Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Национальный исследовательский ядерный университет (МИФИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Орловский Определенный интеграл.Практикум Част 2 2010

.pdf

Скачиваний:

813

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

3 Мб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3018 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

ограничено теми же лучами и дугой окружности AB. Обозначим объемы этих тел, соответственно, V1 и V2, тогда искомый

объем V = 2(V1 − V2). Объемы V1

и V2

вычисляем по формуле

(8.9). Первый объем вычисляется довольно долго:

5π/12

)

π/12

( √

∫

V1 =

a 2 sin 2φ

sin φ dφ =

√

5π/12

πa3

∫

(2 sin φ cos φ)3/2 sin φ dφ =

π/12

5π/12

πa3

∫

sin5/2 φ cos3/2 φ dφ.

π/12

Полученный интеграл заменой t = sin2 φ сводится к интегралу от дифференциального бинома:

5π/12

sin2(5π/12)

∫

sin5/2 φ cos3/2

φ dφ =

∫

t3/4(1 − t)1/4dt.

π/12

sin

(π/12)

Так как

√

sin2

(1 − cos

) =

−

5π

√

sin2

(1 − cos

) =

2 +

то

(2+√

3)/4

V1 =

πa3

∫

t3/4(1 − t)1/4dt.

√

(2− 3)/4

171

Интеграл от дифференциального бинома сводится к интегралу от рациональной функции заменой

√

z = 4 1 −t t.

Вычислим новые пределы интегрирования. Нижний предел

2 +

√

+ √

3)2

z1 = √4

√

= √2 + √3 =

2 −

4 − 3

√

+ 1

= √

√4 + 2√3 = √

√(√3 + 1)2 =

√

Верхний предел интегрирования

2 −

√

(2 − √

3)2

= 2

√

2 +

√3

√

4 − 3

√

−

√

2√

= 1

(√

1)2 =

3 − 1

√2

√

−

√2

√

−

√2

Выполняя замену и убирая знак минус перед интегралом с помощью перемены пределов интегрирования, получаем:

3+1

πa3

z4dz

∫

V1 =

(z4 + 1)3

3 1

Для вычисления интеграла от рациональной функции можно использовать метод Остроградского. В силу четности подынтегральной функции можно записать следующее разложение:

∫	z4dz	=	Az7	+	Bz5 + Cz3 + Dz	+ ∫	αz2 + β	dz.
∫	(z4 + 1)3	=			(z4 + 1)2	+ ∫	z4 + 1	dz.

172

Дифференцируя и освобождаясь от знаменателя, получаем тождество:

z4 = (α − A)z10 + (β − 3B)z8 + (7A − 5C + 2α)z6+

+(5B − 7D + 2β)z4 + (3C + α)z2 + (D + β).

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях и решая

полученную систему, находим:

A = 0, B =

, C = 0, D = −

, α = 0, β =

Следовательно,

∫

z4dz

∫

−

(z4 + 1)3

32(z4 + 1)2

z4 + 1

Оставшийся интеграл имеется в [7] (задача 1884):

∫

z2 + z√

+ 1

z√

4√

z2 − z√

+ 1

2√

arctg

+ C.

z4 + 1

1 − z2

Таким образом,

∫

z4dz

z2 + z√

+ 1

−

128√

z2 − z√

+ 1

(z4 + 1)3

32(z4 + 1)2

√

3z 2

+64√2 arctg 1 − z2 + C.

При применении формулы Ньютона – Лебница нужно учитывать, что первообразная разрывна в точке z = 1 и

√

3 − 1

< 1 <

3 + 1

√2

Выполняя подстановки, получаем:

√2

+ z√2 + 1

3+1

z5 3z

3+1

32(z4−+ 1)2

p3 1

z√2 + 1

p3 1

= 0,

−

173

√2

z√2

p3+1

arctg 1z

= arctg 1

1 + arctg 1

−

= (

−

) + (−

) =

Возвращаясь к интегралу по переменной z, находим

3+1

√

∫

z4dz

3π

128√

· 0 +

64√

128√

(z4 + 1)3

3 1

Таким образом, для первого объема получаем следующее значе-

ние:

πa3

(

√

3π

) =

πa3√

π2a3

V1 =

128√

4√

Второй объем вычисляется без особого труда:

2π

5π/12

πa3

5π/12

V2 =

∫

a3 sin φ dφ = −

cos φ π/12

π/12

πa3

5π

4πa3

π πa3√

(cos

− cos

)

sin

Наконец, вычисляем искомый объем:

V = 2(V1 − V2) = 2 (

3√

π2a3

3√

) =

π2a3

πa

4√

−

πa

2√

174

Глава 9

Площадь поверхности вращения

Площадь поверхности, образованной вращением гладкой кривой AB вокруг оси Ox, равна

∫B
P = 2π \|y\|ds,	(9.1)

где ds – дифференциал дуги.

