Орловский Определенный интеграл.Практикум Част 2 2010
.pdf
|
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
O1 |
a |
C |
|
|
|
6 |
M |
|
AA |
N |
|
|
h |
6 |
|
|
A |
|
|
|
z |
|
|
AA |
x |
|
|
|
A |
|
A |
||
? |
? |
|
- |
|
||
|
O |
|
|
|
D |
|
Рис. 8.5
Отрезок OO1, полуоси оснований OD, O1C и образующая конуса CD составляют трапецию OO1CD. C этой трапецией плоскость z = const пересекается по отрезку MN, параллельному основаниям и отстоящему на расстояние z от нижнего основания. Этот отрезок имеет длину d1 и по формуле (8.2)
z d1 = A − (A − a) h.
Аналогично
z d2 = B − (B − b) h.
Согласно задаче 2403 площадь эллипса с полуосями d1 и d2 равна πd1d2. Следовательно, площадь сечения
S(z) = πd1d2 = π ( |
|
|
)(B |
|
b) |
||
(A − a |
− |
|
z2− |
||||
|
h2 |
|
|
||||
|
+ (B |
|
b)A |
|
|
|
|
− |
(A − a)B |
− |
|
z + AB). |
|||
h |
|
|
|||||
Величина S(z) только множителем π отличается от аналогичной величины S(z) в задаче 2457, поэтому объем тела
∫h
V = S(z) dz
0
111
отличается от ответа задачи 2457 тем же множителем π:
V = π (2A + a)B + (A + 2a)b h.
6
2459. Найти объем параболоида вращения, основание которого S, а высота равна H.
Выберем начало декартовой системы координат в вершине параболоида и осью Oz, направленной вдоль его оси (рис. 8.6).
z
6
y
- x O
Рис. 8.6
Основание параболоида находится в плоскости z = H, а его
радиус R определяется из соотношения S = πR2, т. е.
√
R = Sπ .
По условию задачи параболоид получен вращением вокруг оси Oz графика функции z = ax2 (рис. 8.7).
Величину a находим из условия z(R) = H. Учитывая определенное выше значение R, получаем уравнение:
a Sπ = H,
откуда находим a = πHS . Таким образом, параболоид получается
вращением кривой
z = πHS x2.
112
H q6z
Rq |
- |
O |
x |
Рис. 8.7
Сечение параболоида плоскостью z = const представлет собой круг. Радиус круга находим, решая последнее уравнение относительно x: √
x(z) = πHSz .
Площадь сечения тела плоскостью z = const
S(z) = π [x(z)]2 = SzH .
Объем тела
H |
|
S |
H |
|
S |
|
H |
1 |
|
||
0 |
|
0 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
V = ∫ |
S(z) dz = |
H |
∫ |
z dz = |
2H |
z2 |
0 |
= |
2 |
SH. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2460. Пусть для кубируемого тела площадь S = S(x) его поперечного сечения, перпендикулярного к оси Ox, изменяется по квадратичному закону:
S(x) = Ax2 + Bx + C (a 6 x 6 b),
где A, B и C – постоянные.
Доказать, что объем этого тела равен:
V = |
H |
[S(a) + 4S ( |
a + b |
) + S(b)], |
6 |
2 |
113
где H = b − a (формула Симпсона). Вычислим объем тела:
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ax3 |
|
Bx2 |
|
|
|
b |
|
||||
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
V = ∫ (ax2 + Bx + C)dx = ( |
3 |
|
|
+ |
|
2 |
+ Cx) a |
= |
|||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
A |
(b3 |
− a3) + |
B |
(b2 − a2) + C(b − a) = |
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
− a) [ |
A |
|
|
|
|
B |
(b + a) + C] = |
|
||||||||||||||
|
|
= (b |
|
(b2 + ab + a2) + |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
3 |
2 |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
= |
H |
[2A(b2 + ab + a2) + 3B(b + a) + 6C]. |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
Вычислим правую часть доказываемой формулы: |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
a + b |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
[S(a) + 4S ( |
|
) + S(b)] = |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
6 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||
= |
H |
[(Aa2 + Ba + C) + 4(A |
a2 + 2ab + b2 |
+ B |
a + b |
+ C)+ |
||||||||||||||||||||
6 |
4 |
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||
][
+(Ab2 + Bb + C) = H6 (Aa2 + Ba + C)+A(a2 + 2ab + b2)+
]
+ 2B(a + b) + 4C + (Ab2 + Bb + C)) =
= H6 [2A(b2 + ab + a2) + 3B(b + a) + 6C].
