+0,2007843137 + 0,1774081774 + 0,1641025641 + 0,1568627451+
+0,1461187215 + 0,1333333333 + 0,1198501873 + 0,1066666667+
+0,0943952802 = 3,1415926513.
Оставляя в ответе пять знаков после запятой, получаем
π ≈ 3,14159.
Замечание. В процессе вычислений необходимо также учитывать погрешность округления. В нашем случае значения всех дробей брались с десятью знаками после запятой, т. е. с точностью 10−10. При сложении 17 членов погрешность возрастает до 17 · 10−10 и не превышает 10−8, что не влияет на принятую точ-
ность вычисления числа π.
∫1
2541. Вычислить ex2 dx с точностью до 0,001.
0
Для функции y(x) = ex2 величина погрешности формулы Симпсона на отрезке [0; 1] с разбиением на n частей и шагом h = (b − a)/n имеет вид
Rn = − |
1 |
yIV (ξ) (ξ [0; 1]). |
180n4 |
Четвертая производная подынтегральной функции
yIV (x) = 4(4x4 + 12x2 + 3)ex2
возрастает на отрезке [0; 1] и свой максимум достигает при x = 1. Отсюда следует, что
|yIV (x)| 6 4(4 + 12 + 3)e = 76e.
Таким образом,
19e
|Rn| 6 45n4 .
Для обеспечения заданной точности достаточно, чтобы
|
|
|
|
|
|
|
|
19e |
< 0,001, |
|
45n4 |
|
|
|
|
что равносильно |
|
|
|
|
|
n > √4 |
|
|
|
|
|
3800e |
≈ 5, 82. |
|
|
9 |
|
Таким образом, достаточно взять n = 6. По формуле Симпсона
(12.3) c n = 6 имеем: |
|
|
|
6 ) |
+ y ( |
2 ) + y ( |
6 )) |
|
I6 |
= 18 |
[y(0) + y(1) + 4 (y ( |
+ |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
5 |
|
|
|
+2 |
(y ( |
3 ) + y |
( |
3 ))] ≈ 0,055556 [1 + 2,718282+ |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+4(1,028167 + 1,284025 + 2,002596)+ |
|
|
|
+2(1,117519 + 1,559623)] ≈ 1,462885.
Оставляя три значащих цифры после запятой, получаем требуемое приближенное значение:
∫1
ex2 dx ≈ 1,463.
0
|
1 |
1 |
|
|
2542. Вычислить ∫ (ex − 1) ln |
dx с точностью до 10−4. |
|
|
|
x |
0
Аппроксимируем функцию ex − 1 по формуле Тэйлора с дополнительным членом в форме Лагранжа:
|
n−1 xk |
|
eξ |
ex − 1 = |
∑ |
+ |
|
xn (ξ [0; 1]) |
|
k! |
n! |
|
k=1 |
|
|
|
и заменим подынтегральную функцию
f(x) = (ex − 1) ln x1
∫1
на функцию f˜(x) = (n∑−1 xk )ln 1 . k! x
k=1
Разность этих функций
f(x) − f˜(x) = eξ xn ln 1 . n! x
Так как при ξ [0; 1] величина eξ 6 e, то
|f(x) − f˜(x)| 6 ne! xn ln x1 .
|
Функция |
1 |
|
|
φ(x) = xn ln |
= −xn ln x |
|
|
|
x |
имеет производную
φ′(x) = −xn−1 (n ln x + 1) ,
которая меняет знак с плюса на минус в точке x = e−1/n образом, эта точка является точкой максимума функции отрезке [0; 1] и максимальное значение этой функции
φ(e−1/n) = n1e .