В зависимости от того, в каком виде задана кривая AB, формула (9.1) принимает тот или иной конкретный вид. Так, если кривая представляет собой график функции y(x), определенной на отрезке [a; b], то площадь поверхности вращения

∫b	√

P = 2π	\|y(x)\| 1 + y′2(x) dx.	(9.2)

В том случае, когда кривая задана параметрически:

{

x = x(t), y = y(t),

где x(t) и y(t) – функции, заданные на отрезке [α; β], то площадь

P = 2π ∫β \|y(t)\|
P = 2π ∫β \|y(t)\|		x′2	(t) + y′2(t) dt.	(9.3)
α	√

175

Если кривая задана в полярных координатах
r = r(φ), α 6 φ 6 β,
где x = r cos φ, y = r sin φ, то
P = 2π ∫β r(φ)\| sin φ\|	r2(φ) + r′2	(φ) dφ.	(9.4)
α	√

При вычислении площади поверхности вращения вокруг оси, не совпадающей с осью абсцисс, нужно перейти в другую систему координат так, чтобы ось вращения стала новой осью абсцисс. В частности, если необходимо найти площадь поверхности вращения вокруг оси Oy графика функции x(y), определенной на отрезке [c; d], то эта площадь

P = 2π ∫d \|x(y)\|
P = 2π ∫d \|x(y)\|		1 + x′2	(y) dy.	(9.5)
c	√

В том случае, когда кривая задана параметрически:

{

x = x(t), y = y(t),

где x(t) и y(t) – функции, заданные на отрезке [α; β], то площадь поверхности вращения этой кривой вокруг оси Oy можно вычислить по формуле

P = 2π ∫β \|x(t)\|
P = 2π ∫β \|x(t)\|		x′2	(t) + y′2	(t) dt.	(9.6)
α	√

Если же кривая задана в полярных координатах равенством

r = r(φ), α 6 φ 6 β,

176

где x = r cos φ, y = r sin φ, то площадь поверхности вращения кривой вокруг оси Oy определяется формулой

P = 2π ∫β r(φ)| cos φ|

r2(φ) + r′2(φ) dφ.

(9.7)

√

Найти площади поверхностей, образованных вращением сле-

дующих кривых:

2486. y = x√

(0 6 x 6 a) вокруг оси Ox.

По формуле (9.2)

√1 +

x √

P = 2π ∫0

dx =

∫0 x3/2(4a + 9x)1/2dx.

Для интегрирования дифференциального бинома рационализируем интеграл заменой

z = √	4a		+ 9x
						,
			x
которая дает	+∞
					z2dz
P = 128πa2	∫						.
				(z2 − 9)4
√		13

Используя рекуррентное соотношение из [1] (задача 1921), нахо-

дим:

∫

z2dz

= −

−

(z2 − 9)4

6(z2 − 9)3

216(z2 − 9)2

−

+ 1296(z2

−

7776 ln

+ C.

Таким образом, площадь поверхности вращения

P = 128πa2

(−

−

6(z2

9)3

216(z2

−

9)2

1296(z2

−

177

)

3 + z

+∞

4πa2

√13 + 3

−

(21√13 + ln

−

) =

−

√

7776

√

243

√13 + 3

πa

(21√13 + 2 ln

243

2487. y = a cos

πx

(|x| 6 b) вокруг оси Ox.

Используя формулу (9.2), учитывая четность подынтеграль-

ной функции и делая замену u =

πa

sin

πx

, получаем:

πx

(

πa

πx

)

P = 2π ∫ a cos

√1 +

sin

dx =

−

∫

(

)

0 √

πx

πa

πx

16b2 2b

= 4π a cos

√1 +

sin

dx =

1 + u2 du =

(

16b

√1 + u2 +

ln(u + √1 + u2 )) 0

πa + √

π2a2 + 4b2

= 2a√π2a2

+ 4b2 +

2488. y = tg x

(0 6 x 6 π/4) вокруг оси Ox.

