Орловский Определенный интеграл.Практикум Част 2 2010

2500. Фигура, ограниченная параболой y2 = 2p x и прямой x = p/2, вращается вокруг прямой y = p . Найти объем и поверхность тела вращения.

Прямая x = p/2 отсекает от параболы сегмент, изображенный на рис. 9.8. Ось вращения проходит через концевую точку этого сегмента (p/2; p). Сведем нашу задачу к задаче о теле вращения вокруг оси абсцисс. Для этого перейдем к новым координатам:

{

x˜ = x ,

y˜ = p − y .

Уравнение параболы в новых координатах принимает следующий вид:

(p − y˜)2 = 2p x˜.

201

Рис. 9.8

Решая уравнение относительно y˜, находим функции, графики которых ограничивают параболический сегмент снизу и сверху в новой системе координат:

√√

y˜1(x) = p − 2p x,˜ y˜2(x) = p + 2p x,˜

на участке x˜ [0; p/2] (рис. 9.9).

Рис. 9.9

Таким образом, тело образовано вращением криволинейного прямоугольника

p

0 6 x˜ 6 2 , y˜1(x) 6 y˜ 6 y˜2(x)

202

вокруг новой оси абсцисс и его объем вычисляется по формуле (9.2) второго раздела предыдущей главы:

Боковая поверхность тела вращения P состоит из поверхности вращения P1 графика функции y˜1(˜x) и поверхности вращения P2 графика функции y˜2(˜x). По формуле (9.2) находим

203

√

Полученный интеграл заменой t = 2˜x сводится к табличному:

поверхности и площади круга радиуса 2p, образующегося в сечении x = p/2. Эта площадь

S0 = π(2p)2 = 4πp2.

Таким образом, полная поверхность тела вращения

( √ √ )

S = P + S0 = 2πp2 2 + 2 + ln(1 + 2 ) .

204

Глава 10

Вычисление моментов и центра тяжести

10.1.Вычисление моментов

10.1.1.Моменты плоской кривой

Пусть на плоскости xOy задана параметрическая кривая

{

x = x(t), y = y(t),

где x(t) и y(t) – функции, заданные на отрезке [α; β]. На кривой распределена масса с постоянной плотностью ρ. Моменты k-го порядка относительно координатных осей вычисляются по формулам:

При k = 0 оба момента совпадают с массой кривой, при k = 1 получаем статические моменты, а при k = 2 – моменты инерции. Если плотность ρ = 1, то моменты называются геометрическими.

205

Если в задаче не указана плотность масс, то подразумевается, что необходимо вычислить геометрические моменты.

В том случае, когда кривая представляет график функции y = y(x), определенной на отрезке [a; b], то формулы для моментов принимают следующий вид:

Аналогичным образом, если кривая представляет собой график функции x = x(y), определенной на отрезке [c; d], то формулы для моментов имеют следующий вид:

206

Втом случае когда необходимо найти моменты относительно прямой, не являющейся координатной осью, нужно перейти

вновую систему координат, в которой заданная прямая станет координатной осью и вычислить нужные моменты относительно этой координатной оси.

2501. Найти статический момент и момент инерции дуги полуокружности радиуса a относительно диаметра, проходящего через концы этой дуги.

Всистеме координат, центр которой совпадает с центром полуокружности, ось абсцисс направлена вдоль диаметра, относительно которого необходимо вычислить момент, а сама полуокружность лежит в верхней полуплоскости, рассматриваемую кривую можно задать параметрически следующим образом:

{

x = a cos t, y = a sin t,

где t [0; π]. Так как плотность не задана, вычисляем геометрические моменты по формуле (10.1). Статический момент:

2501.1. Найти статический момент дуги параболы

y2 = 2p x (0 6 x 6 p/2)

207

относительно прямой x = p/2.

Перейдем в новую систему координат по формулам:

При таком преобразовании прямая x = p/2 переходит в новую ось ординат. Дугу параболы можно рассматривать как график функции

x = y2 , −p 6 y 6 p,

2p

или (в новых координатах)

−p4 ln(˜y + √p2 + y˜2 ) + C 8

итабличным интегралом:

208

Из этих соотношений находим:

∫ ( )√ ∫ √ ∫ √

y˜2 − p2 p2 + y˜2 dy˜ = y˜2 p2 + y˜2 dy˜ − p2 p2 + y˜2 dy˜ =

10.1.2.Моменты плоской фигуры

Пусть в плоской фигуре распределена масса с постоянной плотностью ρ. Проведем сечения этой фигуры прямыми x =

=const и y = const (рис. 10.1).

l2(y) -

l12(x)

?

l1(x) = l11(x) + l12(x)

Рис. 10.1

209

Длины пересечений этих прямых с фигурой обозначим, соответственно, l1(x) и l2(y). Линия сечения может пересекать фигуру по объединению нескольких отрезков. В этом случае под длиной пересечения понимается сумма длин всех отрезков пересечения. Так на рис. 10.1 линия x = const пересекает фигуру по двум отрезкам с длинами l11(x) и l12(x), следовательно, l1(x) = l11(x) + l12(x).

Пусть фигура проектируется на ось Ox в отрезок [a; b], а на ось Oy – в отрезок [c; d]. Моменты k-го порядка определяются следующим образом:

При k = 0 оба момента совпадают с массой фигуры, при k = 1 получаем статические моменты, а при k = 2 – моменты инерции. Если плотность ρ = 1, то моменты называются геометрическими. Если в задаче не указана плотность масс, то подразумевается, что необходимо вычислить геометрические моменты.

2502. Найти статический момент и момент инерции однородной треугольной пластинки с основанием b и высотой h относительно основания (ρ = 1).

Выберем систему координат так, чтобы ось абсцисс проходила по основанию, относительно которого вычисляются моменты, а сам треугольник лежал в верхней полуплоскости (рис. 10.2).

210