Орловский Определенный интеграл.Практикум ч.1 2010

2193.4. Пусть f(x) C(1)[a; b] и

Точки xk образуют разбиение отрезка [a; b] на n равных частей. Длина каждого из отрезков разбиения

b − a ∆xk = xk − xk−1 = n .

В силу свойств аддитивности и линейности интеграла

41

где точка ξk лежит между точками x и xk, в частности, ξk[xk−1; xk]. Учитывая, что величина x − xk неположительна, получаем из (2.16) оценку

Так как величина xk − xk−1 = (b − a)/n, то полученное соотношение можно записать в следующем виде:

Из (2.15) и (2.17) следует, что

Внося под знаки сумм величину b − a = ∆xk, получаем неравен- n

ство

и после умножения на n, приходим к оценке

Так как функция f′(x) непрерывна на отрезке [a; b], то она интегрируема на этом отрезке и поэтому ее суммы Дарбу при

42

n → +∞ сходятся к определенному интегралу:

По теореме о пределе промежуточной последовательности из соотношения (2.18), получаем

Так как по формуле Ньютона – Лейбница

∫b

f′(x) dx = f(b) − f(a),

a

то искомый предел

lim n∆n = 1 (b − a) (f(a) − f(b)) .

n→+∞ 2

2194. Показать, что разрывная функция f(x) = sgn (sin πx)

интегрируема на промежутке [0; 1].

Покажем, что выполнен критерий интегрируемости

lim Ω(f; T ) = 0,

λ(T )→0

где Ω(f; T ) – интегральное колебание функции f на отрезке [0; 1].

43

Проверим определение предела функции разбиения Ω(f; T ). Пусть ε > 0. Выберем положительное число a так, чтобы оно удовлетворяло неравенствам

a < ε/8 , a < 1.

Функция f ограничена (|f(x)| 6 1), множество точек разрыва функции f состоит из всех точек вида

x = n1 , n = 1, 2, 3, . . .

и точки x = 0. Отсюда следует, что на отрезке [a; 1] функция f может иметь только конечное число точек разрыва и поэтому интегрируема на этом отрезке. В силу критерия интегрируемо-

e

сти существует такое число δ0 > 0, что для любого разбиения T

e

отрезка [a; 1] с характеристикой λ(T ) < δ0 справедливо неравен-

ство

e ε

Ω(f; T ) < 2 .

Выберем δ = min{δ0, a} и рассмотрим произвольное разбие-

ние

T = {x0, x1, . . . , xn}

отрезка [0; 1] с характеристикой λ(T ) < δ. Пусть k – номер отрезка разбиения, на который попадает точка x = a, т. е.

xk 6 a 6 xk+1.

Тогда Ω(f; T ) = S1 + S2 + S3, где

Так как |f(x)| 6 1, то колебание функции f на любом отрезке не больше 2, следовательно, при любом i величина ωi 6 2 и

∑k−1

ε

S1 6 2 ∆xi = 2xk 6 2a < 4 .

i=0

44

Аналогично

ε

S2 6 2∆xk 6 2λ(T ) < 2δ 6 2a < 4 .

Пусть

e

T = {a, xk+1, xk+2, . . . , xn},

e

тогда T – разбиение отрезка [a; 1] и его характеристика

Таким образом, для любого положительного числа ε существует такое положительное число δ, что для любого разбиения T отрезка [0; 1] с характеристикой разбиения λ(T ) < δ справедливо неравенство Ω(f; T ) < ε, т. е.

lim Ω(f; T ) = 0.

λ(T )→0

Интегирируемость функции f установлена.

Замечание. Для читателей, знакомых с мерой Лебега, решение данной задачи должно быть элементарным. Лебег установил следующий критерий интегрируемости ограниченной функции по Риману: множество точек разрыва этой функции должно иметь лебеговсую меру, равную нулю. Так как любое счетное множество имеет меру Лебега, равную нулю, а множество точек разрыва рассматриваемой в задаче функции счетно, то отсюда сразу следует интегрируемость этой функции по Риману.

45

2195. Показать, что функция Римана

{

φ(x) =

0 , если x иррационально;

1/n , если x = m/n,

где m и n (n > 1) – взаимно простые целые числа, интегрируема на любом конечном промежутке.

Рассмотрим произвольный отрезок [a; b] и покажем, что выполнен критерий интегрируемости

lim Ω(f; T ) = 0,

λ(T )→0

где Ω(f; T ) – интегральное колебание функции f на отрезке [a; b]. Проверим определение предела. Пусть ε > 0, подберем нату-

ральное число N так, чтобы

N > 2(b − a) .

ε

Количество чисел вида m/n с взаимно простыми m и n, для которых знаменатель дроби n 6 N и которые попадают на отрезок [a; b], конечно. Обозначим это число kN и положим

δ = ε .

