Орловский Определенный интеграл.Практикум Част 2 2010

где h = (b − a)/4.

При x = 0, очевидно, y = 0. Для вычисления y1 = y(π/3)

≈ 0,0872664626 [1 + 0,8269933431 + 4(0,9886159295+

+0,9003163162) + 2 · 0,9549296586] ≈ 0,9854636536 ≈ 0,99.

Величина

По формуле Симпсона с a = π/3, b = 2π/3, h = π/12, получаем для последнего интеграла следующее приближенное значение:

≈ 0,0872664626 [0,8269933431 + 0,4134966716+

+4(0,7379129756 + 0,5270806968) + 2 · 0,6366197724] ≈

≈ 0,6609303786 ≈ 0,66.

Таким образом,

y2 ≈ y1 + 0,66 ≈ 0,99 + 0,66 = 1,65.

Величина

291

≈ 0,0872664626 [0,4134966716 + 0 + 4(0,3001054387+

+0,0898741754) + 2 · 0,1909859317] ≈ 0,2055462908 ≈ 0,21.

Таким образом,

y3 ≈ y2 + 0,21 ≈ 1,65 + 0,21 = 1,86.

Величина

Для последнего интеграла по формуле Симпсона с a = π, b = = 4π/3, h = π/12 получаем следующее приближенное значение:

≈ 0,0872664626 [0 − 0,2067483358 − 4(0,0760473792+

+0,1800632632)−2 · 0,1364185227] ≈−0,1312511989 ≈−0,13.

Таким образом,

y4 ≈ y3 − 0,13 ≈ 1,86 − 0,13 = 1,73.

Величина

292

По формуле Симпсона с a = 4π/3, b = 5π/3, h = π/12, получаем для последнего интеграла приближенное значение

≈ 0,0872664626 [−0,2067483358 − 0,1653986686−

−4(0,2170332281 + 0,1941876252) − 2 · 0,2122065908] ≈

≈ −0,2130561465 ≈ −0,21.

Таким образом,

y5 ≈ y4 − 0,21 ≈ 1,73 − 0,21 = 1,52.

Величина

Для последнего интеграла по формуле Симпсона с a = 5π/3, b = 2π, h = π/12, получаем следующее приближенное значение:

≈ 0,0872664626 [−0,1653986686 + 0 − 4(0,1286166166+

+0,0429833013)−2 · 0,0868117871] ≈−0,0894849431 ≈−0,09.

Таким образом,

y6 ≈ y5 − 0,09 ≈ 1,52 − 0,09 = 1,43.

Окончательная таблица значений функции y(x) имеет следующий вид:

293

Примерный график функции представлен на рис. 12.1.

Рис. 12.1

294

Решения и ответы к задачам

Задача 1. Пусть F (x) обозначает силу давления жидкости на часть пластины, состоящую из точек с абсциссами, не превосходящими x. Сила давления на участок пластины, находящийся на глубине от x до x + ∆x, равна ∆F (x) = F (x + ∆x) −F (x) (величину ∆x считаем положительной). Площадь этой части пластины

x∫+∆x

x

В предположении непрерывности функции l(x) можно воспользоваться теоремой о среднем: ∆S = l(x)∆x, где точка x [x; x+ +∆x]. Среднее давление на рассматриваемый участок

pср = ∆F (x) = F (x + ∆x) − F (x) .

∆S l(x)∆x

Несложно убедиться, что полученная формула справедлива и при ∆x < 0 (в этом случае x [x + ∆x; x]). Переходя к пределу при ∆x → 0, получаем для давления жидкости p(x) следующую формулу:

p(x) = F ′(x) . l(x)

Эту формулу можно записать в виде F ′(x) = p(x)l(x). После интегрирования полученного равенства и применения формулы

295

Ньютона – Лейбница, находим

∫b ∫b

F = F (b) = F (b) − F (a) = F ′(x) dx = p(x)l(x) dx.

a a

Задача 2. Рассмотрим декартову систему координат с осью Oz, направленной вдоль оси вращения шара, и центром, совпадающим с центром шара. Кинетическая энергия шара Ω

∫

E = 12

Ω

где v – модуль векторного поля скоростей шара. Переходя к цилиндрическим координатам x = r cos φ, y = r sin φ и учитывая, что v = ωr, получаем:

296

Список литературы

1.Орловский Д. Г. Неопределенный интеграл. Практикум. – СПб.: Лань, 2006.

2.Зорич В. А. Математический анализ, Т.1. – М.: Наука, 1981.

3.Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, Т.2. – М.: Наука, 1969.

4.Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа, Т.1. – М.: Высшая школа, 1981.

5.Никольский С. М. Курс математического анализа, Т.1. – М.: Наука, 1983.

6.Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Задачи и упражнения по математическому анализу. Кн.1, Кн.2. – М.: Высшая школа, 2000.

7.Демидович Б.П˙ . Сборник задач и упражнений по математическому анализу. – М.: Наука, 1990.

8.Ляшко И. И., Боярчук А. К., Гай Я. Г., Головач Г. П. Справочное пособие по высшей математике. Т.1. – М.: Едиториал,

УРСС, 2001.

9. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды, Элементарные функции. – Москва.: Наука, 1981.

297

Предметный указатель

298

Содержание

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Глава 6. Площадь фигуры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 6.1. Площадь криволинейного прямоугольника . . . . . . . . . . . . . 4

6.2. Площадь фигуры, ограниченной параметрическими кривыми. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

6.3. Площадь в полярных координатах . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Глава 7. Длина дуги кривой . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 7.1. Длина дуги в прямоугольных координатах. . . . . . . . . . . .77 7.2. Длина дуги параметрической кривой. . . . . . . . . . . . . . . . . .84 7.3. Длина дуги в полярных координатах. . . . . . . . . . . . . . . . . .90 7.4. Разные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 Глава 8. Объем тела . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 8.1. Объем тела по известным поперечным сечениям. . . . .105 8.2. Объем тела вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 Глава 9. Площадь поверхности вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 Глава 10. Вычисление моментов и центра тяжести. . . . . . . . . . .205 10.1. Вычисление моментов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 10.2. Координаты центра тяжести . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 Глава 11. Задачи из механики и физики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237 Глава 12. Приближенное вычисление интегралов . . . . . . . . . . . . 267 Решения и ответы к задачам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .297 Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298

299