Орловский Определенный интеграл.Практикум Част 2 2010

s = ∫0

dφ = a

∫0

(aemφ)2

+ (amemφ)2

1 + m2

emφdφ =

−∞

√

√

−∞

√

2

0

√

2

a

+ m

a

1 + m

emφ

=

1

=

.

m

m

−∞

2448. r = a(1 + cos φ).

O

x

-

∫

∫

∫

2π

2π

2π

0

√

0

√4 cos2

0

φ

φ

= a

2(1 + cos φ) dφ = a

2

dφ = 2a

cos

2

dφ.

π

φ

π

φ

π

0

−

s = 2a ∫

cos 2

dφ = 4a ∫

cos

2

dφ =

π

φ

φ

0

= 4a ∫

cos 2 dφ = 8a sin

2

0

= 8a.

p

π

2449. r =

(|φ| 6

).

1 + cos φ

2

Согласно формуле (7.4)

π/2

s = ∫ √

p2

+

p2 sin2 φ

dφ =

(1 + cos φ)2

(1 + cos φ)4

s = √2 p

π/2

(1 + cos φ)3/2

= 2√2 p

π/2

(1 + cos φ)3/2 .

∫

∫0

dφ

dφ

Применяя формулу

1 + cos φ = 2 cos2

φ

,

2

получаем:

π/2

s = p ∫0

dφ

.

cos3

φ

2

π/4

s = 2p ∫0

dt

.

cos3 t

1/√

π/4

π/4

2

s = 2p ∫0

dt

= 2p ∫0

cos t dt

= 2p

∫0

du

.

cos3 t

cos4 t

(1 − u2)2

∫

du

=

Au

+ B ∫

du

.

(1 − u2)2

1 − u2

1 − u2

Решая систему

{

находим:

1

1

A =

,

B =

.

2

2

чаем:

−

−

1

−

∫

du

= 2(1

u

u2)

+

1 + u

+ C.

(1 u2)2

4 ln

1

u

Таким образом, длина кривой

1/√

−

1

−

2

1 + u

) 0

=

s = 2p (2(1 u u2) + 4 ln

1

u

1

1

√

+ 1

2

= 2p (√

+

ln

√

1

).

4

2

2

−

Так как

√

+ 1

(√

+ 1)2

√

2

2

ln √

= ln

= 2 ln(1 +

2),

2 − 1

то

2 − 1

(

)

φ

s = p

√2 + ln(1 + √2) .

2450. r = a sin3

.

3

Согласно формуле (7.4) длина кривой

∫

∫

3π

3π

0 √

0

√sin6

φ

φ

φ

s = r2(φ) + r′2(φ) dφ = a

3

+ sin4

3

cos2

3

dφ =

3π

φ

3π

φ

= a ∫0

sin2

√sin2

φ

+ cos2

φ

dφ = a ∫0

sin2

dφ =

3

3

3

3

a

3π

2φ

a

3

2φ

3π

3πa

0

=

2

∫ (1 − cos

3

)dφ =

2

(φ −

2

sin

3

) 0 =

2

.

2451. r = a th

φ

(0 6 φ 6 2π).

2

Согласно формуле (7.4) длина дуги кривой

2π

2π

√4 sh

2 φ ch2 φ

+ 1

φ

2

s =

a2 th2

+

a

dφ = a

∫0

2

2

dφ =

4 φ

2 φ

∫0

√

2

4 ch

2

2 ch

2

2π

2π

sh2 φ + 1

ch φ

= a ∫0

√2 ch2 φ2

dφ = a ∫0

dφ =

2 ch2 φ2

∫0

2

∫0

(1

2

)dφ =

2π

φ2

2π

2 ch2

1

1

= a

−

dφ = a

−

2 ch2 φ

2 ch2 φ

= a (φ − th

φ

2π

= a (2π − th π) .

2 ) 0

(

)

1

1

(1 6 r 6 3).

2452.

φ =

2

r +

r

Функция

1

1

φ =

(r +

)

2

r

5/3

s = ∫

dφ = ∫3

dr =

r2

(φ) + r′2(φ)

r2φ′2(r) + 1

1

√

1

√

3

3

2

1

1

1

1

= ∫1

√

(r2

− 2 +

)

+ 1 dr =

∫1

√(r +

)

dr =

4

r2

2

r

3

1

r2 1

3

1

1

1

=

2

∫ (r +

r

)dr =

(

4

+

2

ln r) 1

= 2 +

2

ln 3.

2452.1. φ = √r (0 6 r 6 5).

√5]. Применяя

Уравнение кривой равносильно r = φ2, φ [0;

√

√

5

5

0

√

0

√

s = ∫

φ4

+ 4φ2 dφ = ∫

φ φ2 + 4 dφ =

9

9

√t dt =

=

4

= 3 .

2 ∫

(3 t3/2) 4

1

1

19

r

sh ρ

2452.2. φ = ∫

dρ (0 6 r 6 R).