Отсюда следует, что при x [0; 1] |
|
|
|
|f(x) − f˜(x)| 6 |
|
1 |
. |
|
|
|
n |
· |
n! |
|
|
|
|
Оценивая разность интегралов от функций f(x) и f˜(x),
ем:
f(x) dx − ∫1 f˜(x) dx 6 ∫1 f(x) − f˜(x) dx 6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
1 |
∫01 dx = |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n · n! |
n · n! |
|
|
|
|
|
|
|
Выпишем несколько первых оценок: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
= 1; |
|
1 |
|
= 0,25; |
|
|
|
1 |
≈ 0,0556; |
|
|
1 |
≈ 0,0104; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
· |
1! |
|
2 |
· |
2! |
3 |
· |
3! |
4 |
· |
4! |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
≈ 0,0017; |
|
|
|
≈ 0,00023; |
|
|
≈ 0,0000283. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
· |
5! |
6 |
· |
6! |
7 |
· |
7! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Отсюда видно, что при замене исходного интеграла на интеграл от функции f˜(x) нужную точность обеспечивает значение n = 7. Погрешность вычисления в этом случае не превосходит 3 · 10−5.
Перейдем к вычислению интеграла от функции f˜(x). С помощью интегрирования по частям находим неопределенный интеграл:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
xk+1 |
∫ |
xk ln |
|
dx = − ∫ |
xk ln x dx = − ∫ |
ln x d ( |
|
) = |
x |
k + 1 |
|
xk+1 |
|
1 |
∫ |
|
xk+1 |
|
|
k+1 |
= − |
|
ln x + |
|
xkdx = − |
|
ln x + |
x |
+ C. |
k + 1 |
k + 1 |
k + 1 |
(k + 1)2 |
Далее, с помощью формулы Ньютона – Лейбница находим:
1 |
1 |
x2 |
x3 |
x4 |
x5 |
x6 |
1 |
|
|
|
|
∫ |
f˜(x) dx = ∫ (x + |
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
)ln |
|
dx = |
2 |
6 |
24 |
120 |
720 |
x |
00
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
= ∫0 |
x ln |
dx + |
|
∫0 |
x2 ln |
|
|
dx + |
|
∫0 |
x3 ln |
|
dx+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
x |
|
|
6 |
x |
|
1 |
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
+ |
∫0 |
x4 ln |
|
|
dx + |
|
|
|
∫0 |
x5 ln |
|
|
dx + |
|
∫0 |
x6 ln |
dx = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24 |
|
x |
120 |
|
x |
|
720 |
x |
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
x3 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= (− 2 ln x + |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
4 ) 0 |
2 (− 3 ln x + 9 ) 0 + |
|
1 |
|
|
|
x4 |
|
|
|
|
x4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x5 |
|
|
|
x5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
+ 6 (− 4 ln x + |
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 ) 0 |
|
|
24 (− 5 ln x + 25 ) 0 + |
|
1 |
|
|
|
|
x6 |
|
|
|
|
|
x6 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
x7 |
|
|
|
|
|
|
x7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
120 |
(− |
6 |
ln x + |
|
36 |
) 0 |
+ |
|
720 |
|
(− |
7 |
|
ln x + |
49 |
) 0 |
= |
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
+ |
|
+ |
|
+ |
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
18 |
96 |
|
600 |
4320 |
35280 |
|
|
|
|
|
|
Так как погрешность использованной формулы не превышает 3·10−5, то для обеспечения результирующей точности 10−4 достаточно, чтобы при замене обыкновенных дробей на десятичные, суммарная погрешность округления не превышала 10−5. Так как сумма содержит шесть слагаемых, то достаточно каждую дробь
брать с приближением |
10−6: |
|
|
|
|
|
|
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
+ |
1 |
≈ |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
18 |
96 |
600 |
4320 |
35280 |
≈ 0,25000000 + 0,05555556 + 0,01041667 + 0,00166667+
+0,00023148 + 0,00002834 = 0,31789872.
