исуществуют и равны. Тогда.

Пусть f имеет производную в каждой точке. Поставим в соответствие точкех производную функции в этой точке: ,. Это соответствие определяет функциюаргументах, определённую на . Она называетсяпроизводной функцией от функции f.

Значение в точкех является производной функции в точке х (может быть числом,).

Примеры.

1) y=f(x)=c ..

 Выберем , придадим значениюх приращение . Тогда

.

.

Производная постоянной функции тождественно равна нулю: .

2) y=f(x)=x, .

 Выберем , придадим значениюх приращение . Тогда

. 

.

3) y=f(x)=|x| .

 Пусть х<0, .

Пусть х>0, .

Пусть х=0, ,

.

Т.к. ,тоне существует.

§2. Дифференцируемость и дифференциал функции

1. Дифференцируемость функции

Пусть y=f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀ V(х₀). Возьмём :,.

Определение 1. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х₀, если её приращение в этой точке, соответствующее приращению аргумента, может быть представлено в виде

, (1)

где - некоторое число, не зависящее от,

- функция от , бесконечно малая при, т.е..

Замечание 1. В (1) мы предполагали, что . Значит, в точкефункция, вообще говоря, не определена. Будем считать, что. В таком случаенепрерывна в точке, и равенство (1) справедливо и при.

Замечание 2. Так как при , то. Тогда (1) можно записать в виде:

. (2)

Пример. Доказать, что функция дифференцируема в точкех=1.

 Придадим х=1 приращение , получим. Тогда

.

Здесь А=-1, . Значит,f(x) дифференцируема в точке х=1. 

Теорема 1 (необходимое и достаточное условие дифференцируемости). Для того, чтобы функция f(x) была дифференцируема в точке х₀ необходимо и достаточно_, чтобы она в этой точке имела производную , при этом.

Доказательство.

1) Необходимость.

Пусть f(x) дифференцируема в точке х_0, т. е. , где. Пусть. Тогда.

Так как существует правой части:, то существует илевой части:, и эти пределы равны:.

2) Достаточность.

Пусть существует , то есть существует. Тогда по необходимому и достаточному условию существования предела функции в точке, где - бесконечно малая при. Следовательно, по определению (1)f(x) дифференцируема в точке х_0.

Из этой теоремы следует определение 2, эквивалентное определению 1.

Определение 2. Функция f(x) называется дифференцируемой в точке х₀, если она в этой точке имеет конечную производную.

Операция нахождения производной функции f(x) в точке или на множестве называется дифференцированием функции f(x).

Теорема 2 (непрерывность дифференцируемой функции). Если функция f(x) дифференцируема в точке х₀, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство.

Так как f(x) дифференцируема в точке х₀, то

.

Значит, по определению функция непрерывна в точке х₀.

Следствие. Если функция f(x)имеет в точке х₀ производную, то она непрерывна в этой точке.

Замечание. Предположение, обратное т. 2, неверно. Функция, непрерывная в точке х₀, может не быть не дифференцируемой в этой точке.

Пример. y=f(x)=|x| - непрерывна в точке х₀=0, но не дифференцируема в ней.