Сравнивая полученные результаты, получаем нужную формулу. 2461.Тело представляет собой множество точек M(x; y; z), где 0 6 z 6 1, причем 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1, если z рационально, и −1 6 x 6 0, −1 6 y 6 0, если z иррационально. Доказать, что объем этого тела не существует, хотя соответствующий интеграл
∫1
S(z) dz = 1.
0
114
Любое описанное многогранное тело должно содержать два куба:
K1 = {(x; y; z) : 0 6 x 6 1, 0 6 y 6 1, 0 6 z 6 1},
K2 = {(x; y; z) : −1 6 x 6 0, −1 6 y 6 0, −1 6 z 6 0}.
Следовательно, верхний объем тела (точная нижняя грань объемов описанных многогранных тел) равен 2. С другой стороны, вписанным многогранным телом может быть только пустое множество, поэтому нижний объем тела (точная верхняя грань объемов вписанных многогранных тел) равен 0. Так как верхний и нижний объемы не совпадают, то тело не кубируемо.
Однако, как нетрудно видеть, при любом z площадь поперечного сечения тела S(z) = 1 и
∫1 ∫1
S(z) dz = dz = 1.
00
Найти объемы тел, ограниченных следующими поверхностя-
ми:
2462. |
x2 |
+ |
y2 |
= 1, z = |
c |
x, z = 0. |
|
a2 |
b2 |
a |
|||||
|
|
|
|
Тело, отсекаемое от цилиндра с помощью двух плоскостей:
z = 0, z = ac x,
изображено на рис. 8.8. На этом же рисунке показано сечение тела плоскостью x = const, представляющее собой прямоугольник.
115
z
6
|
|
|
|
|
1y |
|
bq |
|
|
|
|
−bq Oq |
|
aqPPPPqPx |
|||
Рис. 8.8 |
|
||||
|
|||||
|
|
|
|
||
Строго говоря, указанные в задаче поверхности отделяют еще одну часть цилиндра, которая расположена симметрично изображенному на рисунке телу относительно начала координат. Однако согласно ответу в задачнике Демидовича, она не учавствует в рассмотрении (в противном случае ответ следовало бы удвоить). Для вычисления площади поперечного сечения S(x) необходимо найти стороны прямоугольника этого сечения. В основании цилиндра лежит эллипс. Из уравнения эллипса, лежащего в ос-
новании цилиндра,
√
x2 y = ±b 1 − a2
находим длину d1 горизонтальной стороны:
√
x2 d1 = 2|y| = 2b 1 − a2 .
Длина вертикальной стороны d2 находится из уравнения плоскости, ограничивающей тело
c
d2 = a x.
116
Таким образом, площадь поперечного сечения тела
√
|
|
|
|
S(x) = d1d2 = |
|
2bcx |
1 − |
x2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
a |
a2 |
||||||||||||||||||
Объем тела |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x√1 − |
x2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bc |
|||||||||||||
|
|
V = ∫0 |
S(x) dx = |
2 |
|
∫0 |
|
|
|
dx. |
||||||||||||||
|
|
a |
a2 |
|||||||||||||||||||||
Делая в интеграле замену u = 1 |
|
− |
x2 |
, получаем: |
||||||||||||||||||||
|
a2 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
|
√u du = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
= 3 abc. |
|||||||||||||||
|
|
V = abc ∫ |
|
u3/2 0 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2abc |
|
|
2 |
|
||||||||
2463. |
x2 |
+ |
y2 |
+ |
z2 |
|
= 1 (эллипсоид). |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
a2 |
b2 |
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Уравнение сечения эллипсоида плоскостью x = const находим оставляя в левой части исходного уравнения слагаемые, содержащие только y и z:
y2 |
+ |
z2 |
= 1 |
− |
x2 |
|
|
|
|
. |
|||
b2 |
c2 |
a2 |
||||
Полученное уравнение описывает эллипс. Записав его в каноническом виде:
|
|
y2 |
|
+ |
|
|
z2 |
|
= 1, |
||
(b |
|
|
|
2 |
(c |
|
|
|
2 |
||
√1 − a2 |
) |
|
√1 − a2 |
) |
|
||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
находим полуоси сечения:
√√
|
|
x2 |
|
x2 |
||
ay = b 1 |
− |
|
, az = c 1 |
− |
|
. |
a2 |
a2 |
|||||
117
Согласно решению задачи 2403 площадь сечения равна
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
S(x) = πayaz = πbc (1 − |
|
|
|
). |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
a2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Объем тела |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
a |
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
V = ∫ S(x) dx = πbc ∫ (1 |
− |
|
)dx. |
|
|
||||||||||||||
|
a2 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
−a |
|
|
|
−a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В силу четности подынтегральной функции |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
a |
|
x2 |
|
|
|
x3 |
|
a |
|
4 |
|
||||||
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
V = 2πbc ∫ (1 − |
a2 |
)dx = 2πbc (x |
− |
3a2 |
) 0 |
= |
3 |
πabc. |
||||||||||||
|
x2 |
|
y2 |
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2464. |
|
+ |
|
− |
|
= 1, z = ±c. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
a2 |
b2 |
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Рассматриваемое тело представляет собой внутренность однополостного гиперболоида, заключенную между плоскостями z = ±c (рис. 8.9).