4kN

Пусть T = {x0, x1, . . . , xn} – произвольное разбиение отрезка [a; b] с характеристикой λ(T ) < δ.

Сгруппируем слагаемые, входящие в Ω(f; T ), в две суммы

n∑−1

Ω(f; T ) = ωi∆xi = S1 + S2.

i=0

К S1 отнесем те слагаемые, которые отвечают отрезкам разбиения, содержащим числа вида m/n с взаимно простыми m и n, для которых n 6 N. Во вторую сумму S2 отнесем оставшиеся слагаемые.

46

Из явной формулы, задающей функцию Римана, следует, что колебание этой функции на любом промежутке не превосходит 1, следовательно ωi 6 1. Так как количество чисел вида m/n с взаимно простыми m и n, для которых n 6 N и которые попадают на отрезок [a; b], равно kN и каждое такое число может принаждежать не более чем двум (соседним) отрезкам, то

На промежутках, отвечаюших второй сумме, любое ненулевое значение функии φ(x) меньше, чем 1/N и поэтому величина ωi < 1/N. Учитывая выбор числа N, получаем, что

Таким образом, для любого разбиения T отрезка [a; b] с характеристикой λ(T ) < δ

ε ε

Ω(f; T ) = S1 + S2 < 2 + 2 = ε.

Отсюда следует, что

lim Ω(f; T ) = 0,

λ(T )→0

что равносильно интегрируемости функции φ(x) на отрезке [a; b]. Утверждение задачи доказано.

2196. Показать, что функция

если x ≠ 0 и f(0) = 0, интегрируема на сегменте [0; 1]. Покажем, что выполнен критерий интегрируемости

lim Ω(f; T ) = 0,

λ(T )→0

47

где Ω(f; T ) – интегральное колебание функции f на отрезке [0; 1]. Проверим определение предела. Пусть ε > 0. Выберем положительное число a так, чтобы оно удовлетворяло неравенствам

a < ε/4 , a < 1.

Функция f ограничена (0 6 f(x) 6 1), множество точек разрыва функции f состоит из всех точек вида

x = n1 , n = 2, 3, 4, . . .

и точки x = 0. Отсюда следует, что на отрезке [a; 1] функция f может иметь только конечное число точек разрыва и поэтому интегрируема на этом отрезке. В силу критерия интегрируемо-

e

сти существует такое число δ0 > 0, что для любого разбиения T

e

отрезка [a; 1] с характеристикой λ(T ) < δ0 справедливо неравен-

ство

e ε

Ω(f; T ) < 2 .

Выберем δ = min{δ0, a} и рассмотрим произвольное разбие-

ние

T = {x0, x1, . . . , xn}

отрезка [0; 1] с характеристикой λ(T ) < δ. Пусть k – номер отрезка разбиения, на который попадает точка x = a, т. е.

xk 6 a 6 xk+1.

Тогда Ω(f; T ) = S1 + S2 + S3, где

Так как 0 6 f(x) 6 1, то колебание функции f на любом отрезке не больше 1, следовательно, при любом i величина ωi 6 1

и

∑k−1

ε

S1 6 ∆xi = xk 6 a < 4 .

i=0

48

Аналогично

ε

S2 6 ∆xk 6 λ(T ) < δ 6 a < 4 .

Пусть

e

T = {a, xk+1, xk+2, . . . , xn},

e

тогда T – разбиение отрезка [a; 1] и его характеристика

Таким образом, для любого положительного числа ε существует такое положительное число δ, что для любого разбиения T отрезка [0; 1] с характеристикой разбиения λ(T ) < δ справедливо неравенство Ω(f; T ) < ε, т. е.

lim Ω(f; T ) = 0.

λ(T )→0

Интегирируемость функции f установлена.

Замечание. Функция, рассматриваемая в этой задаче, имеет свойства, аналогичные свойствам функции из задачи 2194: она ограничена и имеет те же точки разрыва (кроме точки x = 1). Соответственно и доказательство интегрируемости этой функции практически идентично доказательству из задачи 2194.

2197. Доказать, что функция Дирихле

{

χ(x) =

0 , если x иррационально;

1 , если x рационально,

не интегрируема на любом промежутке.

49

Рассмотрим произвольный отрезок [a; b] и покажем, что для функции Дирихле не выполнен критерий интегрируемости:

lim Ω(f; T ) = 0,

λ(T )→0

где Ω(f; T ) – интегральное колебание функции f на отрезке [a; b]. В самом деле, на любом промежуке есть как рациональные, так и иррациональные числа, поэтому колебание функции Дирихле на любом промежутке равно 1. Следовательно для любого

разбиения

T= {x0, x1, . . . , xn}

илюбого i величина ωi = 1. Отсюда получаем, что

[xi;xi+1]

(n = 1, 2, . . . ), а функция fn(x) определена следующим образом:

Доказать, что

∫b ∫b

lim fn(x) dx =

n→+∞

aa

50