Оставляя четыре знака после запятой, получаем значение интеграла с требуемой точностью:
|
1 |
|
1 |
|
|
∫0 |
(ex − 1) ln |
dx ≈ 0,3179. |
|
x |
2543. Вычислить с точностью до 0,001 интеграл вероятно-
стей
∫+∞
e−x2 dx.
0
Заменим несобственный интеграл собственным:
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
I = ∫0 |
e−x2 dx ≈ J = ∫0 |
e−x2 dx. |
|
Погрешность этой формулы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
A |
|
+∞ |
∆1 = I − J = ∫ |
e−x2 dx − ∫ e−x2 dx = ∫ |
e−x2 dx |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
A |
|
можно оценить, делая замену переменной t = x2: |
|
|
|
|
|
1 |
+∞ |
|
|
|
|
∆1 = |
∫2 |
e−t |
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
dt. |
|
|
2 |
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
Так как на промежутке [A2; +∞) величина |
|
|
|
|
|
1 |
6 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
, |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
t |
|
|
|
то |
|
|
|
+∞ |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
e−A2 |
|
∆1 < |
|
|
∫2 |
e−tdt = |
|
. |
|
2A |
2A |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
Подберем значение A так, чтобы оно обеспечивало заданную
точность. Вычислим
e−A2 φ(A) = 2A
сначала при целых A. Имеем:
φ(1) =2e1 ≈0, 18, φ(2) =4e14 ≈0, 0046, φ(3) =6e19 ≈0, 0000206.
Таким образом, величину A можно брать в пределах от A = = 2, до A = 3. Оценим, далее, величину A с точностью до 0,1. Вычисления дают:
φ(2,1) ≈ 0,0029, φ(2,2) ≈ 0,0018,
286
φ(2,3) ≈ 0,0011, φ(2,4) ≈ 0,00066 < 0,00067.
Таким образом, выбор A = 2,4 обеспечивает точность приближения
|∆1| < 0,00067.
Для вычисления интеграла
∫2,4
J = e−x2 dx
0
воспользуемся формулой Симпсона. При разбиении отрезка интегрирования [a; b] (a = 0, b = 2,4) на n частей и шагом h = = (b −a)/n погрешность вычиления интеграла от функции f(x):
|
∆ |
2 |
= |
− |
(b − a)h4 |
fIV (ξ) (ξ |
|
[a; b]). |
|
180 |
|
|
|
|
|
Функция f(x) = e−x2 имеет четвертую производную
F (x) = fIV (x) = 4(4x4 − 12x2 + 3)e−x2 .
Исследуя эту функцию на максимум, находим
F ′(x) = −8x(4x4 − 20x2 + 15)e−x2 .
Приравнивая производную к нулю, находим точки экстремума. На рассматриваемый отрезoк [0; 2,4] попадают три точки: точка максимума
x = 0; F (x) = 12,
точка минимума
√√
x = 5 − 10 ≈ 0,96, F (x) ≈ −7, 42 2
иточка максимума
√√
x = 5 + 10 ≈ 2,02. F (x) ≈ 1, 39. 2
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
max fIV (x) |
= 12 |
|
[0;2,4] |
|
|
|
|
|
|
и погрешность формулы Симпсона |
|
|
|
|
(2,4)512 |
|
|
5,308416 |
|
|∆2| 6 |
|
|
= |
|
|
. |
180n4 |
n4 |
При n = 12 величина |
|
|
|
|
|
|
|
5,308416 |
0,000256 |
|
|
|
|
≈ |
|
|
n4 |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|∆2| < 0,00026.
Суммарная погрешность
|∆1 + ∆2| < 0,00067 + 0,00026 = 0,00093
обеспечивает заданную точность (при условии, что погрешность округлений не будет превышать, например, 10−5).
Формула Симпсона для n = 12 (с шагом h = 0,2):
J ≈ 302 [f(0) + f(2,4)+
+4 (f(0,2) + f(0,6) + f(1) + f(1,4) + f(1,8) + f(2,2)) + +2 (f(0,4) + f(0,8) + f(1,2) + f(1,6) + f(2))] ≈
≈ 0, 0666666667 [1 + 0,0031511116 + 4(0,9607894392+
+0,6976763261 + 0,3678794412 + 0,1408584209 + 0,0391638951+
+0,0079070541) + 2(0,8521437890 + 0,5272924240+ +0,2369277587 + 0,0773047404 + 0,0183156389)] ≈0,8856145418.
Оставляя четыре значащих цифры после запятой, получаем требуемое приближенное значение:
∫+∞
e−x2 dx ≈ 0,8856.
0
Замечание. Точное значение рассматриваемого интеграла
известно:
∫+∞
e−x2 dx = 12 √π ≈ 0,8862269255.
0
2544. Приближенно найти длину эллипса, полуоси которого a = 10 и b = 6.
Воспользуемся параметрическим уравнением эллипса:
|
|
|
|
|
x = 10 cos t, |
y = 6 sin t, |
0 6 t 6 2π. |
|
Длину дуги вычисляем по формуле (7.3): |
|
|
|
|
|
|
s = ∫2π |
|
|
|
|
|
|
|
dt = ∫2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
100 sin2 t + 36 cos2 t dt = |
|
|
|
x′2 |
(t) + y′2(t) |
|
|
0 |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π/2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 √ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 4 |
100 sin2 t + 36 cos2 t dt = 8 |
25 sin2 t + 9 cos2 t dt. |
|
∫ |
|
∫ |
|
|
|
|
Согласно известным тригонометрическим формулам: |
|
|
|
|
sin2 t = |
1 − cos 2t |
, |
|
cos2 t = |
1 + cos 2t |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
поэтому |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√25( |
|
|
|
cos 2t |
|
|
|
1 + cos 2t |
|
|
|
|
|
|
|
s = 8 ∫0 |
1 − |
|
|
|
|
|
) |
+ 9( |
|
|
|
) dt = |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π/2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 8 |
∫0 |
√ |
|
|
dt. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 − 8 cos 2t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
√ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Интеграл от функции y(t) = |
|
17 − 8 cos 2t вычислим по фор- |
|
|
|
муле Симпсона с n = 6 (h = π/12). Это значение n удобно
тем, что мы получаем табличные значения тригонометрических
функций. Вычисления дают: |
|
(y |
( |
12 ) |
|
|
( |
4 ) |
|
( |
12 )) |
|
s ≈ 8 · 36 |
[y(0) |
+ y ( |
2 ) + 4 |
+ y |
+ y |
+ |
|
π |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
5π |
|
|
|
|
+2 |
(y ( |
6 ) + y |
( |
3 ))] |
= |
9 [3 + 5+ |
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
2π |
|
|
|
|
|
|
|
|
(√ √ √ √ √ )
+4 17 − 4 3 + 17 + 17 + 4 3 +
√√ ]
+2( 13 + 21) ≈ 0,6981317008 [8 + 4(3,1736094230+
|
+4,1231056256 + 4,8916462699) + 2(3,6055512755+ |
|
+4,5825756950)] ≈ 51,0541612918. |
|
Таким образом, |
|
s ≈ 51,05. |
|
|
|
|
2545. Построить по точкам график функции |
|
x |
sin t |
|
y = ∫0 |
|
|
|
dt (0 6 x 6 2π), |
|
t |
|
приняв ∆x = π/3.
Рассматриваемый интеграл совпадает с интегралом от непрерывной функции
|
|
|
sin t |
, |
t ̸= 0, |
f(t) = |
|
t |
|
|
1, |
t = 0. |
Для приближенного вычисления |
воспользуемся формулой |
Симпсона с n = 4. Для отрезка [a; b] и функции f(t) она имеет следующий вид:
b 12− a [f(a) + f(b) + 4 (f(a + h) + f(a + 3h)) + 2f(a + 2h)] ,