z
6
O q |
|
|
|
|
|
||||
|
- |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
x |
|
|
|
|
|
||||
Рис. 8.9
118
Уравнение сечения эллипсоида плоскостью z = const находим оставляя в левой части исходного уравнения слагаемые, со-
держащие только x и y: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
y2 |
z2 |
||||
|
|
+ |
|
|
= 1 + |
|
|
. |
2 |
b |
2 |
c |
2 |
||||
|
a |
|
|
|
|
|
||
Полученное уравнение описывает эллипс. Записав его в каноническом виде:
|
|
x2 |
2 + |
|
y2 |
2 = 1, |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a 1 + |
z2 |
) (b 1 + |
z2 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
c2 |
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
находим полуоси сечения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
ax = a 1 + |
, ay = b 1 + |
. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
c2 |
c2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Согласно решению задачи 2403 площадь сечения равна |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
S(z) = πaxay = πab (1 + |
|
|
). |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
c2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Объем тела |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
c |
|
|
|
|
|
c |
z2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
V = ∫ S(z) dz = πab ∫ (1 + |
|
)dz. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
c2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
−c |
|
|
|
|
|
−c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
В силу четности подынтегральной функции |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
8 |
|
|||||||
0 |
|
z2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
πabc. |
|||||||||||||
V = 2πab ∫ (1 + c2 )dz = 2πab (z + 3zc2 ) 0 |
3 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2465. x2 + z2 = a2, y2 + z2 = a2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Рассматриваемое тело симметрично относительно плоскости xOy, его часть, расположенная над этой плоскостью, показана на
119
рис. 8.10. На этом же рисунке показано сечение тела плоскостью
√
z = const, представляющее собой квадрат со стороной 2 a2 − z2. Площадь этого квадрата
S(z) = 4(a2 − z2).
|
z |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Oq |
|
|
|
|
|
|
- |
|
|
||||
|
|
y |
||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
Рис. 8.10 |
|
|
|
Объем тела
∫a ∫a ∫a
V = S(z) dz = 4 (a2 − z2)dz = 8 (a2 − z2)dz =
|
−a |
−a |
|
|
|
|
|
0 |
||
|
|
|
|
|
3 |
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
) 0 = |
16 |
|
|||
|
|
|
= 8 (a2z − |
z |
a3. |
|||||
|
x2 |
+ y2 |
3 |
3 |
||||||
2466. |
+ z2 = a2 |
, |
x2 + y2 = ax |
|
||||||
|
|
|
|
|
. |
|
||||
Тело, объем которого нужно вычислить, симметрично относительно плоскости xOy. Часть этого тела, лежащая над плоскостью xOy показана на рис. 8.11. На этом же рисунке показано сечение плоскостью x = const.
Для определения объема воспользуемся формулой (8.1). Проекция сечения сферы x2 + y2 + z2 = a2 плоскостью x = const
на плоскость yOz представляет окружность с центром в нача-
√
ле координат и радиусом a2 − x2. Проекция сечения цилиндра
120