Применяя формулу (9.2) и делая замену u = cos x, находим

sin x√1 + cos4 x

√1 + u4

π/4

P = 2π ∫

dx = 2π

∫

du.

cos3 x

1/√

С помощью замены

z = √

+ 1

178

сводим интеграл от дифференциального бинома к интегралу от рациональной функции:

P = π √

zz22 dz1

= π

√

(1 − 1

1 z2 )dz =

∫

−

√

= π (z −

1 + z

) √2 =

−

√

= π

(

5 + 1)(

2 − 1)

(

−

(√5

−

1)(√2 + 1) )

√

1)(√

+ 1)

= π (√5 − √2 + ln

( 5 −

2489. y2 = 2p x (0 6 x 6 x0): а) вокруг оси Ox; б) вокруг оси

Oy.

а). По формуле (9.2)

√

P = 2π ∫

2p x √1 +

dx = 2π 2p ∫ √x +

dx =

√

3/2

2π

√

+ p − p2].

= 4π 3 2p (x + 2 ) 0

3 [(2x0 + p) 2x0

б). По формуле (9.5) для

функции x(y) = y /2p получаем

√

2p x0

√

2p x0

√

∫

2π

∫

P = 2π

x(y)

1 + x′2(y) dy =

p2 + y2 dy.

Полученный интеграл имеется в [7] (задача 1820):

∫ y2√p2 + y2 dy = y(2y2 + p2) √p2 + y2−

179

−p4 ln(y + √p2 + y2 ) + C.

По формуле Ньютона – Лейбница

2π y(2y2 + p2)

√

2p x0

P =

(

p2 + y2 −

ln(y +

p2 + y2 )) 0

√

+ √

p + 2x0

2x0

[(p + 4x0)√2x0(p + 2x0) − p

√

2490.

= 1 (0 < b 6 a): а) вокруг оси Ox; б) вокруг

оси Oy.

а). Вращаемая кривая определяет эллипс, который симмет-

ричен относительно оси абсцисс. Следовательно, можно ограничиться частью кривой, лежащей в верхней полуплоскости. При вращении эта часть кривой дает ту же поверхность, что и весь эллипс. Решая уравнение эллипса относительно y, находим функцию, график которой дает верхнюю часть эллипса:

√
√			x2	(−a 6 x 6 a).
y(x) = b 1		−	x2
y(x) = b 1		−	a2
Применяя формулу (9.2), получаем:
	a
P = 2π ∫a y(x)				√		dx.
P = 2π ∫a y(x)				√	1 + y′2x	dx.
−

Учитывая четность подынтегральной функции, после преобра-

зований получаем табличный интеграл:

∫ √

a 1

b2x2

−

P = 2π b 1

(

)

dx =

− a2 v1 +

=4πb ∫a √a4 − (a2 − b2)x2 dx = a2

180

<<< < Предыдущая 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1718 / 3018 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
16.08.20131 Мб65Никифоров Взаимосвяз открытых систем 2010.pdf
#
16.08.2013646 Кб33Нормы радиационной безопасности (НРБ-99) 1999.pdf
#
16.08.201332 Мб132Нурушев Введение в поляризационную 2007.pdf
#
16.08.20137 Мб218Оганесян Введение в физику тяжелых ионов 2008.pdf
#
16.08.20131 Мб230Орловский Определенный интеграл.Практикум ч.1 2010.pdf
#
16.08.20133 Мб813Орловский Определенный интеграл.Практикум Част 2 2010.pdf
#
16.08.20133 Мб63Ошурко Химическое и биологическое действие 2008.pdf
#
16.08.20138 Мб68Ушаков Метод. рекомендации к вып. работ по курсу Биофизический практикум 2002.doc
#
16.08.2013759 Кб90Федоров Высокотемпературная сверхпроводимост.Тлеюсчий разряд 2010.pdf
#
16.08.20133 Мб343Федоров Лабораторный практикум 2008.pdf
#
16.08.20136 Мб197Федоров Однофотонная вычислителная томография 2008.pdf