Орловский Определенный интеграл.Практикум Част 2 2010

Подставляя сюда явные выражения для x˜(φ) и y˜(φ), приходим к следующему интегралу:

∫π (

Учитывая нечетность cos φ относительно точки φ = π/2, выбрасываем равные нулю интегралы от нечетных степеней косинуса и удваиваем интегралы от четных степеней, заменяя верхний предел интегрирования на π/2. Таким образом,

находим

()

2484. (x2 + y2)2 = a2(x2 − y2): а) вокруг оси Ox; б) вокруг оси Oy; в) вокруг прямой y = x.

Переходя в полярные координаты x = r cos φ, y = r sin φ,

получаем уравнение лемнискаты:

√

r = a cos 2φ.

График кривой определен в двух секторах:

−π/4 6 φ 6 π/4, 3π/4 6 φ 6 5π/4.

161

Данная кривая симметрична относительно обеих координатных осей (рис. 8.26).

Рис. 8.26

а). В силу симметрии кривой вращение ее части, отвечающей

значениям φ [0; π/4] дает половину объема. Применяя форму-

√

лу (8.9) и делая последовательно замены u = cos φ и z = 2 u,

Полученный интеграл вычисляем методом неопределенных коэффициентов. Учитывая четность подынтегральной функции,

162

Дифференцируя это разложение и освобождаясь от знаменателя, приходим к тождеству

z4 − 2z2 + 1 = 4Az4 + (2B − 3A)z2 + (λ − B).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях и решая полученную систему, находим:

б). Перейдем в другую систему координат, поменяв x и y местами, т. е., сделав замену:

{

x˜ = y, y˜ = x.

В полярных координатах это равносильно замене φ на π2 − φ. В новой системе координат получаем уравнение

√

r = a − cos 2φ.

График лемнискаты в новой системе координат представлен на рис. 8.27.

163

6y˜

Рис. 8.27

Теперь, нужно вычислить объем тела вращения вогруг оси Ox˜. Вращение участка кривой, который отвечает значениям φ

[π/4; π/2], дает половину объема. Применяя формулу (8.9) и

√

делая последовательно замены u = cos φ и z = 2 u, получаем:

Полученный интеграл можно взять с помощью тригонометриче-

164

ской подстановки z = sin t:

в). Повернем систему координат на π/4. В полярных координатах это равносильно замене φ на φ + π/4. Таким образом, в новой системе координат xO˜ y˜ получаем уравнение

√

r = a − sin 2φ.

График кривой в новой системе координат можно видеть на рис. 8.28. Эта кривая должна теперь вращаться вокруг оси Ox˜.

Рис. 8.28

Участок кривой, отвечающий φ [π/2; π], дает при вращении половину объема. По формуле (8.9)

165

Делая в полученном интеграле последовательно замены φ = u+ +π/2 и t = sin2 t, получаем:

= 4πa3√2 ∫1 t1/4(1 − t)3/4dt.

3

0

Если читатель знаком с гамма- и бетафункциями Эйлера, то интеграл можно вычислить сразу:

166

По формуле дополнения для гаммафункции

Если читатель не знает эйлеровские интегралы, то ему нужно проинтегрировать дифференциальный бином. Этот бином сводится к интегралу от рациональной функции заменой

√

z = 4 1 −t t.

Эта замена приводит к следующему интегралу:

Для вычисления интеграла от рациональной функции можно воспользоваться методом Остроградского. Учитывая соображения четности можно написать разложение:

После дифференцирования и освобождения от знаменателя приходим к тождеству:

z6 = (α − A)z10 + (β − 3B)z8 + (7A − 5C + 2α)z6+

+(5B − 7D + 2β)z4 + (3C + α)z2 + (D + β).

167

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях и решая полученную систему, находим:

Так как подстановки в нуле и на бесконечности внеинтегрального члена дают нули, то получаем следующее равенство:

Последний интеграл вычисляется заменой v = 1/z:

00

Учитывая, что первообразная разрывна в точке v = 1, при использовании формулы Ньютона – Лейбница интеграл нужно разбить на два: от нуля до единицы и от единицы до бесконечности. Подстановки дают следующее значение:

и для дифференциального бинома получаем:

168

2484.1. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной полувитком спирали Архимеда:

r = aφ (a > 0; 0 6 φ 6 π),

вокруг полярной оси. Согласно формуле (8.9)

Полученный интеграл можно найти в [7] (задача 2067):

∫

φ3 sin φ dφ = −(φ3 − 6φ) cos φ + (3φ2 − 6) sin φ + C.

Таким образом,

2484.2. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями: φ = πr3, φ = π, вокруг полярной оси.

Тело получается вращением графика функции

169

Интегрируя по частям, находим

∫∫

φ sin φ dφ = − φ d(cos φ) =

∫

= −φ cos φ + cos φ dφ = −φ cos φ + sin φ + C.

Следовательно,

2485. Найти объем тела, образованного вращением фигуры a 6 r 6 a√2 sin 2φ

вокруг полярной оси.

√

Графики кривых r = a (окружность) и r = a 2 sin 2φ (лемниската) изображены на рис. 8.29.

Рис. 8.29 Часть фигуры, лежащая в первой четверти, дает половину

всего объема. На рис. 8.29 она ограничена дугами AB и ACB. Эта половина объема равна разности объемов двух тел. Первое из них получено вращением фигуры, ограниченной лучами φ = π/12, φ = 5π/12 и дугой лемнискаты ACB, второе тело

170