Орловский Определенный интеграл.Практикум Част 2 2010

0

√[ √

б). К сожалению, здесь нельзя использовать предыдущий результат, переставив a и b местами, так как при вычислении интеграла существенно использовалось неравенство b 6 a. Это неравенство делает случаи а) и б) неравноправными и здесь нам придется вычислить интеграл снова. Поверхность образована вращением вокруг оси Oy графика функции

√

y2

x(y) = a 1 − b2 (−b 6 y 6 b).

По формуле (9.5)

∫b √

P = 2π x(y) 1 + x′2(y) dy.

−b

181

Учитывая четность подынтегральной функции, после преобразований так же как и в случае а) получаем табличный интеграл (но другой):

√[ √

ответ можно переписать в следующем виде:

P= 2πa2 + 2πb2 ln a(1 + ε) .

εb

2491. x2 + (y − b)2 = a2 (b > a) вокруг оси Ox.

182

Заданная кривая представляет собой окружность с центром (0; b) радиуса a. При ее вращении вогруг оси Ox получается поверхность, называемая тором. Окружность можно рассматривать как объединение графиков двух функций:

√ √

y1(x) = b − a2 − x2, y2(x) = b + a2 − x2.

Площадь поверхности вращения P является суммой площадей поверхностей вращений P1 – площадь поверхности вращения нижней полуокружности и P2 – площадь поверхности вращения верхней полуокружности. По формуле (9.2)

Кривая (астроида) симметрична относительно обеих координатных осей. Поэтому искомая площадь P в два раза больше площади поверхности вращения части кривой, лежащей в первой четверти. Эта часть кривой явлется графиком функции

y(x) = (a2/3 − x2/3)3/2, (0 6 x 6 a).

183

Полученный интеграл от дифференциального бинома рационализируется подстановкой

√

z = a2/3 − x2/3.

Выполняя подстановку, получаем

Oy.

а). Поверхность вращения заданной функции вокруг оси Ox называется катеноидом. Используя формулу (9.2), четность подынтегральной функции и тождества

184

б). Так как кривая симметрична относительно оси вращения, то достаточно рассмотреть участок кривой, лежащий в первой четверти, т. е. при x [0; b]. Найдем функцию, обратную к

y = a ch xa

на участке [0; b]. Для этого положим

z = ex/a,

()

Из четности функции y(x) следует, что полученные решения отличаются знаком, поэтому чтобы получить неотрицательное решение, нужно из этих двух решений выбрать большее, т. е. корень нужно брать со знаком плюс. Окончательно получаем

185

Учитывая, что

x′(y) = √ a

y2 − a2

a

186

Пусть x(y) – функция, задаваемая знаком “плюс”, т. е.

√

x = a ln a + a2 − y2 − √a2 − y2. y

Отметим, что график этой функции называется трактрисой. Несмотря на сложность формулы, представляющую функции, ее

производная имеет достаточно простой вид:

√

Область определения функции x(y) – промежуток y (0; a]. Так как производная отрицательна в интервале (0; a), то эта функция имеет обратную, которую мы обозначим y(x).

Графики функций ±x(y) представлены на рис. 9.1.

x = −x(y)

Рис. 9.1

Они симметричны относительно оси Oy, поэтому площадь поверхности вращения графиков функций x = ±x(y) вокруг оси Ox в два раза больше, чем площадь поверхности вращения графика одной функции x(y), поэтому, по формуле (9.2):

187

Переходя в интеграле к переменной y, получаем

Меняя пределы интегрирования и учитывая, что x′(y) 6 0, получаем

2495. x = a(t − sin t), y = a(1 − cos t) (0 6 t 6 2π): а) вокруг оси Ox; б) вокруг оси Oy; в) вокруг прямой y = 2a.

а). Применяя формулу (9.3) и учитывая, что при t [0; 2π]

188

Вычислим сначала неопределенные интегралы. Первый интеграл берется интегрированием по частям: