Орловский Определенный интеграл.Практикум Част 2 2010

где y(x) – однозначная непрерывная функция, равен:

∫b

Vy = 2π xy(x) dx . (8.8)

a

Возьмем произвольное разбиение T = {x0, x1, . . . , xn} отрезка [a; b]. Выделим часть объема тела вращения Vi, которая представляет объем тела, образованного вращением вокруг оси Oy части нашей фигуры, отвечающей отрезку разбиения [xi; xi+1]:

xi 6 x 6 xi+1 , 0 6 y 6 y(x) .

Обозначим

Рассматривемая часть тела вращения находится внутри полого цилиндра, полученного вращением прямоугольника

xi 6 x 6 xi+1 , 0 6 y 6 Mi

вокруг оси Oy и содержит внутри себя аналогичный цилиндр, получаемый вращением прямоугольника

xi 6 x 6 xi+1 , 0 6 y 6 mi .

Отсюда следует, чтол величина Vi находится между объемами этих цилиндров.

Воспользуемся, далее, следующей формулой для объема полого цилиндра с внутренним радиусом r, внешним радиусом R и высотой H (рис. 8.15)

V = 2π R + r (R − r)H.

2

131

R q r -

?

H

6

Рис. 8.15

Обозначим через ξi середину отрезка [xi; xi+1]. Применяя формулу для объема полого цилиндра, получаем, что

2πξi∆ximi 6 Vi 6 2πξi∆xiMi.

Так как объем тела вращения

n∑−1

V = Vi,

i=0

то

n∑−1 2πξi∆ximi 6 V 6 n∑−1 2πξi∆xiMi.

Из непрерывности функции y(x) на отрезке [a; b] следует, что

mi = y(θi(1)), Mi = y(θi(2)),

где θi(1), θi(2) [xi; xi+1]. Таким образом,

Согласно решению задачи 2193 в применении к паре функций f(x) = 2πx и φ(x) = y(x):

132

и по теореме о переходе к пределу в неравенствах

∫b

V = 2π x y(x) dx.

a

Найти объемы тел, ограниченных поверхностями, полученными при вращении отрезков следующих линий:

2472. y = b ( x )2/3 (0 6 x 6 a) вокруг оси Ox (нейлоид). a

Согласно формуле (8.4), искомый объем

2473. y = 2x − x2, y = 0: а) вокруг оси Ox; б) вокруг оси Oy. а). Парабола y = 2x − x2 пересекает ось абсцисс в точках

x = 0 и x = 2 (рис. 8.16).

133

Тело получается вращением криволинейной трапеции

0 6 x 6 2, 0 6 y 6 2x − x2

вокруг оси Ox. Применяя формулу (8.4), находим

∫2 ∫2

V = π (2x − x2)2dx = π (4x2 − 4x3 + x4)dx =

0 0

б). Тело получается вращением той же фигура, что и в пункте а, но только вокруг оси Oy. Относительно этой оси данная фигура уже не является криволинейной трапецией, а представляет криволинейный прямоугольник (см. рис. 8.16). Вершина параболы y = 2x − x2 имеет координаты (1; 1). Вдоль оси Oy фигура ограничена прямыми y = 0, y = 1. Уравнения функций, графики которых ограничивают фигуру слева и справа находим, решая квадратное уравнение y = 2x − x2 относительно переменной x. Это дает:

134

Замечание. Применение формулы (8.8) дает более простой интеграл:

∫2 ∫2

V = 2π x(2x − x2)dx = 2π (2x2 − x3)dx =

0 0

б). По формуле (8.8)

∫π

V = 2π x sin x dx.

0

Спомощью интегрирования по частям получаем:

∫∫

x sin x dx = − x d(cos x) =

∫

= −x cos x + cos x dx = −x cos x + sin x + C.

Следовательно,

V = 2π (−x cos x + sin x)|π0 = 2π2.

Замечание. Применение формулы (8.7) приводит к более сложным выкладкам. Для сравнения приведем вычисление объема по этой формуле. Обратной функцией к y = sin x на участке

135

x [0; π/2] является x = arcsin y, а на участке x [π/2; π] – это x = π − arcsin y. Таким образом, тело получается вращением криволинейного прямоугольника

136

и его объем

относительно оси Oy, поэтому ее часть, лежащая в первой координатной четверти, дает при вращении то же тело, что и вся фигура. Уравнения функций, графики которых ограничивают часть фигуры, лежащей в первой четверти (рис. 8.17), находим решая исходные уравнения кривых относительно переменной x:

Вдоль оси Oy фигура ограничена прямыми y = 0 и y = b.

Рис. 8.17

Таким образом, тело образовано вращением вокруг оси Oy криволинейного прямоугольника

0 6 y 6 b, x1(y) 6 x 6 x2(y)

137

и его объем вычисляем по формуле (8.7):

Замечание. Применение формулы (8.6) также приводит к несложному интегралу. Рассматривая тело как результат вращения вокруг оси Oy криволинейной трапеции

0 < y 6 1, 0 6 x 6 − ln y

138

получаем

∫1 ∫1

V = π x2(y) dy = π ln2 y dy.

0 0

Интегрируя дважды по частям, находим:

∫ ∫

ln2 y dy = y ln2 y − 2 ln y dy =

( ∫ )

= y ln2 y − 2 y ln y − dy =

= y ln2 y − 2y ln y + 2y + C.

Таким образом,

V = π (y ln2 y − 2y ln y + 2y) 10 = 2π.

2477. x2 + (y − b)2 = a2 (0 < a 6 b) вокруг оси Ox. Вращаемая фигура яляется кругом с центром (0; b) и радиу-

сом a. Вдоль оси Ox она ограничена прямыми x = −a и x = a,

√

а снизу и сверху – графиками функций y1(x) = b − a2 − x2 и

√

y2(x) = b + a2 − x2. По формуле (8.5)

139

2478. x2 − xy + y2 = a2 вокруг оси Ox.

Кривая представляет собой эллипс и имеет центральную симметрию относительно начала координат. Эта кривая ограничивает фигуру, которую можно рассматривать как криволинейный прямоугольник. Уравнения функций, графики которых ограничивают фигуру снизу и сверху, находим решая квадратное урав-

Рис. 8.18

При вращении фигур, симметричных относительно оси вращения, получается одно и то же тело. Фигура, симметричная рассматриваемой относительно оси Ox, ограничена кривой x2+ +xy+y2 = a2. При вращении объединения этих фигур вокруг оси Ox мы получаем то же самое тело, что и при вращении исходной фигуры. Объединенная фигура представлена на рис. 8.19. Координатные оси она пересекает в точках x = ±a, y = ±a.

Объединенная фигура симметрична относительно обеих координатных осей, поэтому объем тела вращения в два раза больше объема тела вращения части этой фигуры, лежащей в первой координатной четверти. Эта часть представляет собой криволинейный прямоугольник, ограниченный прямыми x = 0, x =

140