Лосев-КлячинМиклюков МА в КИ
.pdf§4. Понятие о несобственном кратном интеграле |
521 |
||
ласти D. При этом, если указанный предел конечен, то несоб- |
|||
ственный интеграл |
|
|
|
|
f(x) dx |
|
D
называется сходящимся, а если не существует или равен ±∞, то интеграл называется расходящимся.
ТЕОРЕМА 4.1. Если функция f(x) неотрицательна и существует предел
lim f(x) dx
i→+∞
D∩∆i
хотя бы для одного исчерпания {∆i}, то этот предел существует для любого исчерпания {∆i} и не зависит от его выбора.
ЗАМЕЧАНИЕ. Таким образом, в случае когда функция не меняет знак, достаточно проверить интегрируемость для какой-нибудь последовательности {∆i}.
Доказательство. Пусть
|
|
A = lim |
f(x) dx, |
i→+∞
D∩∆i
где {∆i} — некоторое исчерпание Rn. Рассмотрим произвольное исчерпание {∆i}. Ясно, что
f(x) dx ≥ |
f(x) dx. |
D∩∆i+1 D∩∆i
Очевидно, что для любого i существует n : ∆i ∆n. Так как функция f(x) ≥ 0, то
f(x) dx ≤ |
f(x) dx ≤ A. |
(1) |
D∩∆i D∩∆n
Таким образом, существует
A |
lim |
|
f x |
dx |
≤ |
A. |
1 |
= i→+∞ |
( ) |
|
|
D∩∆i
522 |
Глава 20. Теория интегрирования в Rn |
Зафиксируем ∆n. Тогда в силу условий 1) и 2) на систему {∆n} найдется i = i(n) : i > i(n) выполнено ∆n ∆i. Тогда так как f(x) ≥ 0, то
f(x) dx ≤ |
f(x) dx ≤ A1. |
(2) |
D∩∆n |
D∩∆i |
|
В силу произвольности n, имеем A ≤ A1. Из доказанных неравенств следует, что A = A1. Теорема доказана.
ПРИМЕР 1. Вычислить интеграл:
e−x−y dx dy,
D
где D = {(x, y) : x ≥ 0, y ≥ 0}. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Положим ∆i = {(x, y) : |x| < i, |y| < i}. Тогда |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
i→+∞ |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
e−x−y dx dy = |
lim |
|
|
e−x−y dx dy |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
D∩∆i |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
0 |
|
i |
|
0 |
i |
|
|
|
|
|
0 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−y dy |
|
|
|
|
|
e−y |
|
|
||||||||
= |
lim |
|
|
e−x dx |
|
lim |
|
e−x dx |
− |
|
i |
= |
|||||||||
|
i→+∞ |
|
|
|
|
|
|
= i→+∞ |
|
|
|
|
|
|0 |
|||||||
|
|
0 |
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e−x−i |
+ e−x |
|
|
|
|
|
(e−x−i i |
|
|
e−x i ) = |
|||||||
= |
lim |
|
|
|
− |
|
dx |
|
|
lim |
− |
||||||||||
|
i→+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
= i→+∞ |
|0 |
|
|0 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
lim |
(e−2i |
− |
e−i |
− |
e−i + 1) = 1. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
= i + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
→ ∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть теперь D область в Rn и x0 D. Пусть в D \ {x0} задана функция y = f(x). Зададим произвольно последовательность областей ∆i, такую что
1) |
∆1 ∆2 ∆3 . . . ; |
2) |
@i∞=1 ∆i = {x0}. |
Далее будем считать, что ∆i измеримы по Жордану. Множество D \ ∆i измеримо по Жордану, если потребовать измеримость области D. Пусть функция f(x) интегрируема по множеству D \ ∆i.
528 |
Глава 20. Теория интегрирования в Rn |
и обозначают
f(x, y) dx, |
f(x, y) dy. |
γ |
γ |
Если заданы функции P (x, y), Q(x, y) на кривой γ, то выра-
жение
P (x, y) dx + Q(x, y) dy ≡ P (x, y) dx + Q(x, y) dy
γ γ γ
также называют криволинейным интегралом II-го рода. ЗАМЕЧАНИЕ. Очевидно справедливо следующее свойство
|
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = − |
P (x, y) dx + Q(x, y) dy. |
7 |
7 |
|
AB |
BA |
|
Последнее подчеркивает отличие криволинейных интегралов II-го рода от интегралов I-го рода.
ТЕОРЕМА 6.1. Пусть кривая γ задана векторфункцией (ϕ(t), ψ(t)), где t [a, b], а функция f(x, y) – непрерывна на γ. Пусть, кроме того,
1.ϕ(t), ψ(t) — непрерывно дифференцируемые функции на [a, b];
2.выполнено ϕ 2(t) + ψ 2(t) = 0.
Если (ϕ(a), ψ(a)) = A, (ϕ(b), ψ(b)) = B, то
b
f(x, y) dx = f(ϕ(t), ψ(t))ϕ (t) dt.
7 |
a |
AB |
|
Доказательство. Обозначим
b
I = f(ϕ(t), ψ(t))ϕ (t) dt.
a
Зафиксируем ε > 0. Тогда найдется δ > 0 такое, что для всех разбиений P отрезка [a, b], a = t0 < t1 < . . . < tn = b, для
которых µ(P ) = max |ti+1−ti| < δ, и всех точек ξi [ti, ti+1]
0≤i≤n−1
§6. Криволинейные интегралы |
|
529 |
|
|||||
выполнено |
|
|
|
f(ϕ(ξi), ψ(ξi))ϕ (ξi)∆ti − I < ε , |
|
|
||
|
|
n |
(1) |
|
||||
|
|
i=1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где ∆ti = ti |
ti |
− |
1. Так как функция ϕ (t) непрерывна |
на [a, b], |
|
|||
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
то она равномерно непрерывна, т.е. δ1(ε ) > 0 : t , t , |t − |
|
|||||||
t | < δ1 выполнено |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|ϕ (t ) − ϕ (t )| < ε . |
|
(2) |
|
Рассмотрим разбиение P1, такое что µ(P1) < δ2 = min (δ, δ1). |
|
|||||||
Тогда |
|
|
f(ϕ(ξi), ψ(ξi))(ϕ(ti+1) − ϕ(ti)) − I ≤ |
|
|
|||
|
n |
|
|
|||||
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
|
|
|
|
|
|
|
|
[f(ϕ(ξi), ψ(ξi))(ϕ(ti+1) − ϕ(ti)) − f(ϕ(ξi), ψ(ξi))ϕ (ξi)∆ti] |
+ |
|||||||
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
n |
− I ≤ |
|
|
||
|
|
f(ϕ(ξi), ψ(ξi))ϕ (ξi)∆ti |
|
|
||||
|
|
|
i=1 |
|
|
|
||
|
n |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ ε + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. (3) |
||
|
f(ϕ(ξi), ψ(ξi))((ϕ(ti+1) − ϕ(ti)) − ϕ (ξi)∆ti) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По теореме |
Лагранжа о конечных приращениях |
|
θi |
[ti, ti+1] |
||||||||
такие, что |
|
ϕ(ti+1) − ϕ(ti) = ϕ (θi)∆ti. |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда из неравенств (2), (3), используя |
|
|
|
|
|
|||||||
получаем |
|
|
|θi − ξi| < δ2, |
|
|
|
|
|
|
|||
|
f(ϕ(ξi), ψ(ξi))(ϕ(ti+1) − ϕ(ti)) − I |
≤ |
|
|
||||||||
|
|
|
n |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≤ |
≤ ε + |
f(ϕ(ξi), ψ(ξi))(ϕ (θi) − ϕ (ξi))∆ti ≤ |
− |
|
||||||||
|
|
|
| |
| |
− |
|
| |
|
| |
|
||
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ε + |
sup |
f(x, y) ε (b |
a) = ε (1 + |
sup f(x, y) (b |
|
a)). |
|||||
|
|
(x,y) γ |
|
|
|
(x,y) γ |
|
|
|
|
|
530 Глава 20. Теория интегрирования в Rn
Таким образом,
n |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
f(ϕ(t), ψ(t))ϕ (t) dt, |
|
lim |
f(ϕ(ξ |
), ψ(ξ ))∆x |
|
= |
|
|
µ(T )→0 i=1 |
i |
i |
i |
|
|
что и доказывает утверждение теоремы. Аналогичным образом доказывается формула
b
f(x, y) dy = f(ϕ(t), ψ(t))ψ (t) dt.
7 |
a |
AB |
|
Окончательно получаем
P (x, y) dx + Q(x, y) dy =
7
AB
b
=[P (ϕ(t), ψ(t))ϕ (t) + Q(ϕ(t), ψ(t))ψ (t)] dt.
a
6.3.Криволинейный интеграл по замкнутому контуру
Рассмотрим замкнутую кривую K, т.е. кривую в которой начало A совпадает с концом B. Если задано направление
обхода контура K, то однозначно определен интеграл:
f(x, y) dx. |
(4) |
K
ЗАМЕЧАНИЕ. Заметим, что интеграл (4) не зависит от выбора начальной и конечной точек кривой K. Для доказательства данного факта достаточно рассмотреть разбиение контура K такое, что точки A, B, A , B являются точками деления. Сделайте это самостоятельно.
Если задан контур K, но не определено направление, то даже задание начальной и конечной точек не определяет направление на K и (4) однозначно не вычисляется.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 6.3. Пусть K — контур (или несколько контуров) ограничивающий область D. Говорят, что контур K положительно ориентирован (при правой системе координат), если на этом контуре выбрано такое направление обхода, при котором область D остается слева. Контур K ориентирован отрицательно, если на нем выбрано направление обхода, при котором область D остается справа.